当前位置:首页 >> 数学 >>

数学课案:圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程


圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程
1)椭圆 参数方程:X=acosθ Y=bsinθ (θ 为参数 ) 直角坐标(中心为原点):x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 2)双曲线 参数方程:x=asecθ y=btanθ (θ 为参数 ) 直角坐标(中心为原点):x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为 x 轴) y^2/a^ 2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为 y 轴) 3)抛物线 参数方程:x=2pt^2 y=2pt (t 为参数) 直角坐标:y=ax^2+bx+c (开口方向为 y 轴, a<>0 ) x=ay^2+by+c (开口方 向为 x 轴, a<>0 ) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中 e 表示离心率,p 为焦点到准线的距离。 焦点到最近的准线的距离等于 ex±a 圆锥曲线的焦半径(焦点在 x 轴上,F1 F2 为左右焦点,P(x,y),长半轴长 为 a) 椭圆:椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线: P 在左支,|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P 在右支,|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P 在下支,|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P 在上支,|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 圆锥曲线的切线方程:圆锥曲线上一点 P(x0,y0)的切线方程以 x0x 代替 x^2, 以 y0y 代替 y^2;以(x0+x)/2 代替 x,以(y0+y)/2 代替 y^2 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线:x0x/a^2-y0y/b^2=1;抛物线:y0y=p(x0+x) 圆锥曲线中求点的轨迹方程 在求曲线的轨迹方程时,如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形, 通过观察图形的变化过程,发现其内在联系,找出哪些是变化的量(或关系)、哪些 是始终保持不变的量(或关系),那么我们就可以从找出的不变量(或关系)出发, 打开解题思路,确定解题方法。

圆锥曲线漫谈
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又与二次方程 对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一, 在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其他行星也如 此,太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度,它们就 会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相 对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨 道了。因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式。 由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴,即抛物 线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点的直线由抛物面反 射出来以后,都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转 抛物面的道理。 由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母 直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的 立塔时,就采取单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固。 由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高。

圆锥曲线研究历史
对于圆锥曲线的最早发现,众说纷法。有人说,古希腊数学家在求解“立方倍积” 问题时,发现了圆锥曲线:设 x、y 为 a 和 2a 的比例中项,即。a:x=x:y=y:2a, 则 x=ay, y=2ax,xy=2a,从而求得 x=2a。又有人说,古希腊数学家在研究平面 与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为,古代天文学家在 制作日晷时发现了圆锥曲线。 日晷是一个倾斜放置的圆盘, 中央垂直于圆盘面立一杆。 当太阳光照在日晷上,杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方,杆顶尖绘成不同 的圆锥曲线。然而,日晷的发明在古代就已失传。 早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼(A pollonius,前 262~前 190)。他与欧几里得是同时代人,其巨著《圆锥曲线》与欧几 里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。 在《圆锥曲线》中,阿波罗总结了前人的工作,尤其是欧几里得的工作,并对前 人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作,在此基础上,又提出许多自 己的创见。全书 8 篇,共 487 个命题,将圆锥曲线的性质网罗殆尽,以致后代学者几 乎没有插足的余地达千余年。 现在,我们都知道,用一个平面去截一个双圆锥面,会得到圆、椭圆、抛物线、 双曲线以及它们的退化形式:两相交直线,一条直线和一个点,如图 1,所示。 在此,我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图 2,给定圆 BC 及其所在 平面外一点 A,则过 A 且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。 这个圆叫圆锥的底,A 到圆心的直线叫圆锥的轴(未画出),轴未必垂直于底。 设锥的一个截面与底交于直线 DE,取底圆的垂直于 DE 的一条直径 BC,于是含 圆锥轴的△ABC 叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于 P、P’,PP’未必是圆锥曲线的 轴,PP’M 是由轴三角形与截面相交而定的直线,PM 也未必垂直于 DE。设 QQ’是圆 锥曲线平行于 DE 的弦,同样 QQ’被 PP’平分,即 VQ=QQ’。 现作 AF∥PM,交 BM 于 F,再在截面上作 PL⊥PM。如图 3,PL⊥PP’

