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湖南省长沙市2017届高考5月模拟考试数学(理)试卷及答案


2017 届高中毕业生五月供题 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求. 1.已知集合 P ? ? x | ?2016 ? x ? 2017? , Q ? x | 2017 ? x ? 1 ,则 P ? Q ? A.

?

?

? 2016,2017?

B.

? 2016,2017?
2

C.

?2016,2017?

D. ? ?2016,2017 ?

2.若复数 z 满足 2 z ? z ? z ? ? 2 ? i ? ( i 为虚数单位),则 z 为 A. ?1 ? 2i B. ?1 ? i C. ?1 ? 2i D. 1 ? 2i

?2 x ? y ? 0 ? x y 3.已知变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 8 ? 2 的最大值为 ?x ? 0 ?
A. 33 B. 32 C. 35 D. 34 4.如图是一个正方体,A,B,C 为三个顶点,D 是棱的中点,则三棱锥 A-BCD 的正视图,俯视图是(注: 选项中的上图是正视图,下图是俯视图)

5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系,随机调查了该 社区 5 户家庭,得到如下统计数据表:

? ?a ? ? 0.85, a ? ,据此估计,该社区一户购买 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
食品的年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为 A. 1.79 万元 B. 2.55 万元 C. 1.91 万元 D.1.94 万元 6.执行如图所示的程序框图,如果输入的 m ? 15, n ? 12 ,则输出的 n 是

A. 15 B. 12 C. 3 D. 180 7.某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每 52 秒 跑一圈,在学生 A 开始跑步时,在教室内有一个学生 B 往操场看了一次,以 后每 50 秒往操场上看一次,则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是 A. 逆时针方向匀速前跑 B. 顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.已知 a ? 1 , a 与 b 的夹角为 A. 3 B. 1 C.

?

?

?

? ? ? ? ? , a ? 2b ? a ? 3 ,则 b 的值是 3

?

?

2

D.2

9.随机地取两个数 x , y ,使得 x ???1,1? , y ??0,1? ,则满足 y ? x 2 的概率是 A.

1 3

B.

2 3

C.

1 4

D.

3 4

10.已知函数 f ? x ? ?

3 ?? 1 ?? ? ? sin ? x ? ? ? cos ? x ? ? ,若存在 x1 , x2 , x3 ,?, xn 满足 2 6? 2 6? ? ?

0 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 6? ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ?
? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 ? n ? 2, n ? N ? ? ,则 n 的最小值为
A. 6 11. B. 10
n?m n?k k Cn ?

C. 8

D. 12

?C
k ?0

m

A. 2

m? n

m Cn B. 2m

m C. 2n Cn

m D. 2m Cn

? ? 平面 C1BD ,平面 ? ? 平面 12.平面 ? 过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的面对角线 AB 1 ,且平面
ADD1 A1 ? AS ,则 ?A1 AS 的正切值为
A.

3 2

B.

5 5

C.

3 3

D.

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.定义运算 x?y ? ? 值为

? x, xy ? 0 2 2 ,例如 3?4 ? 3, ? ?2? ?4 ? 4 ,则函数 f ? x ? ? x ? ? 2 x ? x ? 的最大 y , xy ? 0 ?
.

14.已知 ? ? ? ?

?
3

, tan ? ? tan ? ? 3 ,则 cos ?? ? ? ? 的值为

.

15.锐角 ?ABC 中, D 为 BC 的中点,满足 ?BAD ? ?C ? 90? ,则角 B, C 的大小关系 为 .(填“ B ? C ”或“ B ? C ”或 B ? C )

16.在半径为 R 的圆内,作内接等腰 ?ABC ,当底边上高 h ? ? 0, t ? 时, ?ABC 的面积取得最大值

3 3R 2 ,则 t 的取值范围是 4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若点 An ? n, 上运动,其中 c 是与 x 无关的常数,且 a1 ? 3. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ? aan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最小值. 18.(本题满分 12 分) 某班级 50 名学生的考试分数 x 分布在区间 ?50,100 ? 内,设考试分数 x 的分布频率是 f ? x ? ,且

? ?

Sn ? ? 在函数 f ? x ? ? ?x ? c 的图像 n ?

?n ? 0.4,10 n ? x ? 10 ? n ?1 ?, n ? 5,6,7, ? ?10 f ? x? ? ? ,考试成绩采用“5 分制”,规定:考试分数在 n ?? ? b,10n ? x ? 10 ? n ? 1? , n ? 8,9. ? ? 5

?50,60? 内的成绩记为 1 分,考试分数在 ?60,70? 内的成绩记为 2 分,考试分数在 ?70,80? 内的成绩
记为 3 分,考试分数在 ?80,90? 内的成绩记为 4 分,考试分数在 ?90,100? 内的成绩记为 5 分,在 50 名学生中用分层抽样的方法,从成绩为 1 分,2 分,3 分的学生中随机抽取 6 人,再从这 6 人中抽 出 3 人,记这 3 人的成绩之和为 ? (将频率视为概率). (1)求 b 的值,并估计班级的考试平均分数; (2)求 P ?? ? 7? ; (3)求 ? 的分布列和数学期望.

19.(本题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面相互垂直, AB ? 2, AF ?1 ,G 为线段 AD 上 的任意一点。 (1)若 M 是线段 EF 的中点,证明:平面 AMG ? 平面 BDF ; (2)若 N 为线段 EF 上任意一点,设直线 AN 与平面 ABF ,平面 BDF 所成角分别是 ? , ? ,



sin ? 的取值范围. sin ?

20.(本题满分 12 分) 已知 P ? 3, ? 在椭圆 C :

? ?

1? 2?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上, F 为右焦点, PF ? 垂直于 x 轴, a 2 b2

A, B,C , D 为椭圆上的四个动点,且 AC ,BD 交于原点 O.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)判断直线 l :

m?n 3 ?1 3 ?1 x ? ? m ? n? y ? m? n ? m, n ? R ? 与椭圆的位置关系; 2 2 2

1 2 (3)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 满足 ??? ? ??? ?

yy

1 OA ? OB ? 5

,判断 k AB ? kBC 的值是否为定值,若是,请求出此

定值,并求出四边形 ABCD 面积的最大值,否则说明理由.

21.(本题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? ax3 ? x 2 ? x ? b ? a, b ? R, a ? 0 ? , g ? x ? ? 图象在 x ? ?

3 e x e ( e 是自然对数的底数), f ? x ? 的 4

1 3 9 处的切线方程为 y ? x ? . 2 4 8

(1)求 a , b 的值; (2) 探究直线 y ?

3 9 x ? . 是否可以与函数 g ? x ? 的图象相切?若可以,写出切点的坐标,否则, 4 8

说明理由; (3)证明:当 x ? ? ??, 2?时, f ? x ? ? g ? x ? .

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分; 作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分 10 分)选修 4-4:参数方程与极坐标系

? ? x ? 3 ? t cos ? ? 4 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以坐标原点 O 为 ? y ? t sin ? ? ? 4
极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 与曲线 C 相交弦 AB 的长.

23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ? x ? 1? . 4

(1)证明: f ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? 2 ; (2)当 x ? ?1 时,求 y ?

? ? f ? x ?? ? 的最小值. 4 f ? x? ?
2

1

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