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教案用多项式逼近连续函数


教案 用多项式逼近连续函数
复 旦 大 学 陈纪修 金路
教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin 关于用多项式逼近连续函数的定理(Weierstrass 第 一逼近定理)的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数,是经典分析学中重要的结果,以往教材中介绍的证明都 比较艰深,学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin 的一种证明,思 想新颖,方法简单,且通过对多项式逼近连续函数的学习,可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义: 定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间 [a, b] 上有定义,如果存在多项式序列 {Pn (x)}在[a, b] 上一致收敛于f (x),则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近。 应用分析语言, (x)在 [a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为: “f 对任意给定的ε>0,存在多项式 P(x),使得 |P(x) - f (x)|<ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多, 我们则介绍前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的 证明。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x) 是闭区间 [a, b] 上的连续 函数,则对任意给定的ε>0,存在多项式 P(x),使 |P(x) - f (x)|<ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 证 不失一般性,我们设 [a, b] 为 [0, 1] 。 设 X 是 [0, 1] 上连续函数全体构成的集合, 是多项式全体构成的集合, Y 现 定义映射 Bn : X → Y n k f (t) Bn (f , x) = ∑ f ( ) C k x k (1 ? x) n ?k , n n k =0 这里Bn (f , x) 表示f ∈X在映射Bn 作用下的像,它是以x为变量的n次多项式,称 为Bernstein多项式。 关于映射Bn,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与基本关系式: (1) Bn 是线性映射,即对于任意f , g ∈X及α,β∈R,成立 Bn (αf +βg, x) = αBn (f , x) +βBn (g, x); (2) Bn 具有单调性,即对于任意f , g ∈X,若f (t)≥g(t) (t∈[a, b]) 成立,

则 Bn (f , x) ≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[a, b]成立; (3) Bn (1, x) = Bn (t, x) =

∑C
k =0 n

n

k n

x k (1 ? x) n ? k = [x + (1- x)] n = 1;
k n ?1 x k (1 ? x) n ? k = x ∑ C k ?1 x k ?1 (1 ? x) n ? k n k =1 n

∑nC
k =0

k

= x [x + (1- x)] = x; 2 n n k k ?1 Bn (t2, x) = ∑ 2 C k x k (1 ? x) n ? k = ∑ C k ?1 x k (1 ? x) n ? k n n k =1 n k =0 n n n k ? 1 k ?1 k 1 ?1 = ∑ C n ?1 x (1 ? x) n ? k + ∑ C k ?1 x k (1 ? x) n ? k n n k =2 k =1 n n ? 1 2 n k ?2 k ?2 x n ?1 = x ∑ C n ? 2 x (1 ? x) n ? k + ∑ C k ?1 x k ?1 (1 ? x) n ? k n n n k =1 k =2 x ? x2 x n ?1 2 = x2 + 。 x + n n n 综合上述三式,考虑函数 (t - s)2在Bn 映射下的像,注意s在这里被视为常 数,我们得到 Bn ((t - s)2, x) = Bn (t2, x) - 2sBn (t, x) + s2Bn (1, x) x ? x2 x ? x2 = x2 + - 2 sx + s2 = + (x - s)2。 n n 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]连续, 所以必定有界, 即存在 M>0, 对于一切 t ∈[0, 1] , 成立 |f (t)|≤M; 而根据 Cantor 定理,f 在[0, 1]一致连续,于是对任意给定的ε>0,存在δ>0, 对一切 t, s ∈[0, 1], 当|t - s|<δ时,成立 ε |f (t) - f (s)|< ; 2 当|t - s|≥δ时,成立 2M |f (t) - f (s)|≤2M ≤ 2 (t - s)2。 δ 也就是说,对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 ε 2M ε 2M - - 2 (t - s)2 ≤ f (t) - f (s) ≤ + 2 (t - s)2。 2 δ 2 δ 考虑上式的左端,中间,右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像 (关于x的多项式),注意f (s)在这里被视为常数,即Bn (f (s), x) = f (s),并根据上面 性质(1),(2)与(3),得到对一切x, s ∈[0, 1],成立 ε 2M x ? x 2 ε 2M x ? x 2 - - 2 [ + (x - s)2] ≤Bn (f , x) - f (s) ≤ + 2 [ + (x - s)2], n n 2 δ 2 δ 1 令 s = x,且注意 x(1 - x)≤ , 即得 4 =

n

∑ f ? n ?C ? ?
k =0

n

?k?

k n

x k (1 ? x) n ? k ? f ( x) ≤

M ε + 。 2 2 nδ 2

M 取 N = [ 2 ],当 n>N 时, δ ε

∑ f ? n ?C ? ?
k =0

n

?k?

k n

x k (1 ? x) n ? k ? f ( x) <ε

对一切 x∈[0, 1]成立。 证毕 定理 10.5.1 还可以表述为: 设f 在 [a, b] 连续,则它的Bernstein多项式序 列{Bn (f , x)}在 [a, b] 上一致收敛于f 。 注意点 (1)学生容易误认为:只要将 f (x)在 [a, b] 上展开成幂级数 f (x) =

∑a
n =0



n

( x ? x0 ) n ,

x∈[a, b] ,

然后令其部分和函数(多项式) Sn (x) =

∑a
k =0

n

k

( x ? x0 ) k ,

则f (x)在 [a, b] 上就可以由多项式序列{Sn (x)}一致逼近了。 事实上,对任意正整数n,n次多项式Sn (x)只能是在n-1 次多项式Sn -1(x)的基 础上增加一项an (x - x0)n,而不能更改Sn -1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质, 因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导,而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说,这个条件实在是过 分强了。究其原因,幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数,而是用一般的多项式序列来逼近,则对函数的要求就可以弱 得多。事实上,Weierstrass 首先证明了:闭区间 [a, b]上任意连续函数 f (x)都可 以用多项式一致逼近。 (2)定理证明有许多方法,例如还有 Bernstein 给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料, 对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较, 扩大知识面, 提高学习能力。


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