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临海六中2015-2016学年高三(上)期中数学试卷(文)


2015-2016 学年浙江省台州市临海六中高三 (上) 期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U=R,A={x|x≤2,x∈R},B={1,2,3,4},则 B∩?UA=( A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} )

2.已知 a,b 都是实数,那么“|

a|>|b|”是“a>b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



3.已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如下图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的体积为(



A.

B.

C.1

D.

4.下列命题中,真命题是(



A.?x∈R,2x>1 B.?x∈R,x2﹣x+1≤0 C.?x∈R,lgx>0 D.?x∈N*,(x﹣2)2>0

5.下列命题中,判断正确的为(



A.若两条平行直线中的一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面 B.若直线 a 不平行于平面 α,则 α 内一定不存在与 a 平行的直线 C.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D.若三角形 ABC 在平面 α 外,则边 AB、BC、AC 与面 α 的交点可能不在同一直线上

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6.边长为 1 的正三角形 ABC 内一点 M(包括边界)满足: 值范围为( A.[ , ] ) B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]

=



(λ∈R),则

?

的取

7.设 F1,F2 是双曲线 使( A. )? B.

=1(a>0,b>0)的左,右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

=0(O 为坐标原点),且| +1 C. D.

|=

|

|,则双曲线的离心率为(



8.偶函数 f(x)、奇函数 g(x)的图象分别如图①、②所示,若方程:f(f(x))=0,f(g(x)) =0,g(g(x))=2,g(f(x))=2 的实数根的个数分别为 a、b、c、d,则 a+b+c+d=( )

A.16

B.18

C.20

D.22

二、填空题:(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.) 9.已知直线 l1:ax+y﹣1=0,直线 l2:x﹣y﹣3=0,若直线 l1 的倾斜角为 若 l1⊥l2,则 a= ;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为 ,则 a= . ;

10.已知角 α 的终边经过点(﹣4,3),则 sinα=

,cosα=



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11.函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是

,最小值是



12.设 f(x)= 集为 .

,则

的值为

,不等式 f(x)> 的解

13.已知圆 C:x2+y2+bx+ay﹣3=0(a>0,b>0)上任意一点关于直线 l:x+y+2=0 的对称点都在圆 C 上,则 的最小值为 .

14.若不等式组

表示的平面区域为三角形,且其面积等于 12,则 m 的值





15.设向量 知 上的点,且满足 ,



,定义一种向量积

,已

,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动.Q 是函数 y=f(x)图象 (其中 O 为坐标原点),函数 y=f(x)的值域是 .

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
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(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,求 b2+c2 的最大值.

17.若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a(如 图). (Ⅰ)若 ,求证:AB∥平面 CDE;

(Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°.

18.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n,数列{bn}满足 3nbn+1=(n+1)an+1﹣nan,且 b1=3. (1)求 an,bn (2)若 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值..

19.已知点 M 是椭圆 C:

=1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4,

∠F1MF2=60°,△ F1MF2 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 N(0,2),过点 p(﹣1,﹣2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值.

20.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实 数 t 的取值范围.
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2015-2016 学年浙江省台州市临海六中高三(上)期中数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U=R,A={x|x≤2,x∈R},B={1,2,3,4},则 B∩?UA=( A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 B 与 A 补集的交集即可. 【解答】解:∵全集 U=R,A={x|x≤2,x∈R},B={1,2,3,4}, ∴?UA={x|x>2,x∈R}, 则 B∩?UA={3,4}, 故选:B. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.已知 a,b 都是实数,那么“|a|>|b|”是“a>b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件. 【专题】计算题.



【分析】通过举反例说明由前者推不出后者,由后者也推不出前者,利用充要条件的定义得到结论. 【解答】解:若“|a|>|b|”成立推不出“a>b”成立,例如 a=﹣2,b=1 满足“|a|>|b|”但不满足“a>b” 反之,若“a>b”成立,也推不出“|a|>|b|”成立,例如 a=1,b=﹣2 满足“a>b”但不满足“|a|>|b|” 所以“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件 故选 D 【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简各个条件,再利用充要条件的定义加 以判断.
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3.已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如下图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的体积为(



A.

B.

C.1

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】由三视图可知,该几何体为四棱锥,且底面边长为 1,棱锥高为 2,代入棱锥的体积公式, 我们易得四棱锥 P﹣ABCD 的体积. 【解答】解:∵四棱锥 P﹣ABCD 的三视图俯视图为正方形且边长为 1 正视图和侧视图的高为 2, 故四棱锥 P﹣ABCD 的底面面积 S=1,高 h=2 故四棱锥 P﹣ABCD 的 V= ?1?2= 故选:B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,根据三视图求出底面边长及棱锥的高是解答本题的 关键.

