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2006年全国高中数学联赛模拟试题(五)


2006 年全国高中数学联赛模拟试题五(一试)
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分) 1. x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin x2006 cos x1 的最大值是 sin A.1002 B.1003 C.1003.5 D.小于 1002 ( )

? CD ? 于点 E,使得 ?CDE ? 60? ,

且 DE 将△ABC 的面积两等分,则 ? ? ? ? AC ?

2



11.将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数自小到 大排成一个数列{ bn },则 b2006 的值为 .

2.已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成等差数列, b, c, d 成 等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 A.194 B.198 C.200
4 3 2

( D.204



3.已知关于 x 的实系数方程 x ? ax ? bx ? cx ? d ? 0 的四个复数根皆为虚根,其中两根之积为 13 ? i ,另两根之和为 3 ? 4i ,则实数 b 的值为 ( ) A.25 B.26 C.51 D.145 4.若 n??1, 2,...,100 A.29

? 且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 的个数是
C.33 D.34





12.有 5 对孪生兄妹参加 k 个组的活动,若规定:(1)孪生兄妹不在同一组;(2)非孪生关系的任意 两 人 都 恰 好 共 同 参 加 过 一 个 组 的 活 动 ; (3) 有 一 个 人 只 参 加 两 个 组 的 活 动 . 则 k 的 最 小 值 为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 20 分) 13.右图是一个由 3×4 个单位方格组成的街道地图,线条为道路.甲从 A(0,0)点出发按最短 路程走向 B(4,3)点,乙从 B 点按最短路程走向 A 点.如果甲乙两人同时出发,并且以相同的速 度前进.那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少?

B.31

5.在平面直角坐标系上有两个圆 ? O1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 , ? O2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 25 ,以 y 轴为折 痕,将左右两个半平面折成大小为 ? 的二面角,若折起后两圆的圆周均在以 上,则二面角的大小为 A.

14 3 为直径的球面 3
( )

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

6.将五角星的五个“角” (等腰的小三角形)分别沿其底边折起,使与原所在平面成直二面角,则 所形成的空间图形中,共有异面直线的对数为 ( ) A.30 B.50 C.56 D.60 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 9 分) 7. n 个正整数组成的集合 {a1 , a2 ,?, an } 满足条件:对 {a1 , a2 ,?, an } 的任意两个子 集,它们各自元素的和不同.则

?a
i ?1

n

2

i

的最小值为



2 8.设 f ( x) ? x ? ax ? b cos x , x f ( x) ? 0, x ? R ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ,则满足条件

?

? ?

?

的所有实数 a,b 的值分别为 9.已知 x, y, z ? R ,则
?

. .

xyz 的最大值为 (1 ? 5 x)(4 x ? 3 y)(5 y ? 6 z )( z ? 18)

10.在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,与边 AB 或者 BC 相交

14.已知椭圆 4x2 ? y 2 ? 8kx ? 4ky ? 8k 2 ? 4 ? 0 ( k 为参数) ,问是否存在一条定直线,使得该直 线与这些椭圆截得的线段长都等于 5 ?若存在,求出该直线;若不存在,说明理由.

15.已知 a1 ? 1,

a 2 ? 5, a n ?1 ?

a n a n ?1 a n ? a n ?1 ? 1
2 2

, 求 {an } 的通项公式.

2006 年全国高中数学联赛模拟试题五(二试)
2 2 2 CH ? 3 ,求: 一、在 ?ABC 中,H 为垂心,满足 AH ? BH ? CH ? 7 ,且 AH ?BH ?

三、设自然数 k 满足1 ? k ?100 , 对 ,2, ? 1 ,100 的任一个排列a1 a 2 ? 100 ,取最小的 m ? k ,使 , , a

am至少小于a1 , a2 ,?, ak 中 k ? 1 个数,已知满足 am ? 1 的数列的个数为

100! .求 k. 4

(1) ?ABC 的外接圆半径;

(2) S?ABC 达到最大值时三条边的长度.

二、试确定下式的最小值:

max | F1 ( x1 ) ? F2 ( x2 ) ? ? ? Fn ( xn ) ? x1 x2 ? xn |
0? xi ?1

(对一切可能的实值函数 Fi (t )(0 ? t ? 1,1 ? i ? n) ) .

2006 年全国高中数学联赛模拟试题(五)参考答案
一试: 一、选择题 1. sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin x2006 cos x1 的最大值是 A.1002 B.1003 C.1003.5 D.小于 1002 ( )

上,则二面角的大小为 A.





? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

解:D 6.将五角星的五个“角” (等腰的小三角形)分别沿其底边折起,使与原所在平面成直二面角,则 所形成的空间图形中,共有异面直线的对数为 ( B ) A.48 B.50 C.56 D.60 二、填空题 7. n 个正整数组成的集合 {a1 , a2 ,?, an } 满足条件:对 {a1 , a2 ,?, an } 的任意两个子集,它们各自 元素和不同.则 解: (4 ? 1)
n

答 解

1003. 因为

s i n 1 c oxs? x 2

sx2n i

c3o s ? i n n c o1s? x? ? s x x

sin 2 x1 ? cos 2 x2 ? 2

sin 2 x2 ? cos 2 x3 sin 2 xn ? cos 2 x1 n ? ??? ? ,当 x1 ? x2 ?? ? xn ? 时等号成立,所以,欲 4 2 2 2

?a
i ?1

n

2

i

的最小值为



求的最大值为

n =1003 2

1 3

2.已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成等差数列, b, c, d 成 等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 A.194 B.198 C.200
4 3 2

8.设 f ( x) ? x2 ? ax ? b cos x , x f ( x) ? 0, x ? R ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ,则满足条件 的所有实数 a,b 的值分别为 答: 0 ? a ? 4 ,b=0. .

?

? ?

?

( A ) D.204

3.已知实系数方程 x ? ax ? bx ? cx ? d ? 0 的四个复数根皆为虚根,其中两根之积为 13 ? i , 另两根之和为 3 ? 4i ,则 b = 解:51 A.29 B.31 C.33 . ( C )

解: 设 x0 ? x f ( x ) ? 0, x ? R ,则 b ? f (0) ? f ( f ( x0 )) ? 0 .
2 于是 f ( x) ? x( x ? a) .故 f ( f ( x)) ? f ( x) ? f ( x) ? a ? ? x( x ? a)( x ? ax ? a) .

?

?

4.若 n??1, 2, ...,100? 且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 的个数是 D.34

显然 a=0 满足题意.
2 2 若 a ? 0 ,由于 x ? ax ? a ? 0 的根不可能是 0 或者-a,故 x ? ax ? a ? 0 没有实数根,于

简解:设 n ? ab ? 10a ? b, a ? b |10a ? b ,当 a,b 中有一个为 0 时,显然合于要求,于是所有一 位数,及末位为 0 的二位数与三位数 100 皆合要求,这种 n 有 19 个。当 a,b 皆不为 0,

?

10a ? b 9a 9a ? ? 1 ,则 为整数。若(a+b,3)=1,将导致 a+b|a,不合,因此 3|a+b,这 a?b a?b a?b 时 a+b ∈{3,6,9,12,15,18},如果 a+b=偶数,则 9a 为偶数,? a, b 为偶数,因此在 a+b=6
时,只有 42,24 两数适合,a+b=12 时,只有 48,84 两数适合,a+b=18 时无解。在 a+b=3 时,只 有 12,21 适合,在 a+b=9 时,使 a,b 不为 0 的解有 18,27,...,81,共 8 个,在 a+b=15 时, 由 9a ? 3a ,得 a=5,则 b=10,不合,因此共有解 19+2+2+2+8=33 个。 a?b 5 5.在平面直角坐标系上有两个圆 ? O1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 , ? O2 : ( x ? 5) ? y ? 25 ,以 y 轴为折
2 2

是 ? ? a ? 4a ? 0 ,所以, 0 ? a ? 4 .
2

综上所述,满足题设条件的 a,b 分别为: 0 ? a ? 4 ,

b=0. 9.已知 x, y, z ? R? ,则

xyz 的最大值为为 (1 ? 5 x)(4 x ? 3 y)(5 y ? 6 z )( z ? 18)



解:

1 5120

10.在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,与边 AB 或者 BC 相交 于点 E,使得 ?CDE ? 60? ,且 DE 将△ABC 的面积两等分,则 ?

痕,将左右两个半平面折成大小为 ? 的二面角,若折起后两圆的圆周均在以

14 3 为直径的球面 3

? CD ? ? ? ? AC ?

2



答 :

3 . 6
,?ABD ? ?CDE ? ?A ,? 30? ,所以,

项 8 个,为:b1 ? 7 ,b2 ? 11,b3 ? 19 ,b4 ? 23 ,b5 ? 31 ,b6 ? 43 ,b7 ? 47 ,b8 ? 59 , 于是每个区间段中恰有 15 个{ an }的项,8 个{ bn }的项,且有 b8k ? r ? br ? 60k , k∈N, 1 ≤r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 ? 43 , 所以 b2006 ? 60? 250? b6 ? 60? 250? 43 ? 15043.

?? B 45 ? ? 解 :若 ?CDB ? 60? ,则 ?C ? 180??? A

CD ? BD ? AD ,从而 S?BCD ? S?ABD ,于是,点 E 在边 BC 上.
C
C D E

D

B

A

B

A

不妨设 AC=1,CD=k.因为

S?ABC
?
同理可得

1 b 2 sin A sin C ? ab sin C ? 2 2sin B

sin 30? sin 45? , 2sin105?

