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2.3.1离散型随机变量及其分别列2


练习:
1.掷一颗色子两次,所得点数之和为X, 则P(X>10)= ;
? k? P?ξ=5?=ak(k=1,2,3,4,5), ? ?

2.设随机变量 ξ 的分布列为
?

1 ? 3? 4 15 5 则 a=________ ,P?ξ≥ ?=________.

5?


3.随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2,3,…, n , 若 P ?? ? 5? ? 0.4 ,则( A. n ? 4 B. n ? 5

C

) D.不能确定

C. n ? 10

变式:随机变量 ? 的所有等可能取值为1, 2,3,…,10 , 若 P ?? ? n? ? 0.4 ,则 n 的取值范围为

?4,5?

4.抛掷一枚质地均匀的硬币3次,写出正 面向上次数X的分布列.

5.(12 年浙江)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定: 取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任 取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列;
C3 5 5 P ( X ? 3) ? ? 则 , 3 C9 42
2 1 C5 C4 10 P( X ? 4) ? ? , 3 21 C9 2 C1 C 5 5 4 P ( X ? 5) ? ? , 3 14 C9

(2)求 X 的数学期望 E(X).

C3 2 4 P ( X ? 6) ? 3 ? . C9 42

例 1.一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任 7 意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9

(1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机 变量 X 的分布列.
解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,

C2 10-x 7 设袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1- 2 = ,得到 x=5.故白球有 5 个. C10 9

(2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3, 3-k 于是可得其分布列为 Ck 5C5 其中 P(X=k)= , k=0,1,2,3. C3 10 X 0 1 2 3 1 5 5 1 P 12 12 12 12

例 2.【2015 天津理】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球 比赛允许不同协会的运动员组队参加 .现有来自甲协会的运 动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其 中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 解:(I)由已知,有 P ( A) ? ? 4 C8 35

所以事件 A 发生的概率为

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3, 4
4?k C5k C3 P?X ? k? ? (k ? 1, 2,3, 4) 4 C8

所以随机变量 X 的分布列为

X

1

2

3
3 7

4

1 P 14 1 3 3 1 5 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2

1 14

3 7

例 3.【2015 年安徽理】已知 2 件次品和 3 件正品放在 一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件 产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测 出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直 到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检 测费用(单位:元) ,求 X 的分布列.

练习:1.【2015 四川理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参 加辩论赛,A 中学推荐 3 名男生,2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集 训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人, 女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. (2) 某场比赛前, 从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛, 设 X 表示参赛的男生人数,求 X 得分布列和数学期望.
【答案】 (1)A 中学至少 1 名学生入选的概率为 p ? (2)X 的分布列为:

99 . 100

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5

X 的期望为 E ( X ) ? 2 .

2.【2015 山东理 19】若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字 大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增 数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者 需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数, 且只能抽取一次 . 得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得

?1 分;若能被 10 整除,得 1 分.
(I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .

解: (I)个位数是 5 的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;
3 (II)由题意知,全部“三位递增烽”的个数为 C9 ? 84

随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此
2 C83 2 C4 1 1 2 11 , P ? X ? 1? ? 1 ? , ? ? P ? X ? 0? ? 3 ? P ? X ? ?1? ? 3 ? 14 3 42 C9 3 C9 14

所以 X 的分布列为 X P 0 -1 1

2 3

1 14

11 42

2 1 11 4 因此 EX ? 0 ? ? (?1) ? ? 1? ? 3 14 42 21

例 4.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件, 求(1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.
解:∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3? k C5 C95 又∵ P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 C5 C95 C 5 C 95 C 5 C 95 C 5 C 95 P 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100

超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率为
k n? k CM CN ?M P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2,? , m ) 其中 n CN

* , 且 m ? min? M , n? n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N .

称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n

题型分类·深度剖析
变式训练 3 2013 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 64 周 年,来自北京大学和清华大学的 6 名大学生志愿者被随机平均分配 到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务, 3 且运送矿泉水岗位至少有 1 名北京大学志愿者的概率是 . 5 (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、 清华大学志愿者各 1 名的概率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数, 求 ξ 的分布列.

题型分类·深度剖析
解 (1)记“至少有 1 名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为

事件 A,则事件 A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送 矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者 x 名,1≤x<6,那么 P(A)=1 C2 3 6-x - 2 = ,解得 x=2,即来自北京大学的志愿者有 2 名,来自清华 C6 5 大学的志愿者有 4 名.
记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名”为事 1 C1 8 2C4 件 B,则 P(B)= C2 =15, 6

所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概 8 率是 . 15

题型分类·深度剖析
(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 ξ 服从超几何分 布,其中 N=6,M=2,n=2,于是 2-k Ck C 2 4 P(ξ=k)= ,k=0,1,2, C2 6
2 C0 C 2 2 4 ∴P(ξ=0)= C2 =5, 6 1 C1 8 2C4 P(ξ=1)= C2 =15, 6 0 C2 1 2C4 P(ξ=2)= C2 =15. 6

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位 时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记 从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信 息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______.

解 析
方法一
1 C2 C 1 2 2 由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10,∵P(ξ=7)= 3 = , C5 5

1 2 1 1 1 C2 3 C1 2 2C1+C2C2 2C2C1 P(ξ=8)= =10,P(ξ=9)= C3 =5, C3 5 5
1 C2 C 1 2 1 P(ξ=10)= C3 =10, 5

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位 时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记 从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信 4 5 息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______.

解 析

∴ξ 的分布列为 ξ 7 1 5 8 3 10 9 2 5

10 1 P 10 3 2 1 4 ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10) = + + = . 10 5 10 5

方法二

1 C2 4 2C2 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1- C3 =5. 5

探究问题
甲有一个箱子,里面放有x个红球,y个白球(x,y≥0,且 x+y=4);乙有一个箱子,里面放有2个红球,1个白球,1个黄 球.现在甲从箱子任取2个球,乙从箱子里在取1个球,若取出的 3个球颜色全不相同,则甲获胜. (1)试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数,才能使自己获胜的 概率最大? (2)在(1)的条件下,求取出的3个球中红球个数的分布列.

? P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

5.一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、2、3、 4、5、6,现从中随机取出3个小球,以 表示取出 ? 球的最大号码,求 的分布列. ?
解:
1 2 1 C 1 C2 表示其中一个球号码等于“3” , ∴ P(? ? 3) ? ? “? ? 3” 3 20 另两个都比“3”小 C6 1 2 3 表示其中一个球号码等于“ 4” , C “? ? 4” 1 C3 ? ∴ P(? ? 4) ? 另两个都比“4”小 3 20 C6

? 的所有取值为:3、4、5、6.

“? ? 5” 表示其中一个球号码等于“5”,

另两个都比“5”小

“? ? 6” 表示其中一个球号码等于“3”, 另两个都比“3”小 ∴ P(?

1 2 C1 C4 3 ∴ P(? ? 5) ? ? 3 C6 10
1 2 1 C1 C5 ? 6) ? ? 3 C6 2

∴ 随机变量? 的分布列为:

?

3
1 20

4
3 20

5
3 10

6
1 2

P


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