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第6讲 函数的概念(学案)


第六讲
适用学科 适用区域 知识点


函数的概念
适用年级 本讲时长 高一 120 分钟

数学 全国

函数的概念,函数的定义域与值域,映射的概念,函数的表示方

学习目标

学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数 概念中的作用

. 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 了解映射的概念. 学习函数的表示方法,会作简单函数的图象.

学习重难点

重点:函数的概念及表示方法,求函数的定义域. 难点:映射,函数值域.

一、知识讲解
考点 1
函数的概念: 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法则 f,都有 唯一确定的数 y 与它对应, 则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数. 记作 y ? f ( x) ,

x? A.
注意: y ? f ( x) 是函数的简写,并不表示“y=f 与 x 的乘积” ;

考点 2
函数的定义域与值域: 函数的定义中,自变量 x 取值的范围叫做这个函数的定义域;所有函数值构成的集合

?y

y ? f ( x), x ? A?叫做这个函数的值域.
1

确定一个函数的两个要素:定义域,对应法则.

求函数的解析式的一般方法:配凑法、换元法、待定系数法 求函数的定义域的一般原则:分母不为零;偶次根下不为负;零的零次幂没意义等等 求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法. 注意:①构成函数的三要素:定义域、值域和对应法则; ②判断两个函数是否相对,只需看函数的三要素是否相同.

考点 3
映射的概念: 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x ,在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射. 这时, 称 y 是 x 在映射 f 作用下的象, 记作 f ( x) , 于是 y = f ( x) ,x 称作 y 的原象. 映射 f 也可记为

f :A?B

x ? f ( x)

其中 A 叫做映射 f 的定义域,由所有象 f ( x) 构成的集合叫做映射 f 的值域. ①判断某“对应法则”是否为 A→B 的映射,主要看是否为“一对一”及“多对一”的 两种特殊对应;应特别注意; ② A 中任一元素在 B 中应有象,且象唯一; ② B 中可以有空闲元素,即 B 中可以有元素没有原象.

考点 4
函数的表示法: 列表法; 图象法.如果F是函数 y ? f ( x) 的图象,则图象上任一点的坐标 ( x, y ) 都满足函数关 系 y ? f ( x) ;反之,满足函数关系 y ? f ( x) 的点 ( x, y ) 都在图象F上; 解析法.如果在函数 y ? f ( x) ( x ∈ A) 中, f ( x) 是用代数式(或解析式)来表示的, 则这种表示函数的方法叫做解析法. (也称为公式法) .

2

二、例题精析
【例题 1】 1 判断下列各组中的函数是否为同一函数,并说明理由. (1) 表示炮 弹飞行 高度 h 与时 间 t 关系的 函数 h = 130t __ 5t 2 和 函数 y = 130x __ 5x 2

( x ≥ 0) ;
(2) f ( x) = 1 和 g ( x) = x 0 .

【又例】下列函数中那个与函数 y = x 相等? ⑴ y=( x ) 2 ;⑵y= 3 x 3 ;⑶y= x 2 ;⑷y=
x3 x2



【例题 2】 已知函数 f ( x) = x ? 3 +
1 . x?2
__ (2)求 f ( 3) 和 f ( ) 的值;

(1)求函数 f ( x) 的定义域;

2 3

__ (3)当 a > 0 时,求 f ( a ) , f (a 1) 的值; (4)求 f ( 2 x- 及其定义域. 1 )

3

【又例】设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] , (1)求函数 f ( x 2 ) 的定义域; (2)求函数 f ( x ? 2) 的定义域.

【例题 3】 (1)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) ; (2)已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,求 f ( x) 的解析式.

【例题 4】 求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?

4 ? x2 ?1 ,

(2) f ( x) ?

1 1? 1 1? 1 x



(3) f ( x ) ?

( x ? 1) 0 x ?x



(4) y ?

x?2 ?3 ? 3

1 3x ? 7



4

【例题5】 求下列函数的值域. (1) y ? 16 ? x 2 ; (4) y ? (2) y ? ? x 2 ? x,x ? [?2, 2] ; (3) y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x (5) y ? x ? 1 ? x ? 1

x 2 ? 5x ? 6 ; x2 ? x ? 6

【例题6】 以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射? ⑴集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f :数轴上的点与它所代表的 的实数对应; ⑵集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点}, 集合 B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系 f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; ⑶集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f :每一个三角形都对应它 的内切圆; ⑷集合 A={x|x 是实验中学的班级}, 集合 B={x|x 是实验中学的学生}, 对应关系 f : 每一个班级都对应班里的学生.

5

【又例】已知(x,y)的映射 f 作用下的象是(x+y,xy). (1)求(-2,3)在 f 作用下的象; (2)若在 f 作用下的象是(2,-3),求它的原象.

