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用好--空间向量的数量积运算


3.1.3 空间向量的数量积运算

一、引入
1.共线向量定理:

? ? ? ? ? ? 空间中任意两个向量a, b (b ? 0)共线(a ? b ) ? ? 的充要条件是存在实数?,使得a ? ? b

2.共线向量定理的推论:

??? ? ??? ? ? 点P在直线l上 ? OP ? OA ? ta (2)三点P、A、B共线的充要条件有: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1)存在实数t,使得 AP ? t AB,即AP ? AB ??? ? ??? ? ??? ? (2)存在实数t,使得OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ??? ? 另:存在实数x,y,使得OP ? xOA ? yOB,( x ? y ? 1)

? (1)若直线l过点A且与向量 a平行,则

3.共面向量定理:

? ? ? ? ? ? 如果两个向量a、 b不共线, 那么向量 p与a、b

共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( x,y ), ? ? ? ? 使得 p ? xa ? yb.

??? ? ??? ? ???? (1)存在有序实数对( x, y),使得 AP ? x AB ? y AC ??? ? ??? ? ??? ? ???? (2)对空间中任意一点O,有OP ? OA ? x AB ? y AC
另:对空间中任意一点O,有 ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)

4.P、A、B、C四点共面充要条件:

?? F

?

? ? S

W= |F| |s| cos?
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.

回顾平面向量数量积的定义
? ? ? ? 已知两个非零向量 a, b , 则 a b cos ? ? ? ? ? 叫做 a, b 的数量积,记作 a ? b , 即 ? ? ? ? a ? b ? a b cos ?

向量的夹角: 0 ? ? ? ?
? b ? a
B

? b ? b
O

B

? a

A

3.1.3 空间向量的数量积运算

B

共同的起点
O

θ

A

当θ=0°时,a与b——;

O
B

A

B

当θ=180°时,a与b——; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

? ? ? ? 已知非零向量 a与 b ,我们把数量 | a || b | cos ? 叫 ? ? ? ? 作 a与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b ,即 ? ? ? ?

? 其中,? 为a、 b 的夹角,也可记为 ? a, b?

a ? b ? | a || b | cos ? ? ??

? ? 我们规定零向量与任一向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0

注意: (1)数量积是两个向量之间的运算,要与“数乘”相区别; (2)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,它的符号 由cos?的符号决定; (3)点乘符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替.

二、两个向量的数量积 问题2:平面向量的数量积的几何意义怎样? 在空间还一样吗?

B

? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与b在 ? ? a 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。
A

? b
O
θ B1

? a

A

a
A1

B1

b
B

类比平面向量 , 你能说 ? ? 出 a ? b 的几何意义吗? ? ? ????? 如 图 A1 B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.

? ? 练习.对于非零向量a , b 填空:
? ? (1)如果? a, b? ? 0, 则a与b

同向

反向 ? ? ? (3)如果 ? a, b? ? , 则称 a与b 垂直 2 ? ? ? (4) a ? e ? a cos ? a, b ?
(5)a ? b ?

? ? (2)如果? a, b? ? ? , 则a与b

?2 (6)a ?

? ? (7) cos a , b ?

?2 a

? ? a ?b ? 0

? ?

a? b

性 质

?

a ?b

?

空间两个向量的数量积的性质

(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直, 性质(5)是 用来求两个向量的夹角. (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据.

判断下列命题是否正确:

? ? ? ? ? ? (1)若a ? b ? a ? c , 则b ? c
(2) (? a) ? b ? ? (a ? b)
运 算 律

(3) a ? b ? b ? a
(4) a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c

(5 ( ) a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

思考练习
1.下列命题成立吗? ? ? ? ? ? ? ①若a ? b ? a ? c ,则b ? c ? ? ? k ? ②若 a ? b ? k ,则 a ? b
? ? ? ? ? ? ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? ? ?

? ? 2 ? ? ,a?b ? ? 2 , 2. 已知 a ? 2 2 , b ? 2 ? ? ? 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.

应用1,空间向量数量积与垂直
线面垂直的判定定理: 若m、n是平面α内的两条相交直线, 且l⊥m, l⊥n. 则l ⊥α.
l

n
g

?

m

PA 分别是平面 ? 的垂 例.已知 : 如图 , PO 、 线、斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? , 且 l ? OA ,求证: l ? PA P
三垂线定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直,那么它也 α 和这条斜线垂直.

O

A

l

? l

逆命题成立吗 ? 三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一 条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内的射 影垂直.

三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 反过来,在平面内的一条直线 ,如果和这个平面 的一条斜线垂直 , 那么它也和这条斜线的射影垂直 . 成立吗?

?P

?

O?

