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2015届天津市七校高三4月联考数学(文)试题


2015 届天津市七校高三 4 月联考数学(文)试题 2015.4
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。答卷前,考生将务必将自己的姓名,考 号填写在答题卡上,并在规定的位置填涂信息点。答卷时,考生务必 将答案涂写在答题卡和答题纸上,答在试卷上的无效。考试结束后, 将答题卡和答题纸一并交回。祝各位考生考试

顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分)
1.设虚数单位为 i ,复数

2?i 为() i A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

?x ? y ? 3 ? 2.设变量 x 、 y ,满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 Z ? 2 x ? 3 y 的最小值为() ?y ?1 ?
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 3.阅读下面程序框图运行相应的程序,若输入 x 的值为-8,则输出 y 的值为()

A.0

B.1

C.
x ?2

1 8

D.

1 16

?1? 4.方程 log3 x ? ? ? ?2?
A.(3,4)

的根所在区间为() C.(1,2) D.(0,1)

B.(2,3)

5.若集合 M ? ?0,1,2,3,4? ,集合 N ? x x ? 2 ? 3 ,则下列判断正确的是() A. x ? M B. x ? M C. x ? M D. x ? M ,是 x ? N ,是 x ? N ,是 x ? N ,是 x ? N 的充分必要条件; 的既不充分也不必要条件; 的充分不必要条件; 的必要不充分条件。

?

?

6.已知双曲线

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线与 y ? 3x ?1 平行, 且它的一个焦点 a 2 b2

在抛物线 x 2 ? 24 y 的准线上,则双曲线的方程为()

A.

y 2 x2 ? ?1 36 108

B.

y 2 x2 ? ?1 9 27

C.

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 D. ? ? 1 108 36 27 9

7.已知 f ? x ? ? cos ? 2? x ?

? ?

??

? ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ? x ? 的图像上所 4?
1 倍,纵坐标不变;再把所得的图像向右平移 ? 个单位长度, 2
D.

有的点的横坐标缩短为原的

所得的图像关于原点对称,则 ? 的一个值是() A.

3? 16

B.

5? 16

C.

3? 4

3? 8

8.在 ?ABC 中, O 为中线 BD 上的一个动点,若 BD ? 6 ,则 OB ? OA ? OC 的最小值是 () A.0

??? ? ??? ? ????

?

?

B.-9

C.-18

D.-24

第 II 卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分)
9.已知命题 p : ?x0 ? 2 使得 ? x0 ? 2? ln ? x0 ?1? ? 0 ,则 p :
?

10.若数列 ?an ? 是首项为 a1 ? 3 ,公比 q ? ?1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 a5 是 4a1 与

?2a3 的等差中项,则 S19 ?

11.一个几何体的三视图(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3

(12 题) 12.如图,已知 MA 为⊙O 的切线, A 为切点,

?ABC 是⊙ O 的内接三角形, MB 交 AC 于 D ,交⊙ O 于 E ,若 MA ? MD ,

?ABC ? 60? , ME ? 1 , MB ? 9 ,则 DC ?
13.过点 ? 2,0 ? 引直线 l 与曲线 y ? 2 ? x2 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标 原点,当 ?AOB 面积取得最大值时,直线 l 斜率为

? x ? kx 2 , x ? 0 ? 14.若函数 f ? x ? ? ? x ? 2 有且只有 2 个不同零点,则实数 k 的取值范围是 ? ?lg x, x ? 0

三、解答题: (15-18 题各 13 分,19、20 各 14 分,共 80 分)
15.某公司有一批专业技术人员对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结 果(人数分布)如下表: 学历 本科 研究生

35 岁以下 80

x

35 ? 50 岁 30 20

50 岁以上 20 y

(1)用分层抽样的方法在 35 ? 50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将 该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁 以下 48 人, 50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概 率为

5 ,求 x 、 y 。 39

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a ? 3b ? sin A ? a cos B (1) 求角 B (2) 若 b ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 a, c 17. 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD ,

AD ? CD , BC ? BD , ?BAD ? 60? , SD ? AD ? AB , E 是 SB 的中点。
(1)证明: BC ? DE (2)证明:平面 SBC ? 平面 ADE (3)求二面角 B ? SC ? D 的正弦值 18.已知函数 f ? x ? ?

1 ? a ln x ? a ? 0, a ? R ? x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 x ? 2 处的切线斜率及函数 f ? x ? 的单减区间; (2)若对于任意 x ? ? 0, e? ,都有 f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围。 19.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个短轴端点 ? 2, 0 ,短轴端点和焦点所组成四 边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 Q ? 0, t ? ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B, AQ ? 2QB (1)求椭圆的方程; (2)求 t 的取值范围。
? 20.已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , an ? 2an ?1 ? 1 n ? 2, n ? N

?