4.下列命题中,真命题是(



A.?x∈R,2x>1 B.?x∈R,x2﹣x+1≤0 C.?x∈R,lgx>0 D.?x∈N*,(x﹣2)2>0 【考点】特称命题. 【专题】综合题. 【分析】根据二次函数的值域,指数函数的值域,对数不等式的解法,一元二次方程不等式的解法, 我们对已知中的 4 个命题逐一进行判断,即可得到答案. 【解答】解:∵当 x=2 时 2x>1,故 A 为真命题; 由于 x2﹣x+1 恒>0,我们易得 B 为假命题;
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由对数函数的性质,我们易得 C:?x∈R,lgx>0 为假命题 由于当 x=2 时,(x﹣2)2=0 故 D 为假命题; 故选 A. 【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的真假判断,其中熟练掌握二次函数的值域,指 数函数的值域,对数方程的解法,一元二次方程根的个数判定方法,是解答本题的关键.

5.下列命题中,判断正确的为(



A.若两条平行直线中的一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面 B.若直线 a 不平行于平面 α,则 α 内一定不存在与 a 平行的直线 C.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D.若三角形 ABC 在平面 α 外,则边 AB、BC、AC 与面 α 的交点可能不在同一直线上 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在 A 中,另一条也平行于这个平面或在这个平面内;在 B 中,直线 a 与 α 相交或 a?α,当 a?α 时,α 内存在无数条直线与 a 平行;根据面面垂直的判定,得到 C 正确;由公理二得边 AB、 BC、AC 与面 α 的交点在同一直线上. 【解答】解:在 A 中:若两条平行直线中的一条平行于这个平面, 则另一条也平行于这个平面或在这个平面内,故 A 错误; 在 B 中:若直线 a 不平行于平面 α,则直线 a 与 α 相交或 a?α, 当 a?α 时,α 内存在无数条直线与 a 平行,故 B 错误; 在 C 中:若平面 α 内存在直线垂直于平面 β, 根据面面垂直的判定,则有平面 α 垂直于平面 β,与平面 α 不垂直于平面 β 矛盾, 所以,如果平面 α 不垂直于平面 β, 那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β,故 C 正确; 在 D 中:若三角形 ABC 在平面 α 外, 则由公理二得边 AB、BC、AC 与面 α 的交点在同一直线上,故 D 错误. 故选:C. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面 间的位置关系的合理运用.

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6.边长为 1 的正三角形 ABC 内一点 M(包括边界)满足: 值范围为( A.[ , ] ) B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]

=



(λ∈R),则

?

的取

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】概率与统计. 【分析】通过已知 M 在三角形内或者边界,得到 λ 的范围,然后利用向量的数量积解答. 【解答】解:因为点 M 在△ ABC 一点,(包括边界)满足: 所以 0≤λ≤ ,所以 所以 ? ? =( ; +λ )? = + = = , +λ (λ∈R),

故选 B. 【点评】本题考查了向量的三角形法则以及数量积运算,属于基础题.

7.设 F1,F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左,右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

使( A.

)? B.

=0(O 为坐标原点),且| +1 C. D.

|=

|

|,则双曲线的离心率为(



【考点】双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】取 PF2 的中点 A,利用 的定义及勾股定理,可得结论. 【解答】解:取 PF2 的中点 A,则 ∵( ∴ ⊥ )? =0,∴2 ? =0 =2 =2 ,可得 ⊥ ,从而可得 PF1⊥PF2,利用双曲线

∵O 是 F1F2 的中点 ∴OA∥PF1, ∴PF1⊥PF2,
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∵|PF1|=

|PF2|, ﹣1)|PF2|,

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=( ∵|PF1|2+|PF2|2=4c2, ∴c=|PF2|, ∴e= = 故选 B =

【点评】本题考查向量知识的运用,考查双曲线的定义,利用向量确定 PF1⊥PF2 是关键.

8.偶函数 f(x)、奇函数 g(x)的图象分别如图①、②所示,若方程:f(f(x))=0,f(g(x)) =0,g(g(x))=2,g(f(x))=2 的实数根的个数分别为 a、b、c、d,则 a+b+c+d=( )

A.16

B.18

C.20

D.22

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】方程思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数,可分别求得 a,b,c,d 进而可 得答案. 【解答】解:逐个考察下列方程 (1)f(f(x))=0,根的个数分析如下: 令 f(x)=0 解得 x=0,﹣ , (假设为 ),再分别令 f(x)=0,﹣ , , 解的个数分别为,3,0,0,共 3 个,所以,a=3; (2)f(g(x))=0,根的个数分析如下: 令 f(x)=0 解得 x=0,﹣ , ,再分别令 g(x)=0,﹣ , , 解的个数分别为,3,3,3,共 9 个,所以,b=9; (3)g(g(x))=2,根的个数分析如下:

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令 g(x)=2 解得 x=1,﹣ ,(假设为﹣ ),再分别令 g(x)=1,﹣ , 解的个数分别为,3,3,共 6 个,所以,c=6; (4)g(f(x))=2,根的个数分析如下: 令 g(x)=2 解得 x=1,﹣ ,再分别令 f(x)=1,﹣ , 解的个数分别为,2,2,共 4 个,所以,d=4; ∴a+b+c+d=3+9+6+4=22, 故选:D. 【点评】本题主要考查了函数的图象和性质,涉及函数的奇偶性、方程的根,以及数形结合的思想 方法和推理能力与计算能力,属于难题.

二、填空题:(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.) 9. ax+y﹣1=0, x﹣y﹣3=0, 已知直线 l1: 直线 l2: 若直线 l1 的倾斜角为 则 a= 1 ;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为 2 【考点】两条平行直线间的距离;直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】求出直线的斜率即可求解 a,利用直线的垂直,斜率乘积为﹣1,求解 a;通过直线的平行 求解 a,然后求解平行线之间的距离. 【解答】解:直线 l1:ax+y﹣1=0,直线 l2:x﹣y﹣3=0,若直线 l1 的倾斜角为 则 a=﹣1: 若 l1⊥l2,则﹣a×1=﹣1,解得 a=1; 若 l1∥l2,所以 a=﹣1,则两平行直线间的距离为: 故答案为:﹣1;1; . = . ,k=1,即﹣a=1, . , 则 a= ﹣1 ; 若 l1⊥l2,

【点评】本题考查直线的垂直,平行,平行线之间的距离求法,考查计算能力.

10.已知角 α 的终边经过点(﹣4,3),则 sinα=

,cosα= ﹣



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【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 和 cosα 的值. 【解答】解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3),则 x=﹣4,y=3,r=|OP|=5, ∴sinα= = ,cosα= =﹣ , 故答案为: ,﹣ . 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,任意角的概念,考查计算能力,是基础题.

11.函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 π ,最小值是 【考点】二倍角的余弦;三角函数的最值. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得 f(x)= 性质即可求得最小正周期,最小值. 【解答】解:∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1 = = + sin2x+1 sin(2x﹣ )+ . ,最小值为: . . sin(2x﹣



)+ ,由正弦函数的图象和

∴最小正周期 T= 故答案为:π,

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识 的考查.

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12.设 f(x)=

,则 .

的值为

,不等式 f(x)> 的解集为

【考点】其他不等式的解法. 【专题】函数思想;分类法;不等式的解法及应用. 【分析】根据分段函数的表达式进行求解即可. 【解答】解:由分段函数的表达式得 f( )=log 则 f(﹣1)=2﹣1= ,故 = , = , =﹣1,

若 x>0,由 f(x)> 得 log2x> ,则 x>

若 x<0,由 f(x)> 得 2x> ,则 x>﹣1,此时﹣1<x<0, 综上不等式的解为﹣1<x<0 或 x> 故答案为:(﹣1,0)∪( ,+∞) ,

【点评】本题主要考查分段函数的应用,注意要进行分类讨论.

13.已知圆 C:x2+y2+bx+ay﹣3=0(a>0,b>0)上任意一点关于直线 l:x+y+2=0 的对称点都在圆 C 上,则 的最小值为 + .

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出圆的圆心坐标,由题意可知圆心在直线上,得到 a,b 的方程,然后利用基本不等式求 出 的最小值.

【解答】解:圆 C:x2+y2+bx+ay﹣3=0(a>0,b>0),所以圆的圆心坐标(﹣ ,﹣ ), 因为圆 C:x2+y2+bx+ay﹣3=0(a>0,b>0)上任意一点关于直线 l:x+y+2=0 的对称点都在圆 C 上, 所以直线经过圆心,即 a+b=4. ∴ = (a+b)( )= + ( + )≥ + ,

当且仅当 = 故答案为:

时,等号成立,故 + .

的最小值为 +

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【点评】本题考查直线与圆的位置关系,基本不等式的应用,考查转化思想,计算能力,属于基础 题.

14.若不等式组

表示的平面区域为三角形,且其面积等于 12,则 m 的值为 5



【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求 解即可, 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 若表示的平面区域为三角形, 由 ,得 ,即 A(2,0),

则 A(2,0)在直线 x﹣y+2m=0 的下方, 即 2+2m>0, 则 m>﹣1, 则 A(2,0),D(﹣2m,0), 由 ,解得 ,即 B(1﹣m,1+m),



,解得

,即 C(



).

则三角形 ABC 的面积 S△ ABC=S△ ADB﹣S△ ADC = |AD||yB﹣yC| = (2+2m)(1+m﹣ =(1+m)(1+m﹣ 即(1+m)× =12, ) )=12,

即(1+m)2=36,
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解得 m=5 或 m=﹣7(舍), 故答案为:5.

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是 解决本题的关键.

15.设向量 知 上的点,且满足 ,



,定义一种向量积

,已

,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动.Q 是函数 y=f(x)图象 (其中 O 为坐标原点),函数 y=f(x)的值域是 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】新定义. 【分析】先设出点 P、Q 的坐标,根据 数 f(x)的解析式,得到答案. 【解答】解:设 P(x0,y0),Q(x,f(x)),则由已知得(x,f(x))=(2x0+ 即 x=2x0+ ,∴x0= x﹣ ,f(x)= y0 ,∴y0=2f(x). ),故 f(x)= sin( x﹣ ). , y0), ,得到 P、Q 的坐标之间的关系,从而写出函

又 y0=sinx0,∴2f(x)=sin( x﹣

∴(f(x))max= ,(f(x))min=﹣ , 故函数 y=f(x)的值域是 故答案为 . ,

【点评】本题主要考查三角函数的最值和最小正周期的求法.这个题要先从条件中抽象出函数的解 析式来,再解题,属于中档题.

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三、解答题:(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,求 b2+c2 的最大值.

【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可得出结论. (Ⅱ)由已知及余弦定理可得:b2+c2=3+bc,结合基本不等式可得 3≥bc,即可得解. 【解答】解:(Ⅰ)由 ,

利用正弦定理可得 2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC, 化为 2sinBcosA=sin(C+A)=sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA= , ∵A∈(0,π), ∴A= . ,

(Ⅱ)∵a=

∴由余弦定理可得:3=b2+c2﹣2bccosA=3=b2+c2﹣bc,可得:b2+c2=3+bc, 又∵b2+c2≥2bc,可得 3+bc≥2bc,解得:3≥bc, ∴b2+c2=3+bc≤3+3=6,即 b2+c2 的最大值是 6. 【点评】本题考查正弦定理,和角的正弦公式,余弦定理,基本不等式的综合应用,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.

17.若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a(如 图). (Ⅰ)若 ,求证:AB∥平面 CDE;

(Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°.

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【考点】直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 【专题】空间角. 【分析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系,确定平面 CDE 的一个法向量 量积为 0,即可证得 AB∥平面 CDE; (Ⅱ)确定平面 CDE 的一个法向量 ,平面 AEC 的一个法向量为 ,利用数

,利用二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°,结合向量的夹角公式,即可求求实数 a 的值. 【解答】(Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, ∴ 设平面 CDE 的一个法向量为 则有 取 ∴ 时, ,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB∥平面 CDE; ),D(0, , , ),D(0,2,0),E(0,0, ),

(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2,0),E(0,0,a),∴ 设平面 CDE 的一个法向量为 取 z=2 时, 又平面 AEC 的一个法向量为 , ,则有 , ,

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∵二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°,∴



即 又 a>0,所以

,解得 .

【点评】本题考查线面平行,考查面面角,考查利用空间向量解决立体几何问题,确定平面的法向 量是关键,属于中档题.

18.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n,数列{bn}满足 3nbn+1=(n+1)an+1﹣nan,且 b1=3. (1)求 an,bn (2)若 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值.. 【考点】数列的求和. 【专题】计算题;方程思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)通过当 n≥2 时利用 an=Sn﹣Sn﹣1,进而计算可得结论; (2)通过(1)利用错位相减法计算可知 Tn= 大值,进而计算可得结论. 【解答】解:(1)∵Sn=n2+2n, ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+2n)﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2n+1, 又∵a1=1+2=3 满足上式, ∴an=2n+1, ∵3nbn+1=(n+1)an+1﹣nan, ∴bn+1= [(n+1)an+1﹣nan]= [(n+1)(2n+3)﹣n(2n+1)]=(4n+3)? , ﹣ ? ,问题转化为求满足 >1 的 n 的最

又∵b1=3 满足上式, ∴bn=(4n﹣1)? ;
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(2)由(1)可知,Tn=3?1+7? +11? Tn=3? +7? 错位相减得: ∴Tn= +…+(4n﹣5)? Tn=3+4( + +…+ +…+

+…+(4n﹣1)? +(4n﹣1)? ,



)﹣(4n﹣1)? ]



[3+4( +

)﹣(4n﹣1)?

=

[3+4?

﹣(4n﹣1)?

]

=

﹣ ?



∵Tn<7, ∴ ﹣ ? <7,即 >1,

记 f(x)=

,则 f′(x)=



显然,当 x≥1 时,f′(x)<0,即 f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 又∵f(3)= ,f(4)= ,

∴满足 Tn<7 时 n 的最大值为 3. 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.

19.已知点 M 是椭圆 C:

=1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4,

∠F1MF2=60°,△ F1MF2 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 N(0,2),过点 p(﹣1,﹣2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(I)由余弦定理可得 =|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°,结合|F1F2|=2c=4,

|MF1|+|MF2|=2a,求出 a2,b2 的值,可得椭圆 C 的方程;
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(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1),与出椭圆方程联立后,利用韦达定理, 化简 k1+k2 可得定值;当直线 l 斜率不存在时,求出 A,B 两点坐标,进而求出 k1、k2,综合讨论结 果,可得结论. 【解答】解:(I)在△ F1MF2 中,由 |MF1||MF2|sin60°= 由余弦定理,得 (1+cos60°) 又∵|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a 故 16=4a2﹣16, 解得 a2=8,故 b2=a2﹣c2=4 故椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1) ,得|MF1||MF2|= .

=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|)2﹣2|MF1||MF2|



,得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k=0

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2= ,

从而 k1+k2= =4.

+

=

=2k﹣(k﹣4) 11 分 ),B(﹣1,﹣ )

当直线 l 斜率不存在时,得 A(﹣1, 此时 k1+k2=4 综上,恒有 k1+k2=4.

【点评】本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、余弦 定理、椭圆的定义,三个方程联立,解出 a,再根据 a,b,c 的关系求出 b,本问分析已知条件是解 题的关键;第二问是直线与椭圆相交于 A,B 两点,先设出 A,B 两点坐标,本题的突破口是在消 参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需考虑直线的斜率是否 存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.
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20.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实 数 t 的取值范围. 【考点】根的存在性及根的个数判断;奇偶性与单调性的综合. 【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)若 a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围; (3)根据方程有三个不同的实数根,建立条件关系即可得到结论. 【解答】解:(1)函数 y=f(x)为奇函数. 理由:当 a=0 时,f(x)=x|x|+2x, f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x), ∴函数 y=f(x)为奇函数; (2)f(x)= 当 x≥2a 时,f(x)的对称轴为:x=a﹣1; 当 x<2a 时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1; ∴当 a﹣1≤2a≤a+1 时,f(x)在 R 上是增函数, 即﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; (3)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的解. ①当﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数, ∴关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根; ②当 a>1 时,即 2a>a+1>a﹣1, ∴f(x)在(﹣∞,a+1)上单调增, 在(a+1,2a)上单调减,在(2a,+∞)上单调增, ∴当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根; 即 4a<t?4a<(a+1)2,
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∵a>1, ∴1<t< (a+ +2). 设 h(a)= (a+ +2), ∵存在 a∈[﹣2,2], 使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴1<t<h(a)max, 又可证 h(a)= (a+ +2)在(1,2]上单调增, ∴<h(a)max= , ∴1<t< , ③当 a<﹣1 时,即 2a<a﹣1<a+1, ∴f(x)在(﹣∞,2a)上单调增, 在(2a,a﹣1)上单调减,在(a﹣1,+∞)上单调增, ∴当 f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a)时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根; 即﹣(a﹣1)2<t?4a<4a, ∵a<﹣1, ∴1<t<﹣ (a+ ﹣2), 设 g(a)=﹣ (a+ ﹣2), ∵存在 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴1<t<g(a)max, 又可证 g(a)=﹣ (a+ ﹣2)在[﹣2,﹣1)上单调减, ∴g(a)max= , ∴1<t< ; 综上:1<t< . 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,以及函数单调性的应用,综合考查分段函数的应用,综 合性较强,运算量较大.
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