?A

l

? a

一面四线:垂线 斜线 射影 面内线
定理简记为:线影垂直?线斜垂直

? CD ? 4.如图,已知正方体 ABCD ? A? B ?C ?D,
AO ? CD? O 连结 AO , 求证:
A' D'

和DC ? 相交于点



B'

C'

O

A

D

B

C

练习4 已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA, OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN. 证明:

2、已知在空间四边形OABC中,OA ? BC, OB ? AC,求证:OC ? AB
??? ? ???? ??? ? ??? ? 证明:由已知 OA ? BC , OB ? AC ??? ? ??? ? ??? ? ???? 所以 OA ? BC = 0 , OB ? AC = 0 ??? ? ??? ? ??? ? OA ? ( OC ? OB ) = 0 ??? ? ??? ? ??? ? OB ? ( OC ? OA ) = 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 OA ? OC = OA ? OB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? OC = OB ? OA ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 OA ? OC ? OB ? OC = 0 ??? ? ??? ? ??? ? ( OA ? OB ) ? OC = 0 ??? ? ??? ? BA ? OC = 0
所以OC ? AB

O

A

C B

应用二,空间向量夹角与两异面直线所成的角
练习1 已知空间向量a,b满足|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是 150°,计算:(1)(a+2b)· (2a-b);(2)|4a一2b|.

6.如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 ,CD ? 3 , ?ABD ? 30? ,?ABC ? 60? ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

??? ? ??? ? ??? ? 解:∵ CD ? BD ? BC ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?| AB | ? | BD | ? cos ? AB, BD ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AB | ? | BC | ? cos ? AB, BC ?

? 2 ? 2 3 ? cos150? ? 2 ? 3 ? cos120? ? ?6 ? 3 ? ?3
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD ?3 1, ∴ cos ? AB, CD ?? ??? ? ??? ? ? ?? 2 | AB | ? | CD | 2 ? 3

1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2

??? ? ??? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? AB, BD ?? 150? ??? ? ??? ? 易错写成 ? AB, BD ?? 30? ,注意推敲!

【例3】如图,在正三棱柱ABC ? A1 B1C1中, 若AB ? 2 BB1 , 则AB1与C1 B所成角的大小为 ( A)60? ( B )90? (C )105?
A1
B1

( D)75?
C1

解析:易知AB ? C1C , BB1 ? CB, ??? ? ??? ? ???? ???? ? ? AB, CB ?? 120?, ? BB1 , C1C ?? 180? ??? ? ???? ?| AB |? 2 | BB1 | ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ? AB1 ? C1B ? ( AB ? BB1 ) ? (C1C ? CB) ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? AB ? C1C ? AB ? CB ???? ???? ? ???? ??? ? ? BB1 ? C1C ? BB1 ? CB

A B

C

???? ? AB1 ? C1B

? 2 ???? 2 1 ??? ? 0 ? | AB | ? | BB1 | ?0 ? 0 ???? 2

应用三,空间线段的长度

【例2】如图,在平行六面体ABCD ? A?B?C?D? 中,AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90?, ?BAA? ? ?DAA? ? 60?, 求AC?的长.
???? ? ??? ? ??? ? ???? 解: ? AC ? ? AB ? AD ? AA? ???? ? 2 ??? ? ???? ???? 2 ?| AC ? | ? ( AB ? AD ? AA? ) ??? ? 2 ???? 2 ???? 2 ?| AB | ? | AD | ? | AA? | ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? 2( AB ? AD ? AB ? AA? ? AD ? AA? )
D' C' A' B'

D

C

? 42 ? 32 ? 52 ? 2(0 ? 10 ? 7.5) ? 85 ? AC ? ? 85

A

B

例3 如图,已知线段 AB 在平面 ? 内,线段 AC ? ?
?DBD? ? 30? ,如 ,线段 BD ? AB ,线段 DD? ? ? ,

果 AB ? a , AC ? BD ? b ,求 C 、D 之间的距离。 解:由 AC ? ? ,可知 AC ? AB .
C D b b a D'

??? ? ??? ? 由?DBD? ? 30? 知 ? CA , BD ?? 120?.
??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 | CD | ? CD ?CD ? (CA ? AB ? BD ) ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ?| CA | ? | AB | ? | BD | ?2CA?AB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 2CA?BD ? 2 AB ?BD ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2b 2 cos120? ? a 2 ? b2

?

A

B

? CD ? a 2 ? b2

练习:
已知点O是正△ABC平面外一点,若 OA=OB=OC=AB=1,E、F分别是AB、 OC的中点,用向量法解决下列问题: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1)计算 AO ? OB, OE ? BF ; O (2)求OE与BF所成角的余弦值; (3)证明 AB ? OC ; (4)求EF的距离.
A E B

F C

空间向量数量积可以解决的立体几何问题:
1)线段的长(两点间的距离);

?2 ? ? ? a ? a ? a ,也就是说 a ?

?2 a

? ? 2)证明垂直问题; (a, b是非零向量)

? ? ? ? a ? b ? a?b ? 0;

3)向量的夹角(两异面直线所成的角); ? ? ? ? a?b cos ? a , b ?? ? ? a b


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