?

????

??? ?

?

?

(1)证明 ?an ?1 ? 是等比数列 (2)若 bn ?

an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? an ? 2?? an ? 3?

(3)证明

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ??? n ? ?n ? N ? ? 2 3 a2 a3 an?1 2

七校联考高三数学(文科)答案 2015.4 一、选择题: 1-4ABDB 二、填空题: 5-8DDAC

9. ?x ? 2 都有 ? x ? 2? ln ? x ?1? ? 0 ; 13. ?

10.57;

11.44;

12.4;

3 ; 3

14. k ? 0

三、解答题: 15、 (本小题满分 13 分) 解(1)用分层抽样的方法在 35-50 岁中抽取一个容量为 5 的样本 设抽取学历为本科的人数为 m,则

30 m = ? m=3 50 5

2分

所以,抽取的学历为研究生的人数为 2,学历为本科的人数为 3,分别记为

S1,S2, B1,B2,B3 。从中任取 2 人,所有的基本事件有:
{ S1 , S2 },{ S1 , B1 },{ S1 , B2 },{ S1 , B3 },{ S2 , B1 },{ S2 , B2 },{ S2 , B3 }, { B1 , B2 },{ B1 , B3 },{ B2 , B3 }共 10 个 4分

其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:{ S1 , S2 },{ S1 , B1 },{ S1 , B2 }, { S1 , B3 },{ S2 , B1 },{ S2 , B2 },{ S2 , B3 } 所以,从中任取 2 人,至少有 1 人的学历为研究生的概率为 (2)依题意得:

7 10

6分 8分 10 分 12 分

10 5 = ,N=78 N 39

35-50 岁中被抽取的人数为:78-48-10=20

48 20 10 = ? 80+x 50 20 ? y
解得: x ? 40, y ? 5

13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (1)由 a ? 3b ? sin A ? a cos B 及正弦定理得:

sin A ? 3 sinB? sinA? sinA? cosB
? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0

2分

? 3 sinB? cosB ? 1
即 sin ? B ?

3分 5分

? ?

??

1 ?? 6? 2

又? 0 ? B ? ? ,??

?
6

? B?

?
6

?

?B ?

?
3

5? 6
7分

(2)? S ?

1 ac sin B ? 3 ,? ac ? 4 ○ 1 2

9分 11 分 13 分

又? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 a 2 ? c 2 ? 8 ○ 2 由○ 1○ 2 联立解得: a ? c ? 2

17.(本小题满分 13 分) 证明: (1)? SD ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ,? BC ? SD 又? BC ? BD,SD ? BD ? D ,? BC ? 面SBD 1分 3分 4分 5分 6分

? DE ? 面SBD, ? BC ? DE
(2)?SD=AD=AB,?ABD=60? ,??ABD为等边三角形

?SD=BD,E为SB的中点, ? DE ? SB
又? BC ? DE,SB ? BC=B

? DE ? 平面SBC,DE ? 平面SBD
? 平面SBC ? 平面ADE
(3) 过E作EF ? SC于F,连DF

7分 8分

? DF ? SC, ??DEF为二面角B-SC-D的平面角
设 SD=a, ?BD=a,SB= 2a

10 分

? DE ?

2 DB DB 2 3 a, ? cos30? , DC ? ? a ? 2 DC cos30 3

? DF ? SC ? SD ? DC , SC ? a 2 ?

12 2 21 a ? a 9 3

? DF ?

a?

2 3 a 2 7 3 ? a 7 21 a 3

11 分

?sin ?EDF ?

DE 2 7 14 ? a? ? DF 2 4 2 7a
14 4

12 分

所以,二面角 B ? SC ? D 的正弦值为 18.解: (1) f ? x ? ? ?

13 分

1 a ax ? 1 ? ? 2 , ? x ? 0? x2 x x x ?1 ' 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x 1 k ? f ' ? 2? ? 4
由f
'

1分 2分

? x? ? 0 ,解得: 0 ? x ? 1
4分

所以, f ? x ? 的单减区间为: ? 0,1?

ax ? 1 , ? x ? 0, a ? 0 ? x2 1 ' 令 f ? x ? ? 0 ,求得: x ? a
' (2) f ? x ? ?

5分

若对任意 x ? ? 0, e? 都有 f ? x ? ? 0 等价于 f ? x ? 在 ? 0, e 上的最小值 ? 0 1当x?? ○ 递减

?

6分

?1 ? , e ? ? 0 ,即 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, e? 上恒成立,? f ? x ? 在 ? 0, e? 单调 ?a ?

