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数列中的奇偶问题


(文)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an an?1 ? 2n (n ? N ? ) (1)求证数列 ?an ? 不是等比数列,并求该数列的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (3)设数列 ?an ? 的前 2 n 项和为 S 2 n ,若 3(1 ? ka2n ) ? S 2n ? a2n 对任意 n ? N 恒成立,求
?

k 的最小值.
(文) (1) a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 2, ?

a 2 a3 ? a1 a 2

,??an ? 不是等比数列;???2 分

?

an?2 ? 2 ,? a1 , a3 , a5 ,?a2n?1 ,?及 a2 , a4 , a6 ,?, a2n ,? 成等比数列, an

?1 ? n2 ?2 , n为奇数, ? a ? ? n n 公比为 2, ? 2 2 , n为偶数。 ?

?????6 分

(2) S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 当 n 为偶数时, S n
n n n

? (a1 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? an )

1 ? 2 2 2(1 ? 2 2 ) ? ? ? 3(2 2 ? 1) ;?????8 分 1? 2 1? 2
当 n 为奇数时, S n
n ?1 2

? (a1 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? ? ? an?1 )
n ?1 2 n ?1 2

1? 2 2(1 ? 2 ) ? ? ? 2? 2 1? 2 1? 2

? 3 .?????10 分

n ? ? 3(2 2 ? 1), n为偶数, S ?? n ?1 因此, n ?????12 分 ?2 ? 2 2 ? 3, n为奇数。 ?

(3)

S 2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n )
?????13 分

1 ? 2 n 2(1 ? 2 n ) ? ? ? 3(2 n ? 1) 。 1? 2 1? 2

a2 n ? 2 n ,

?????14 分

因此不等式为 3(1-k2 ) ? 3( 2 -1)2 ,
n n n

?k ?

1 1 1 ? (2 n ? 1)2 n n n ,即 k ? n -(2 -1),? k ? ( n ? 2 ? 1) max n 2 2 2
?????16 分

1 n -(2 -1)单调递减;? F(1)= ? 0.5 最大, n 2 1 ? k ? ? 0.5 ,即 k 的最小值为 ? 。?????18 分 2

? F(n)=

定义 x1 , x2 ,?, xn 的“倒平均数”为

n (n? N *) . x1 ? x2 ? ? ? xn
1 ,求 {an } 的通项公式; 2n ? 4

(1)若数列 {an } 前 n 项的“倒平均数”为

(2) 设数列 {bn } 满足: 当 n 为奇数时,bn ? 1 , 当 n 为偶数时,bn ? 2 . 若 T n 为 {bn } 前 n 项的倒平均数,求 lim Tn ;
n ??

(3)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ,对(1)中的数列 {an } ,是否存在实数 ? ,使得当
x ? ? 时, f ( x ) ?

an 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出最大的实数 ? ;若不 n ?1

存在,说明理由.
解: (1)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,由题意, Tn ? 所以 S n ? 2n 2 ? 4n . ????(1 分)

n 1 , ? S n 2n ? 4

所以 a1 ? S1 ? 6 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 2 ,而 a1 也满足此式.??(2 分) 所以 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 .????(1 分) (2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,则当 n 为偶数时, S n ? 当 n 为奇数时, S n ?

3(n ? 1) 3n ? 1 ?1 ? . ????(1 分) 2 2
??(3 分)

3n ,??(1 分) 2

?2 , 当n为偶数 ? ?3 所以 Tn ? ? . ? 2n , 当n为奇数 ? ? 3n ? 1 2 所以 lim Tn ? . ??(2 分) n?? 3

( 3 ) 假 设 存 在 实 数 ? , 使 得 当 x ? ? 时 , f ( x) ?

an 对任意 n ? N * 恒成立,则 n ?1

4n ? 2 对任意 n ? N * 恒成立,????(1 分) n ?1 4n ? 2 2 令 cn ? ,因为 c n ?1 ? c n ? ? 0 ,所以数列 {cn } 是递增数列,?(1 分) n ?1 (n ? 1)(n ? 2) 2 所以只要 ? x 2 ? 4 x ? c1 ,即 x ? 4 x ? 3 ? 0 , 解得 x ? 1 或 x ? 3 .????(2 分) a 所以存在最大的实数 ? ? 1 ,使得当 x ? ? 时, f ( x ) ? n 对任意 n ? N * 恒成立. (2 分) n ?1 ? x 2 ? 4x ?


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