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第1章第3节 古典概型与几何概型(2) 综合讲练


概率论与数理统计

第 1 章 随机事件及其概率

第3节

古典概型与几何概型 综合讲练

Ⅰ、全面学习基本内容(见教材、课件) Ⅱ、概括内容提要(见教材、课件) Ⅲ、归纳常见题型(必做题)

题型二 几何概型的计算
? 提示
(1)计算公式 确认该问题(试验)满足“无限性”及“均匀性”后,即可求出事件 A 发 生的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) ? ? ? ( S ) 区域 S 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等)

(2)方法 “画” :先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,并画出对应的区域

S 及区域 A 的草图,再计算出 ? ( S ) 与 ? ( A)
【补例 1.3.10】~【补例 1.3.13】 【例 7】 (P14 例 5) , 【例 8】 (P15 例 6) ; 【习题 1—3 EX12】 (P17) ; 【总习题一 EX14】 (P29).

一幅图胜过千句话 !

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第 1 章 随机事件及其概率

第3节

古典概型与几何概型 综合讲练

题型二 几何概型的计算
? 提示
(1)计算公式 确认该问题(试验)满足“无限性”及“均匀性”后,即可求出事件 A 发 生的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) ? ? ? ( S ) 区域 S 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等)

(2)方法 “画” :先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,并画出对应的区域

S 及区域 A 的草图,再计算出 ? ( S ) 与 ? ( A)
? 辨析 几何概型的假设条件
(1) 无限性: 随机试验的基本事件总数 (对应于样本点总数) 为无限不可列个, 且随机试验的样本空间 S 是 R n 中的一个可度量的区域(可求其长度、面积、体 积等) ; (2 )均匀性:每一个基本事件出现相当于向区域 S 中均匀地投掷一个样本点 “?” ,即每一个样本点出现的可能性相同(对应于每一个基本事件出现的可能 性相同) ,如图 1.3-1 所示.

图 1.3 - 1 ( 2 维空间中的区域 ) 样本点 “ ? ” 落入区域 S 中任意子区域 A 的可能性与区域 A 的度量成正比,

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古典概型与几何概型 综合讲练

而与其位置形状无关 【补例 1.3.10】 某公共汽车站每隔 10min(分钟)有一辆汽车到达,一位乘客 到达车站的时间(时刻)是任意的,求. (1)他到站后等候的时间不超过 3min(分钟)的概率; (2)他到站后等候的时间超过 3min(分钟)的概率; (3)他到站后等候的时间恰好为 3min(分钟)的概率; (4)他到站后不用等车的概率. 【解】 (1)设事件

A ={

他等候的时间不超过 3min(分钟) }

先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{t
A?{t

t 0 ? t ? t 0 ? 10 } ? ( t 0 , t 0 ? 10 ] t 0 ? 7 ? t ? t 0 ? 10 } ? [ t 0 ? 7 , t 0 ? 10 ]

( 样本点 t -- 对应基本事件“每一个乘客到站的时刻为 t ” , t 0 ? t ? t 0 ? 10 , 其中 t 0 为上一班列车到站的时刻,可取 t 0 ? 0 ; t 的单位: ? 时 ? 分 )

( 1 维空间中的区域(区间)) 于是,他到站后等候的时间不超过 3min(分钟)的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区间 A 的长度 ( t 0 ? 10 ) ? ( t 0 ? 7 ) 3 ? ? ? ? ( t 0 ? 10 ) ? t 0 ? ( S ) 区间 S 的长度 10

同理,可得 (2)他到站后等候的时间超过 3min(分钟) (设为 B )的概率为:

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P(B )

几何定义 ? ( B ) 区间 A 的长度 ( t0 ? 7 ) ? t0 7 ? ? ? ? ? ( S ) 区间 S 的长度 ( t 0 ? 10 ) ? t 0 10

( 1 维空间中的区域(区间)) (3)他到站后等候的时间恰好为 3min(分钟) (设为 C )的概率为:
P (C ) 几何定义 ? ( C ) 区间 C 的长度 ( t ? 7 ) ? ( t ? 7 ) 0 0 ?0 ? ? ? ? ( S ) 区间 S 的长度 ( t 0 ? 10 ) ? t 0