对于椭圆、双曲线,取 L 满足,而抛物线,则满足,对于椭圆、双曲线有 QV=P VVR,对于抛物线有 QV=PVPL,这是可以证明的两个结论。 在这两个结论中,把 QV 称为圆锥曲线的一个纵坐标线,那么其结论表明,纵坐 标线的平方等于 PL 上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲,矩形 PSRV 尚未填满矩形 PLJV;而双曲线的情形是 VR>PL,矩形 PSRV 超出矩形 PLJV;而抛物线,短形 P LJV 恰好填满。故而,椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐 曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。 阿波罗尼所给出的两个结论,也很容易用现代数学符号来表示: 趋向无穷大时,LS=0,即抛物线,亦即椭圆或双曲线的极限形式。 在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13 个世纪里,整个数学界对圆锥曲线的研 究一直没有什么新进展。11 世纪,阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程, 12 世纪起,圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲,但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。 直到 16 世纪,有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开 普勒(Kepler,1571~1630)继承了哥白尼的日心说,揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳 运行的事实;二是意大利物理学家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物体斜抛运动 的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线,而且是自然 界物体运动的普遍形式。于是,对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如, 1579 年蒙蒂(Guidobaldo del Monte,1545~1607)椭圆定义为:到两个焦点距离之 和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过,这对圆锥曲线性 质的研究推进并不大,也没有提出更多新的定理或新的证明方法。 17 世纪初,在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思 想的影响下,开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离 心率,并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点,直线是圆心在无穷远处的圆。从而 他第一个掌握了这样的事实:椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化 圆锥曲线,都可以从其中一个连续地变为另一个,只须考虑焦点的各种移动方式。譬 如,椭圆有两个焦点 F1、F2,如图 4,若左焦点 F1 固定,考虑 F2 的移动,当 F2 向左移动,椭圆逐渐趋向于圆,F1 与 F2 重合时即为圆;当 F2 向右移动,椭圆逐渐 趋向于抛物线,F2 到无穷远处时即为抛物线;当 F2 从无穷远处由左边回到圆锥曲线 的轴上来,即为双曲线;当 F2 继续向右移动,F2 又与 F1 重合时即为两相交直线, 亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基 础。 随着射影几何的创始,原本为画家提供帮助的投射、截影的方法,可能由于它与 锥面有着天然的联系,也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格 (Desargue1591- 1661)、帕斯卡(Pascal,1623- 1662)和拉伊尔(Phailipp e de La Hire,1640~1718)得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理,可谓别开生 面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何,人们对圆锥曲线的认识 进入了一个新阶段,对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼,又不同于投射和截影 法,而是朝着解析法的方向发展,即通过建立坐标系,得到圆锥曲线的方程,进而利

用方程来研究圆锥曲线,以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标,也可求得对圆锥曲 线研究高度的概括和统一。 到 18 世纪,人们广泛地探讨了解析几何,除直角坐标系之外又建立极坐标系, 并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种 标准形式,或者引进曲线的参数方程。1745 年欧拉发表了《分析引论》,这是解析 几何发展史上的一部重要著作,也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中,欧拉 给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述,从一般二次方程。出发,圆锥曲线的各种情 形,经过适当的坐标变换,总可以化以下标准形式之一: 继欧拉之后,三维解析几何也蓬勃地发展起来,由圆锥曲线导出了许多重要的曲 面,诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。 总而言之,圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域,还是在我们的实际生活 中都占有重要的地位,人们对它的研究也不断深化,其研究成果又广泛地得到应用。 这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

圆锥曲线的光学性质
椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚 到椭圆的另一个焦点上 双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线 的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上 抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都 平行于抛物线的对称轴 图说圆锥曲线的应用

椭圆的声学性质

圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的比较 [1]