12.有 5 对孪生兄妹参加 k 个组的活动,若规定:(1)孪生兄妹不在同一组;(2)非孪生关系的任意 两 人 都 恰 好 共 同 参 加 过 一 个 组 的 活 动 ; (3) 有 一 个 人 只 参 加 两 个 组 的 活 动 . 则 k 的 最 小 值 为 . 解:用 A,a,B,b,C,c,D,d,E,e 表示 5 对孪生兄妹,首先考虑(3),不妨设 A 只参加两个组的活动, 要同时满足(1)和(2), 参加的两个组必为 ABCDE 和 Abcde.然后继续编组, A 考虑使同组的人尽可能 地多, 而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中, 只有从 B,C,D,E 和 b,c,d,e 各抽一人 (非 孪生关系) ,把这两个人与 a 搭配,编成四组:Bac,Cab,Dae,Ead 才能保证 k 最小.最后将余下的 没有同组的非孪生关系的每两人编成一组,即为 Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc,Eb,Ec,共 8 组,因此符合规 定的 k 的最小值是 14. 三、解答题 13.右图是一个由 3×4 个单位方格组成的街道地图,线条为道路.甲从 A(0,0)点出发按最短 路程走向 B(4,3)点,乙从 B 点按最短路程走向 A 点.如果甲乙两人同时出发,并且以相同的速 度前进.那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少? 答:

S?CDE

k 2 sin 60? sin 45? ? , 2sin 75?

37 256
2 2 2

14.已知椭圆 4x ? y ? 8kx ? 4ky ? 8k ? 4 ? 0 ( k 为参数) ,问是否存在一条定直线,使得该直 线与这些椭圆截得得线段长都等于 5 ?若存在,求出该直线;若不存在,说明理由. 答: y ? 2 x ? 2 15.已知 a1 ? 1,

所以

k 2 sin 60? sin 45? 1 sin 30? sin 45? ? ? , 2 2sin105? 2sin 75?
2

3 3 ? CD ? 故k ? ,即 ? ? ? 6 . 6 ? AC ?
2

a 2 ? 5, a n ?1 ?

a n a n ?1 a n ? a n ?1 ? 1
2 2

, 求 {an } 的通项公式.

11.将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数自小到 大排成一个数列{ bn },则 b2006 的值为 15043 .

解:定义 F1 ? 1, F2 ? 0, Fn ? Fn?1 ? Fn?2 , n ? 3,4,? 有所给关系式,有

1? 1 an
2

1 a n?1
2

? (1 ? 1 a1
2

1 an
2

)(1 ? 1 a2
2

1 a n?1
2

)

解:由于 an?15 ? an ? 60 ,故若 an 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 an?15 是 3 或 5 的倍数。 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段: (0,+∞)=(0,60]∪(60,120] ∪(120,180] ∪?,注意第一个区间段中含有{ an }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{ bn }的 从而 1 ? 有归纳法可得

1?

? (1 ?

) Fn (1 ?

) Fn ?1

, n ? 1,2,?

1 an
2

? 2 Fn (

26 Fn ?1 ) ? 2 Fn ? 2 13Fn ?1 5 ?2 Fn ?1 25

因此

an ? (2 Fn ? 213Fn ?1 5?2 Fn ?1 ? 1)
1

?

1 2

, n ? 1,2,?

xy ? xz ? yz ?

其中 Fn ?

1 ? 5 n?2 1 ? 5 n?2 [( ) ?( ) ] , n ? 1,2,? 2 2 5

9 ( x ? 3)2 ( x ? 1) ? x(7 ? x) ? 15 ? ? 15 x x
2

等号成立当且仅当 x ? 3, 因而 s ? 因为 R ?

t 3 ? 7t 2 ? 15t ? 9 , 4t

二试:
2 2 2 CH ? 3 ,求: 一、在 ?ABC 中,H 为垂心,满足 AH ? BH ? CH ? 7 ,且 AH ?BH ?

3 3 或R ? 1 ,故 Smax ? 8 ,等号当且仅当 ?ABC 为锐角三角形, R ? 2 2

且 AH ? BH ? 3 CH ? 1 于是易算得三角形三边为 16 、 6及 8 二、试确定下式的最小值:

(1) ?ABC 的外接圆半径;

(2) S?ABC 达到最大值时三条边的长度.