( 1 维空间中的区域(区间)) (4)他到站后不用等车的“人到车到” (设为 D )的概率为:
P(D ) 几何定义 ? ( D ) 区间 C 的长度 ( t ? 10 ) ? ( t ? 10 ) 0 0 ?0 ? ? ? ? ( S ) 区间 S 的长度 ( t 0 ? 10 ) ? t 0

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( 1 维空间中的区域(区间))

? 辨析
① 不可能事件 ? 的概率为 0,即 P ( ? ) ? 1 (概率的性质 1) ; 但概率为 0 的事件不一定是不可能事件 ( 反例: P ( D ) ? 0

?

D??



② 必然事件 S 的概率为 1,即 P ( S ) ? 1 (公理 1) ; 但概率为 1 的事件不一定是必然事件 ( 反例: P ( D ) ? 1 ?

D ?S



③ 两个事件相等则两个事件的概率相等(逻辑推断) ; 但两个事件的概率相等不能推出两个事件相等 ( 反例: P ( C ) ? P ( D )

?

C?D



【补例 1.3.11】两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时 间到达,舌两船停靠泊位的时间分别为 1 小时和 2 小时,求一艘轮船停靠泊位时, 需要等待空出码头的概率. 【解】 设事件

A ={

一艘轮船停靠泊位时,需要等待空出码头 }

分解 ? {轮船甲停靠泊位时,需要等待空出码头 } +{ 轮船乙停靠泊位时,需要等待空出码头 }
= { 轮船乙先到泊位,轮船甲需要等待 2 小时后才能停靠泊位 } + { 轮船甲先到泊位,轮船乙需要等待 1 小时后才能停靠泊位 }
记为 ? A1 ? A 2

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先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 B ?

A1 ? A 2 ,得

S ?{ ( x , y )

0 ? x ? 24 , 且 0 ? y ? 24 }
y ? x ? y ? 2 , 且 ( x , y )?S }

A ? A1 ? A 2 ? { ( x , y )

? { ( x , y ) x ? y ? x ? 1, 且 ( x , y ) ? S }
( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件 “轮船甲、 乙到达泊位的时刻分别为 x 、y ” , 单位: ? 时, 0 ? x ? 24 , 且 0 ? y ? 24 ) ? 注意: y ? x ? y ? 2 ? x ? 2 ? y ? x

( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:

1 2 1 2 2 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 24 ? 22 ? 23 2 2 P( A) ? ? ? 2 ? ( S ) 区域 S 的面积 24 1 1 576 ? 484 ? 529 1013 139 2 2 ? ? 0.120659722 ? 0.1207 ? ? 1? 576 1152 1152
【补例 1.3.12】设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控,监控期为 l 单 位时间,该期间内随时可提取尿样化验,设该人员随时可能复吸且复吸后 s 单位 时间内尿样呈阳性反应,求该人员复吸并被检验出的概率. 【解】 设事件

A ={

该人员复吸并被检验出 }
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先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0? x ?l ,且0? y ?l }
0 ? y ? x ? s , 且 ( x , y )?S }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件“该人员复吸的时刻、被检验出的时刻分别 为 x 、 y ” , x 、 y 的单位: ? 时 ? 分 )

( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:
1 2 1 1 l ? (l ? s)2 l s ? s2 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 2 2 ?2 ? P( A) ? ? 2 2 ? ( S ) 区域 S 的面积 l l

【补例 1.3.13】从区间 ( 0 , 1 ) 内任取两个数,求这两个数的积小于等于 1 4 的概率. 【解】 设事件

A ={

从区间 ( 0 , 1 ) 内任取两个数,求这两个数的积小于 1 4 }

先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0 ? x ? 1, 且 0 ? y ? 1 }
0? xy? 1 , 且 ( x , y )?S } 4
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( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件 “从区间 ( 0 , 1 ) 内任取两个数分别为 x 、
y” )

( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:
几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 ? ? ? ? ( S ) 区域 S 的面积

P( A)

1 ?1 ? 4

?1
1
4 2

1

1 dx 4x

1 1 ? ln 2 1 1 4 2 ? ? ln 2 ? 0.59657359 ? 0.5966 ? 4 2 1
【例 7】 (教材 P15 例 5)

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【解】 设事件

A ={

他(她)等待的时间短于 10 分钟 }

先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{t
A?{t

t 0 ? t ? t 0 ? 60 } ? ( t 0 , t 0 ? 60 ] t 0 ? 50 ? t ? t 0 ? 60 } ? [ t 0 ? 50 , t 0 ? 60 ]

( 样本点 t -- 对应基本事件“他(她)到站的时刻为 t ” , t 0 ? t ? t 0 ? 60 ,其 中 t 0 为电台上一次报时的时刻,可取 t 0 ? 0 ; t 的单位: ? 时 ? 分 )

( 1 维空间中的区域(区间)) 于是,他到站后等候的时间不超过 3min(分钟)的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区间 A 的长度 ( t ? 60 ) ? ( t ? 50 ) 10 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ( S ) 区间 S 的长度 ( t 0 ? 60 ) ? t 0 60 6

【例 8】 (教材 P16 例 5)

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【解】 设事件

A ={

两人能会面}

先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 }
x ? y ? 20 , 且 ( x , y ) ? S }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件“甲、乙两人到达指定地点的时刻分别 为 x 、 y ” ,单位: ? 分, 0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 ) ? 注意

x ? y ? 20 ? x ? 20 ? y ? x ? 20

( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 60 2 ? 40 2 5 ? ? ? ? ? ( S ) 区域 S 的面积 9 60 2
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【习题 1—3 EX12】 (P17)

【解】 设事件

A ={

甲乙同乘一辆车 }

(1)见车就乘 先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 }
0 ? x ? 15 , 且 0 ? y ? 15 } ? { ( x , y ) 15 ? x ? 30 , 且 15 ? y ? 30 }

{ ( x , y ) 30 ? x ? 45 , 且 30 ? y ? 45 } ? { ( x , y ) 45 ? x ? 60 , 且 45 ? y ? 60 }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件 “甲、 乙两人到达车站的时刻分别为 x 、y ” ,

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单位: ? 分(以 1 点为起始时刻) , 0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 )

( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 4 ? 15 2 1 ? ? ? ? ? ( S ) 区域 S 的面积 16 ? 15 2 4

(2)最多等一辆车 先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 }
0 ? x ? 30 , 且 0 ? y ? 30 } ? { ( x , y ) 15 ? x ? 45 , 且 15 ? y ? 45 }

{ ( x , y ) 45 ? x ? 60 , 且 45 ? y ? 60 }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件 “甲、 乙两人到达车站的时刻分别为 x 、y ” , 单位: ? 分(以 1 点为起始时刻) , 0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 )

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( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:
P( A) 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 10 ? 15 2 5 ? ? ? ? ? ( S ) 区域 S 的面积 16 ? 15 2 8

【总习题一 EX14】 (P29)

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【解】 设事件

A ={

原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于

? } 4

(1)见车就乘 先用集合表示该试验的样本空间 S 及事件 A ,得

S ?{( x , y )
A?{( x , y )

0? y?

2a x ? x 2 , 且 a ? 0 }

y ? x , 且 ( x , y )?S }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件 “该点的坐标 分别为 x 、 y ” ,
0? y? 2a x ? x 2 , 且 a ? 0)

?

注意

y?

2a x ? x 2

?

y?

a 2 ?( x?a ) 2

? ( x?a ) 2 ? y 2 ? a ( y ?0) ? x ?a? a2?y2 ( y?0)

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( 2 维空间中的区域(平面区域)) 于是,所求事件的概率为:

a2 ? a2 ? ? 1? 几何定义 ? ( A ) 区域 A 的面积 4 ? 2 ? 1?1 P( A) ? ? ? 2 2 ? ( S ) 区域 S 的面积 ? 2 ? ?a 2

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