【例题7】 某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x?{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用函数的三种方法 表示函数 y= f ( x) .

三、课堂运用
【基础】 1. 函数 y ?
x ?1 的定义域为__________. x

2.设 f ( x) =
35 A. 12

1? x2 1 1 ,则 f ( ) + f ( ) + f (?2) + f (?3) = 2 2 3 1? x
35 B.- 12 C.1

(

)

D.0

又例:已知函数 f ( x) =

1? x2 1 ,求证: f ( ) + f ( x) =0. 2 x 1? x

【巩固】 3.函数 f ( x ) 的定义域是 [?1,1) ,则函数 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x 2 ) 的定义域是
6

4. 已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域(
A. (?1,1) B. ( ?1, ? )



1 2

C. (?1, 0)

D. ( ,1)

1 2

【拔高】 5.求函数 y ?
7x ? 2 ?1 ? , x ? ? ,2? 的值域. x ?3 ?

6.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f :A→B,把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B
中元素 n3+n,则在映射 f 下象 68 的原象是 ( A.2 B.3 ) D.5

C.4

四、课程小结
1.求定义域的规律: ①如果 f ( x) 是整式,那么函数的定义域是实数集 R.

②如果 f ( x) 是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

③如果 f ( x) 是二次根式(偶次根式) ,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等 于零的实数的集合. ④如果 f ( x) 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合(即求各部分有意义的集合的交集). 2. 求函数解析式的规律: ①已知 f ( x) ,求 f ( g ( x)) ,只需将 f ( x) 中的 x 全部换成“ g ( x) ” ,再化简即可. ②已知 f ( g ( x)) ,求 f ( x) ,可以采用换元法或凑项法. ① 已知函数类型,求函数 f ( x) ,可以采用待定系数法. 3. 函数的表示方法的联系: ①解析法:用数字表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明,给出自变量 x 可求出函数值.
7

②图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系 优点:直观形象,反映变化趋势. ③列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点:不需计算,就可看出函数值.

五、课后作业
【基础】 1.下列函数中,定义域不是 R 的是( ) A.y=kx+b B.y=

k x ?1

C.y=x2+bx-c )

D.y=

1 x ? x ?1
2

2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ?

x x

B. y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

C. y ? x, y ? 3 x 3

D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

2 3.已知函数① y ? 1 ? x ;② y ? 2 x ? 1 ;③ y ? x ?1 ;④ y ?

5 ,其中定义域和值域相同 x

的函数有( A.①④

) B.③④ C.①② ) D. ②③

? x ? 1, ( x ? 0) 4.设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ?0, ( x ? 0) ?
A. ? ? 1 B. 0 C.

?
)

D. ? 1

5.下列图象中,不能作为函数 y = f ( x ) 的图象的是( y y y

y

O A

x

O B

x C

O

x

O D

x

6. 函数 y=|x-1|,x∈[-1,2]的值域是( ).
8

A.[-1,1]

B.[0,1]

C.[0,2]

D.[1,2]

7.对于集合 A={a,b,c}和集合 B=R,以下对应关系中,一定是集合 A 到集合 B 的映射 的是( ) B. 对集合 A 中的数取倒数

A.对集合 A 中的数开平方

C.对集合 A 中的数取算术平方根 D.对集合 A 中的数取立方 8.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f :A→B,把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中元素 n3+n,则在映射 f 下象 68 的原象是 ( A.2 【巩固】 1.已知 f 满足 f (ab) = f ( a ) + f (b) ,且 f ( 2) = p , f (3) ? q 那么 f (72) 等于( A. p ? q 2.设函数 f ( B. 3 p ? 2q C. 2 p ? 3q D. p 3 ? q 2 ) B.3 ) D.5

C.4

1? x ) ? x ,则 f ( x) 的表达式为( ) 1? x 1? x 1? x 1? x 2x A. B. C. D. 1? x x ?1 1? x x ?1 3.设 f ( x) 的定义域是[-3, 2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域.
4. 求函数 y ?

7x ? 2 ?1 ? , x ? ? ,2? 的值域. x ?3 ?
1 x2
__

5.已知 f (1 + ) =

1 x

3 ,求函数 f ?x ? 1? 的解析式.
25cm

6.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成长方形木料,如果截 面矩形的一边长为 x,面积为 y,把 y 表示为 x 的函数. 【拔高】

x

? x 2 ? 1, x ? 0 2 1. 已知函数 f ? x ? ? ? , 则满足不等式 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 的 x 的取值范围是 x?0 ?1,
2.函数 f ( x) ?| x ? 2011| ? | x ? 2012 | ? | x ? 2013 | ( x ? R) 的最小值为 .

.

9

3.已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的

x 的值是


.