解答: (i)当 ?ABC 为锐角三角形时,设 R 为 ?ABC 的外接圆半径,s 为半周长,由余弦定 (1) 理有: AB2 ? AH 2 ? BH 2 ? 2 AH ? BH cos(? ? ? ) 因为 AB=2R sin ? , CH ? 2R cos ? , 故 AB ? CH ? 4R
2 2
2

(其中 ?ACB ? ? )

max | F1 ( x1 ) ? F2 ( x2 ) ? ? ? Fn ( xn ) ? x1 x2 ? xn |
0? xi ?1

AH ?BH ? CH 因而 4 R ? AH ? BH ? CH ? R
2 2 2 2

(对一切可能的实值函数 Fi (t )(0 ? t ? 1,1 ? i ? n) ) . 解答:详见 《高中数学竞赛专题讲座》 P100 三、设自然数 k 满足1 ? k ?100 , 对 ,2, ? 1 ,100 的任一个排列a1 a 2 ? 100 ,取最小的 m ? k ,使 , , a

将题中等式代入有 4R ? 7 R ? 3
3

即 ( R ? 1)(2R ? 1)(2 R ? 3) ? 0

3 解得 R ? 2 (ii)当 ?ABC 为锐角三角形时,我们有: AH ?BH ? CH 3 4 R 2 ? AH 2 ? BH 2 ? CH 2 ? 得 4R ? 7 R ? 3 R
即 ( R ? 1)(2R ? 1)(2R ? 3) ? 0 ,因为 3 ? AH ?BH ? CH ? (2R)3 ,故解得 R ? 1 , 综上, ?ABC 的外接圆半径为 (2)因为 s ?

am至少小于a1 , a2 ,?, ak 中 k ? 1 个数,已知满足 am ? 1 的数列的个数为

100! .求 k. 4

解答:将 a1 , a2 ,? ak 重新排列成b1 ? b2 ? ? ? bk ,由 m 的最小性,设b2 ? t ,则

am ? t,ai ? t (i ? k ?1 k ?2, ?m ? , 1)

当 t 固定时.

3 或 1。 2

k? 由 b1 ? t . 且 b1 不能为 1,故 b1 有 t ? 2 种取法,而b3 ,?bk ? t , 故有 C1002 t 种取法,而将 ? k? b1,b2,……bk 排列有 k!种,于是确定 a1 , a2 ,?, ak 有 (t ? 2) C1002 t k!种,而前面分析 ?

AB ?BC ? CA (4 R 2 ? AH 2 )(4 R 2 ? BH 2 )(4 R 2 ? CH 2 ) 2 , 故s ? 4R 16 R 2
2

ai ? t ? (i ? k ? 1k ? 2, ?m ?1) ,而在大于 t 的 100 ? t 个数中除去b3 , b4 ,?, bk 还有 , ,
m? k 1 100 ? t ?( k ?2) ?102 ? t? k 个数。故有 A102?t??k 种取法,而 am ? 1 是固定的,其余数

2 2 2 2 设 AH ? x , BH ? y, CH ? z , 4R ? t 。则 S ?

t ? 7t ? t ( xy ? xz ? yz ) ? 9 4t
3 2

不失一般性,设 x ? y ? z ,则 x ?

7 ,且有 3

)! an ?1 ?a100 排列有 (100 ? m 种。

综上满足 am ? 1 的排列个数T ?
102 ? k t ?3

102 ? k t ?3

? (t ? 2)C
103?t

k ?2 100?t

103 ?t

k!

m ? k ?1

?

m? k 1 A102?t??k (100 ? m)!

? ? ? ? ?

? (t ? 2) (k ? 2)!(102 ? k ? t )! k ! ? ?
t ?3

(100 ? t )!

(102 ? k ? t )! (100 ? m)! m ? k ?1 (103 ? t ? m)!

102 ? k

(t ? 2)k (k ? 1)(100 ? t )!

(100 ? m)!(t ? 3)! m ? k ?1 (103 ? t ? m)!(t ? 3)!
103?t

?

102 ? k

?
t ?3 t ?3

(t ? 2)!k (k ? 1)(100 ? t )!

103?t

m ? k ?1

?G
t ?2 100 ? k

t ?3 100 ? m

102 ? k

? (t ? 2)!k (k ? 1)(100 ? t )!C
t ?3 102 ? k t ?3

m m m (因 Cn ? Cn ?1 ? Cn ??1 ) 1

102 ? k

? k (k ? 1)(100 ? t )! (102 ? k ? t )!
(100 ? t )!(k ? 2)! (102 ? k ? t )!(k ? 2)!
102 ? k t ?3

(100 ? k )!

? k (k ? 1)(100 ? k )! ?

k? ? k !(100 ? k )! ? C1002 t ? k ? k !(100 ? k )!C98?1 ? k !(100 ? k )!

98! (k ? 1)!(99 ? k )!

? k (100 ? k )98!

由已知T ?

100! 100! ) ? ,故有 m(100 ? k 98! ? 4 4

? k 2 ?100k ? 99 ? 25 ? 0 ? k ? 45或55


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