相关文章:
《圆锥曲线的参数方程》教学案.doc
圆锥曲线的参数方程教学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.3《圆锥...(3)、参数方程求法:(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为 ( x, y ...
高考数学专题13坐标系与参数方程教学案文(数学教案).doc
高考数学专题13坐标与参数方程教学案文(数学教案) - 专题 13 坐标与参数方程 【2018 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1)直线、曲线的坐标...
2014年人教A版选修4-4教案 二、圆锥曲线的参数方程.doc
2014年人教A版选修4-4教案 二、圆锥曲线的参数方程_数学_高中教育_教育专区。课题:圆锥曲线的参数方程 一、教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的...
圆锥曲线的参数方程教案.doc
数学 课时数:3 学科教师: 学科教师: 圆锥曲线的参数方程 1:了解圆锥曲线的...教学目的 知识点检测; 知识点检测; 1.(北京卷理 5)极坐标方程( ρ -1) ...
优质课选修4-4第二讲_参数方程(圆锥曲线的参数方程)_图文.ppt
优质课选修4-4第二讲_参数方程(圆锥曲线的参数方程) - 第二讲 参数方程 1、参数方程的概念: 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y...
圆锥曲线的参数方程.doc
圆锥曲线的参数方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的参数方程一、教学目的 1:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 2:能选取适当的参数,求简单曲线的...
高中数学4-4圆锥曲线的参数方程_图文.ppt
高中数学4-4圆锥曲线的参数方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第二节【...C的坐标表示出G点的 参数方程,消参后得普通方程.课前自主学习 课堂讲练互动 ...
...高考数学二轮复习极坐标、参数方程、直角坐标方程的....ppt
2018届高考数学二轮复习极坐标、参数方程直角坐标方程的互化课件(全国通用)_...2018届高考数学二轮复习课件(全国通用) 第十一章 圆锥曲线 第1节 极坐标、参数...
高中数学第二章第三课时圆锥曲线的参数方程教学案新人....doc
江西省九江市实验中学高中数学 第二章 第三课时 圆锥曲线的参数 方程教学案(无...(3) 、参数方程求法 :(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x...
...高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方程教学案 新人....doc
江西省九江市九江实验中学高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方 程教学案 新人教...(3) 、参数方程求法 :(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x...
圆锥曲线---极坐标与参数方程(导学案).doc
圆锥曲线---极坐标与参数方程(导学案)_数学_高中教育_教育专区。好东西哟,伦...极坐标方程与直角坐标方程的互 化; 3、 会把极坐标系的问题转化为直角坐标系...
...4教学案:曲线、直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极....doc
2018-2019学年度高中北师大版数学选修4-4教学案:曲线、直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程 - 2.4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线...
...高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方程教学案 新人....doc
江西省九江市九江实验中学高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方 程教学案 新人教...(3) 、参数方程求法 :(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x...
圆锥曲线的参数方程课时作业8.doc
圆锥曲线的参数方程课时作业8_数学_高中教育_教育专区。(时间 40 分钟,满分 60...2 ? ?y= 2 t 【解】 ,(t 为参数)的直角坐标方程为 x-y+1 π=0,...
2013届高考数学二轮复习讲案:参数方程和极坐标方程.doc
2013 届高考数学二轮复习讲案:参数方程和坐标方程 【三年真题重温】 1.【2011 新课标全国理,23】选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1...
高中数学:坐标系与参数方程ppt课程_图文.ppt
高中数学:坐标系与参数方程ppt课程_数学_高中教育_...0 6.圆锥曲线的参数方程 ? ?x=acos θ x2 y2...∴曲线的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4. 题型二...
圆锥曲线参数方程习题课教学设计.doc
教学设计案(正页)高二 年级 数学 学科 课题 第 圆锥曲线的参数方程 1 课时 ...能否将 教师设问, 学生思考后回答, 5 分钟 参数方程化为直角坐标下的方程? ...
人教版数学选修4-4课后练 2.2 圆锥曲线的参数方程 课末....doc
人教版数学选修4-4课后练 2.2 圆锥曲线的参数方程 课末 含答案_英语_高中
高中数学:坐标系与参数方程_图文.ppt
高中数学:坐标系与参数方程 - 理科 知识框架 考试说明 1.坐标系 (1)理解坐标系的作用. (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况. (3)能...
...曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一....doc
4-4同步配套教学案:; 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方_初中教育_教育专区。2.4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化...
更多相关标签: