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(理数答案)惠州市2013届高三第三次调研考试


惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题考查基本只是和基本运算,共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D B C A C A B B 答案 1、 【解析】

1 ? 3i ? (1 ? 3i)i ? 3 ? i .故选 D. i3

2、 【解析】 2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? -4 ? p ? q ? (2,?3) ? (?4,6) ? (?2,3) ? 13 ,故选 B. 3、 【解析】a=0 或 1 或-1,故选 D 4、 【解析】由设 f ( x) ? x ,图像过点 ( ,
1 22

1 2

2 1 2 1 1 ) 得( ) ? ? ( )2 ? a ? , 2 2 2 2 2

1

log4 f (2) ? log4

1 ? . 故选 A. 4
2

5、 【解析】 m x ? ny ? 1 ?
2

1 1 x2 y2 ? ? 1 , m ? n ? 0 ? 0 ? ? , 即 p ? q, 故选 C. 1 1 m n m n

6、 【解析】甲中位数为 19,乙中位数为 13,故选 A. 7、 【解析】最优解为(-2.5,-2.5) ? zmin ? ?15, 故选 B 8、 【解析】 an?2 ? an ? (?1) n (2n ?1) ? (2n ?1). 取 n=1,5,9 及 n=2,6,10. 结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78 .故选 B. 二、填空题;本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性,共 7 小题。每小题 5 分,满分 30 分,其中 14-15 题为选做题,考生只能选做一题。 9、7 10、3 11、

x2 ? y2 ? 1 9

12、④

13、 ?1,2?

14、 7

15、3

9、 【解析】 S n ? 127 ?

1 ? 2n ? 2 n ? 1 ? n ? 7. 答案:7 1? 2

10、 【解析】n=5,k=1 ? n=16,k=1 ? n=49,k=2 ? n=148,k=3,答案:3 11、 【解析】抛线线 y 2 ? 4 10x 的焦点 ( 10,0) ? a 2 ? b2 ? 10

e?

10 10 x2 ? ? a ? 3 ? b ? 1, 答案: ? y 2 ? 1 a 3 9
1

12、 【解析】m,n 均为直线,其中 m,n 平行 ? ,m,n 可以相交也可以异面,故①不正确; m ? ?,n ? ? 则同垂直与一个平面的两条直线平行;④正确,答案:④ 13 、 解 析 】 1 ? 【
2

1 a ? 2 ? 0 ? a ? 2, a x ? a 是 增 函 数 , 所 以 2

a ?1 ?1? a ? 2, 答案: 1 ? a ? 2.
(二)选做题(14~15 题)考生只能从中选做一题) ? ? 14、 【解析】 PA 切 ⊙ O 于点 A,B 为 PO 中点, AB ? OB ? OA ? ?AOB ? 60?, ?POD ? 120?,在?POD中由余弦定理。 ? 得: PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos?POD
2 2 2

1 ? 4 ? 1 - 4 ? (- ) ? 7 2
解析 2:过点 D 作 DE ? PC 垂足为 E,? ?POD ? 120 ? ,

? ?DOB ? 60?
可得 OE ?

1 3 , DE ? ,在 Rt?PED中, 2 2

? PD ? PE 2 ? DE 2 ?

25 3 ? ? 7 . 答案: 7 4 4

( ( , 15、 【解析】A、B 的极坐标分别为 3, ) 4, ), S ?ABC ? 则 ? 1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 (其中 O 为极点).答案:3. 2 6 3 6

?

?

1 OA ? OB sin ?AOB 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) (1)解:? f ( x) ? sin(x ? ? ), ……………………………………………………2 分

? 函数 f (x) 的最小正周期为 2? .…………………………………………………3 分
?? ? ? ? ? ?函数y ? f ? 2 x ? ? ? sin? 2 x ? ? ? ?. ……………………………………………5 分 4? 4 ? ? ?
又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

2

(k ? Z ) ………………………………6 分

.

?

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

(k ? Z )

? 0 ? ? ? ?, ? ? ?
(2)解: f (a ?

11? .………………………………………………………………7 分 12

2? 2 2? 11 ? ? 2 )? ? sin(a ? ? ) ? sin(a ? ) ? (sin a ? cosa). 3 4 3 12 4 2

2

…………………………………………………………………………………9 分

sin a ? cos a ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2a ? ? sin 2a ? ? ……………………12 分 2 4 4

17、 (本小题满分 12 分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积只和等于 1, 所以 10 ? (0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.……………………………………1 分 解得 a=0.03.…………………………………………………………………………2 分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1-10 ?(0.005+0.01)=0.85. ……………………………………………3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级 数学成绩不低于 60 分的人数均为 640 ? 0.85=544 人…………………………………………5 分 (3)解:成绩在 ?40, ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05=2 人…………………………6 分 50 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40×0.1=4 人. …………………………………7 分
2 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C4 ? 15

………………………9 分

如果两名学生的数学成绩都在 ?40, ? 分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名 50 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ?40, ? 分数段内, 另一个成绩 50 在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.…………10 分
2 2 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C2 ? C4 ? 7 …11 分

所以所求概率为 P( M ) ? 18、 (本小题满分 14 分)

7 …………………………………………………………13 分 15

(1)证明:如图,连接 D1 B, 依题意有:在长方形 A1 ADD 中, AD ? AA ? 1 , 1 1

四边形A1 ADD1 ? A1 D ? AD1

? A1 D ? 平面AD1 B ? ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1 D ? ? ? ? A1 D ? D1 E …4 分 D1 E ? 平面AD1 B ? ? AD ? AB ? A ?

(2)解: AC ?

AB2 ? BC2 ? 5,AE ? AB / 2 ? 1.

EC ? BE2 ? BC2 ? 2.
cos?AEC ? 1? 2 ? 5 2 ?1? 2
2 . 2

??

2 . 2

? sin ?AEC ?

1 2 1 ? S ?ABC ? ?1? 2 ? ? .………………6 分 2 2 2
3

1 1 1 VD1 ? ABC ? ?1? ? . AD ? 3 2 6

AA12 ? DA 2 ? 2 , D1C ? D1C12 ? CC12 ? 5 ,

5? ? sin?D1 AC ?

1 1 3 10 3 2 ? 3 10 ,? S ? . ?ADC ? ? 2 ? 5 ? 10 2 10 2 5
1 3 1 1 d? ? ?d ? . 3 2 6 3

设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,?VD1 ABC ? VE ? AD1C ?

1 ? 点 E 到平面 ACD1 的距离为 .……………………………………………………8 分 3
(3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F,连接 D1F,由三垂线定理可知, ?DFD 为二 1 面角 D1-EC-D 的平面角.

,D1 D ? 1 ? DF ? 1. ……………………………10 分 4 2 DF 1 ? ? sin ?DCF ? ? ? ?DCF ? ,? ?BCF ? . …………………………12 分 DC 2 6 3 ? BE ? tan ? ? BE ? 3 , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3. 3 BC
故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)? f (1) ? a ?

? ?DFD1 ?

?

,?D1 DF ?

?

? ,…………………………14 分 4

1 ?1? ,? f ( x) ? ? ? 3 ? 3?

n

1 2 ? c · a2 ? [ f (2) ? c] ? [ f (1) ? c] ? ? , 3 9 2 a3 ? ? f (3) ? c? ? ? f (2) ? c ? ? ? . 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c=1; a2 ? 2 3 3 27 a1 ? f (1) ? c ?

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? , 所以 an ? ? ? ? a1 3 3 ? 3?

n ?1

?1? ? ?2? ? ? 3?

n

n? N * ; ………………2 分

? S n ? S n?1 ?

?

S n ? S n?1

??

S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 (n ? 2)

?

又 bn ? 0, S n ? 0, ? S n ? S n?1 ? 1; 数列

? S ?构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n, S n ? n 2

当 n ? 2, bn ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1) 2 ? 2n ?1; 又其满足 b1 ? c ? 1.

4

?bn ? 2n ?1(n ? N * ) ;…………………………………………………………5 分
(2)? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1)? ? , 所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn

?1? ? 3?

n

?1? ? 3?
3

n

?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4

1

2

n


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ?1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①式减②式得:



2 3 4 n n ?1 2 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1? ? ?1? Rn ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? …………7 分 3 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? 3? ? ?

1 1 ( ) 2 [1 ? ( ) n?1 ] 2 1 1 2 2(n ? 1) 1 n 3 化简: Rn ? ? 2 ? 3 ? (2n ? 1) ? ( ) n?1 ? ? ? ( ) ……9 分 1 3 3 3 3 3 3 1? 3 n ?1 所以所求 Rn ? 1 ? n ……………10 分 3
(3) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) …………12 分 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ; …………13 分 2 2n ? 1 2n ? 1 n 1000 1000 1000 ? 得n ? 由 Tn ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ……14 分 2n ? 1 2009 9 2009 ?
20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题设知: A(

a2 a ?2
2 2

,0), F1 ( a 2 ? 2 ,0) . a2 a ?2
2

…………1 分

由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a ? 2 ? 2( 1 1 解得 a ? 6 .
2

? a 2 ? 2 ) , …………3 分

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆 M 的方程为 M : 6 2

…………4 分

(2)方法 1:设圆 N : x ? ( y ? 2) ? 1的圆心为 N.
2 2

5

则 PE ? PF ? ( NE ? NP) ? ( NF ? NP)

…………………6 分 …………………7 分 …………………8 分
2

? (?NF ? NP) ? ( NF ? NP) ? NP ? NF ? NP ?1 .
2 2 2

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. …………………9 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P( x0 , y0 ) .
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2
2

…………………10 分

所以

…………………11 分

因为点 N (0,2) ,所以 NP ? x0 ? ( y0 ? 2) ? ?2( y0 ? 1) ? 12 .
2 2 2

…………………12 分 …………………13 分

因为 y0 ?[? 2, 2 ] ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12. 所以 PE ? PF 的最大值为 11. 方法 2:设点 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , 因为 E、F 的中点坐标为(0,2) ,所以 ?

2

………………14 分

? x2 ? ? x1 , ? y ? 4 ? y1 ,

……………6 分 ………………7 分

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )

? x0 ? x1 ? y0 ? y1 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 2 2

? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x1 ? y1 ? 4 y1 ) .
2 2 2 2
2 2 2
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 . 即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 2 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.

………………9 分

因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? y1 ? 2)2 ? 1. 即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .………10 分 ( ………11 分 ………12 分 ………14 分 ……………6 分 ………………7 分

因为 y0 ?[? 2 , 2 ], 所以当 y0 ? ?1 时, (PE ? PF)max ? 11. 方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2. 由 ?

? y ? kx ? 2

, 解得 x ? ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ?

1 k2 ?1

.

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P( x0 , y0 ),
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 . 即 x0 ? 6 ? 3 y0 . ………………8 分 6 2 ? 1 ? ? 1 ? k k 所以 PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ?, PF ? ? ? x0 ,? ? 2 ? y0 ?, ? 2 ? ? 2 ? 2 2 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1 ?

所以

………9 分

6

所以 PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y0 )2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y0 )2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11. 2 k ?1 k ?1
………………10 分 ………11 分

因为 y0 ?[? 2 , 2 ], 所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11. ②若直线 EF 的斜率不存在, 此时 EF 的方程为 x ? 0, 由 ? 不妨设, E (0,3), F (0,1). 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P( x0 , y0 ), 所以
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 . 即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2

?x ? 0

, 解得 y ? 1 或 y ? 3. 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
………………12 分

所以 PE ? (?x0 ,3 ? y0 ), PF ? (?x0 ,1 ? y0 ).
2 2 所以 PE ? PF ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11.

因为 y0 ?[? 2, 2 ] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE? PF 取得最大值 11. 综上可知, PE? PF 的最大值为 11. 21.(本小题满分 14 分) 解: (1) f ' ( x) ? …………………………14 分

…………13 分

2a x[2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] ? x 2 ? 2 x ? 2a ? . ………1 分 2ax ? 1 2ax ? 1

因为 x ? 2 为 f (x) 的极值点,所以 f ' (2) ? 0 . ………2 分 即

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 4a ? 1

………3 分

又当 a ? 0 时, f ' ( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2 为 f (x) 的极值点成立. ………4 分 (2)因为 f (x) 在区间 [3,??) 上为增函数, 所以 f ' ( x) ?

x[2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] ? 0 在区间 [3,??) 上恒成立. ……5 分 2ax ? 1

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3,??) 上恒成立,所以 f (x) 在 [3,??) 上为增 函数, a ? 0 符合题意. …………………6 分

②当 a ? 0 时,由函数 f (x) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只 能a ? 0, 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0 对 x ? [3,??) 上恒成立.
2 2

…………7 分

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 . …………8 分 4a

7

因为 a ? 0 所以 1 ?

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 [3,??) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可. 4a

因为 g (3) ? ?4a 2 ? 6a ? 1 ? 0 ,解得

3 ? 13 3 ? 13 . ?a? 4 4
因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

……………9 分

3 ? 13 . 4 3 ? 13 ]. 4
……………10 分

综上所述,a 的取值范围为 [0,

(3)若 a ? ?

1 b (1 ? x)3 b ? 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x

问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) 2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x 2 ? x3 在 (0,??) 上有解. 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? x3 的值域. 以下给出两种求函数 g (x) 值域的方法: 方法 1:因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x 2 ) ,令 h( x) ? ln x ? x ? x 2 ( x ? 0) . 则 h' ( x ) ? …………………11 分

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? , x x

……………………………12 分

所以当 0 ? x ? 1 时, h' ( x) ? 0 ,从而 h(x) 在 (0,1) 上为增函数, 当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0 ,从而 h(x) 在 (1,??) 上为减函数. 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 . 因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0.
2

………………13 分

……………………………14 分
2

方法 2:因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x ) ,所以 g ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x . 设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 p' ( x) ?
2

1 6x2 ? 2x ?1 ? 2 ? 6x ? ? . x x

当0 ? x ?

1? 7 1? 7 ) 上单调递增; 时, p' ( x) ? 0 ,所以 p (x) 在 (0, 6 6

8

当x?

1? 7 1? 7 时, p' ( x) ? 0 ,所以 p (x) 在 ( ,??) 上单调递减; 6 6
1 2 3 3 1? 7 ) ? 0 ,又 p( 2 ) ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , e e e e 6

因为 p(1) ? 0 ,故必有 p(

因此必存在实数 x0 ? (

1 1? 7 , ) 使得 g ' ( x0 ) ? 0 , e2 6

? 当 0 ? x ? x0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减;
当 x0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 ( x0 ,1) 上单调递增; 当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 (1,??) 上单调递减; 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ? ) ,
2 3 2

1 4

当 x ? 0 时, ln x ?

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4
…………………………14 分

因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0.

9


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