1 ? 1 ? ? f ? x ?min ? f ? e ? ?? ? ? ,0 ? ? ? 0, e ? ,只需 ? a ? 0 ,又 a ? 0 e ? e ? 1 ?? ? a ? 0 e 1 2 当 x ? ? 0 ,即 a ? 0 时, ○ a 1 1 ' (i)若 ? e ,即 0 ? a ? ,则 f ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, e? 上恒成立, a e 1 ? f ? x ? 在 ? 0, e? 单调递减,? f ? x ?min ? f ? e ? ? ? a ? 0 e 1 ?0 ? a ? e
8分

10 分

(ii)若

1 1 ? e ,及 a ? a e

x
f ? x?
f ' ? x?

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a
0 极小值

?1 ? ? , e? ?a ?

?
单减

?
单增

1 ?1? ? f ? x ?min ? f ? ? ? a ? a ln ? a ? a ln a ? 0 a ?a?
1 ? ?a?e e
综上: a 的取值范围为: ? ? , 0 ? ? ? 0, e ? 12 分

? 1 ? e

? ?

13 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可知椭圆的焦点在 y 轴上 设椭圆的方程为:

y 2 x2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? a 2 b2
2 2 2 2

由题意知: b ? 2, b ? c ,又 a ? b ? c ? 2b ? 4,? a ? 2

3分

所以,椭圆方程为:

y 2 x2 ? ?1 4 2

4分

(2)设 A? x1 , y1 ? ,B? x2 , y2 ? ,由题意知,直线 l 的斜率存在 设直线方程为: y ? kx ? t

? y2 ? 2 x2 ? 4 ? ? y ? kx ? t
2 2 2 则 2 ? k x ? 2tkx ? t ? 4 ? 0 , ? ? ? 2tk ? ? 4 2 ? k

?

?

2

?

2

?? t

2

? 4? ? 0

2tk ? x1 ? x2 ? ? ? ? 2 ? k2 ? 2 ?x ? x ? t ? 4 1 2 ? 2 ? k2 ? ???? ??? ? 又由 AQ ? 2QB ,即 ? ?x1 , t ? y1 ? ? 2 ? x2 , y2 ? t ? ,得 ? x1 ? 2 x2

6分

? x1 ? x2 ? ? x2 2 ?? 即 x1 ? x2 ? ?2 ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?2 x2
可得:

8分

t2 ? 4 ? 2tk ? 2 2 2 ,整理得: ? 9t ? 4 ? k ? 8 ? 2t ? ?2 ? 2 2 ? 2?k ? 2?k ?
2

2

又? 9t 2 ? 4 ? 0 时不符合题意,? k ?

8 ? 2t 2 ?0 9t 2 ? 4

10 分

4 2 ? t ? 4 ,此时 ? ? 0 9 2 2 解得; ? t ? 2 或 ?2 ? t ? ? 3 3
解得: 所以, t 的取值范围为: ? ?2, ?

11 分

? ?

2? ?2 ? ? ?? , 2? 3? ?3 ?

14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (1) an ? 1 ? 2 ? an?1 ? 1? , ? n ? 2? 1分

an ? 1 ? 2 , a1 ? 1 ? 2 an?1 ? 1
所以, ?an ?1 ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。 (2) an ?1 ? 2n ,?an ? 2n ?1 3分 4分

bn ?

2n 2n ?1 1 1 ? ? n ?1 ? n n n n n ?1 ? 2 ? 1?? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 1 2 ? 1

6分

1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 Sn ? ? 0 ? 1 ??? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?
? 1 1 ? n 2 2 ?1
8分

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? (3) 1? 2 ak ?1 2 ? 1 ? 2 ? 2k ? ? 2? ?
? a a1 a2 n ? ??? n ? a2 a3 an ?1 2

10 分

11 分

? ? ? k 1? 1 2 ? ?? ? ? ? a 2 ?1 1 ? 1 2? 2 1 ? ? ? ?1 ? 又? k ? k ?1 1 1 ?? ak ?1 2 ? 1 2 2 ? k k ? 2 ? 2? 2 ? ? ? 2 2 ?? ? ? ?
k

?

1 1 1 1 1 1 ,?k ? N ? ? ? ? ? ? ? k k k ?1 2 2 ? 2 ? 1? 2 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 3 ? 2k

12 分

?

a a1 a2 n 1? 1 1 1 ? n 1? 1 ? n 1 ? ? ? ? n ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? ?1 ? n ? ? ? a2 a3 an?1 2 3 ? 2 2 2 ? 2 3? 2 ? 2 3
a n 1 a1 a2 n ? ? ? ??? n ? ?n ? N ? ? 2 3 a2 a3 an?1 2
14 分

综上:


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