4. 已知 f ( x) +2 f ( ) =3 x ,求 f ( x) 的解析式为 5.已知函数 f (2x + 1) = 6. 已知函数 f ( x) = ? 是

1 x

x + 3 ,求 f (2 x + 1) 和 f ( x) 的定义域.

?1 ?x ? 3

?x ? 0或x ? 1?

?0 ? x ? 1?

,则使等式 f [ f ( x)] =1 成立的 x 值的范围

.

课后作业题解析与参考答案 【基础】 1.【答案】B 【解析】 B 选项中 + 1 ≠ 0,故 ≠ ?1,定义域不是 R. 2.【答案】C 【解析】 A 选项中第二个函数 ≠ 0,定义域不同;B 选项中两个函数定义域不同;D 选项 中第二个函数要求 ≥ 0, 定义域也不同,故选 C. 3.【答案】C 【解析】① 中定义域和值域都是 R;②中定义域和值域都是 R;③中定义域是 R;值域 [ ? 1,∞),故不同;③中定义域是{| ≠ 0},值域{|>0}. 4.【答案】A

1) = 0 , f ( 0 ) = ? , f ( ? ) = ? +1. 【解析】 理解分段函数的意义. f ( -
5.【答案】B 【解析】和 y 轴平行的直线与任何函数的图象最多只能有一个交点.
10

B 显然不满足,故选 B. 6.【答案】C 7. 【答案】D 【解析】A 选项中负数不能开平方.B 选项中 0 不能取倒数.C 选项中负数不能取算术平方 根. 8.【答案】C 【解析】 若 n=2 则 n3+n=10, 若 n=3 则 n3+n=30, 若 n=4 则 n3+n=68, 若 n=5, 则 n3+n=130,故选 C. 【巩固】 1.【答案】B 【解析】 f (72) = f ( 8 ) + f ( 9 ) = 3 f ( 2 ) +2 f ( 3 ) = 3 p ? 2q . 2.【答案】A 【解析】换元法。设 t=

1+ t 1? x 1? x ,可得 x = ,得 f ( x) = . 1-t 1? x 1? x

3.【解析】要使函数有意义,必须 又 ∵

?3? x ?2 ? 2

得: ? 1 ?

x ? 2? 2

x ≥0

∴ 0?

x ? 2? 2

0? x ? 6?4 2

∴ 函数 f ( x ? 2) 的定域义为 x | 0 ? x ? 6 ? 4 2 . 4.【解析】 ∵ x ? ? ,2? , ∴ y ? 3 由

?

?

?1 ? ? ?

7x ? 2 7 2 49 1 7 ? ? 2 = ? 2( ? ) 2 x x x 8 x 4

1 7 25 1 ?1 ? ? ? ,3? , 有 0 ? ( ? ) 2 ? x 4 16 x ?2 ?



7 2 y ? [ 3, ] 即为所求函数的值域. 4
__

__ 2 5.【答案】 f ?x ? 1? = ( x 2) 3 .

【解析】∵ f (1 +

__ 2 ∴ f ?x ? 1? = ( x 2) 3 . __

1 1 )= 2 x x

__

3 = (1 +

1 x

__

1) 2 3 ,

__

11

6.【解析】 如图,由于矩形的对角线就是圆的直径, 25cm 于是矩形另一边长为 50 ? x ,∴ y=x 50 ? x
2

2

2

2

注意到实际问题的限制有 ?

? ? x ? 0, 有 0<x<50. 2 2 ? ?50 ? x ? 0.

x

2 2 ∴ 所求函数为 y=x 50 ? x (0<x<50) .

【拔高】 1. 【答案】 ? 2 ? x ? 1 . 2. 【答案】2. 3. 【答案】1;2. 4.【答案】 f ( x ) ?

2 - x. x

5.【解析】 函数 f (2 x + 1) 的定义域为[0,+∞); ∵ f (2 x + 1) =
x +3=
( 2 x ? 1) ? 1 +3, 2

∴ f ( x) =

x ?1 +3. 2

∴ f ( x) 的定义域为[1,+∞). 6.【解析】当 0≤ x ≤1 时, f ( x) =1,∴ f [ f ( x)] = f (1) =1,∴ x ∈[0,1]适合. 当 x >1 时, f ( x) = x -3, ①( x -3)∈[0,1]时, f [ f ( x)] = f ( x- 3) =1,此时 x ∈[3,4]适合; ② ( x -3)∈(-∞,0)时, f [ f ( x)] = f ( x- 3) =( x -3)-3= x -6≠1; ③ ( x -3)∈(1,+∞)时, f [ f ( x)] = f ( x- 3) =( x -3)-3,∴ x =7; 当 x <0 时, f ( x) = x -3,x -3<-3 时, f [ f ( x)] = f ( x- ( x -3) -3= x -6≠1. 3) = 故符合题意的 x 的取值范围为[0,1]∪[3,4]∪{7}.
12


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