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高考中一道


教学 参谋

新颖试题

2015 年 2 月

高考中一道 “裂项求和” 问题课本探源
筅广东省兴宁市第一中学
赖海波

“裂项求和法” 是数列求和问题中重要的一种方法, “裂项 多次出现在全国各省市的高考命题中, 其本质是 相消” , 即把数列的每一项裂分成两项之差求和, 正负

相 消之后剩下首尾若干项.本文以2014年高考山东卷中数 列解答题为例,就裂项法在数列求和中的应用进行探 究.
题目 (2014 年 山 东 卷 )已知等差数列{an}的公差为

1 1 1 1 1 的前n项和S = + + + +…+ 1 1 n (n+1 ) 1×2 2×3 3×4 4×5
n

1 .研究一下, 能否找到求Sn的一个公式?你能对 n× (n+1 ) 这个问题作一些推广吗? 1 1 1 = (n∈N* ) 是一个常用裂项公式, 在 n (n+1 ) n n+1 高考命题中屡见不鲜.
例1 (2012 年 高考 全 国 )已知等差数列{an}的前n项

2, 前n项和为Sn, 且S1, S2, S4成等比数列. (1 ) 求数列{an}的通项公式;
n-1 4n ) 令bn= (-1 ) , 求数列{bn}的前n项和Tn. (2 anan+1

和为Sn, a5=5, S5=15, 则数列 A. 100 101 B. 99 101

1 的前100项和为 ( 1 1 aa
n n+1

) .

2×1 4× 3 解析 : (1 ) S1=a1, S2=2a1+ ×2=2a1+2, S4=4a1+ × 2 2 2=4a1+12.
2 由题意得 (2a1 +2 ) =a( ) , 解得 a1 =1, 所以 an = 1 4a1 +12

C.

99 100

D.

101 100

解析 :设数列{an}的公差为d.

a5=a1+4d=5, S5=5a1+ n, 故

5×4 d=15, 解得 a1=1, d=1, 则 an = 2

2n-1. (2)由 题 意 可 知 : bn = (- 1)n - 1 1 1 4n n-1 = (-1 ) . 2n-1 2n+1 (2n-1 ) (2n+1 )
n

4n = (- 1)n - 1· anan + 1

1 1 1 1 = = . anan+1 n (n+1 ) n n+1 S100= 11 1 1 1 1 +筅 - 筅 +…+ 筅 =1 = 筅1 筅 筅 2 2 3 100 101 101

筅 筅 1 1 1 1 1+ 筅 + 当 n 为偶数时, T =筅 -筅 + 筅 +…+ 筅 3 3 5 2n-3 1 1 1 1 2n + -筅 =1= . 筅 筅 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 1 1 1 1 1+ 筅 + 当 n 为奇数时, T =筅 -筅 + 筅 +…- 筅 3 3 5 2n-3 1 1 1 1 2n+2 + +筅 =1+ = . 筅 筅 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1
n

100 .故选A. 101
评 析 : 若 裂 项 后 与 原式 不等 价 , 可 通 过 构 造 配 成 等

2n+2 (n为奇数 ) , n-1 2n+1 2n+1+ (-1 ) 或Tn= 所以Tn= 2n+1 2n (n为偶数 ) . 2n+1

筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅 筅





1 . 另 外 可将 其 作 推 广 , 筅1 筅 n n+2 1 1 1 变化分母因式的个数, 如 = ∈ n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) 1 1 1 1 1 1 + · = ∈= 1 筅 筅 (n+1)(n+2) n n+1 n+1 n+2 2 2 2 1 + . 筅1 筅 n n+1 n+2
价 类 型 ,如

1

n(n+2)

=

1 2

变式 1: 根式型 例2

探源

( 人 教 A 版必 修 5 第 53 页 习题 B 第 4 题 ) 数列

已知数列{an}满足an=

1 姨2n-1 + 姨2n+1
% %

(n∈

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高中版

2015 年 2 月

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m

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N* ) , 则数列{an}的前n项和Sn=____________.
解析:an=
% 1 % =- (姨2n-1 - 姨2n+1) . 2 姨2n-1 + 姨2n+1 % %

1

an),故∑an=
n=1

1 am+1-a (an+1-an)= . ∑ 1 n= a-1 a-1

m

变式 4 : 放缩后裂项 例5 (2013 年 高考 广 东 )设数列{an}的前n项和为 Sn.

Sn =-

% % % % 1 [ ( 姨 1 - 姨 3 )+ ( 姨 3 - 姨 5 )+ … + 2 %

% % % 2n+1 -1 1 % (姨2n-1 - 姨2n+1) ] =- (姨 1 - 姨2n+1) =姨 . 2 2

2S 1 2 已知a1=1, n =an+1- n2-n- , n∈N*. n 3 3 (1 ) 求a2的值; (2 ) 求数列{an}的通项公式; (3 ) 证明: 对一切正整数n, 有
解析 : (1 ) 依题意, 2S1=a2-

评 析 : 若 数 列 {an} 是 公 差 d≠0 的 等 差 数 列 , 且 an>0, 则

1 姨an+m + 姨 an 1 姨 an
% % %

= 1 .

% % an+1 - 姨 an 1 ( 姨an+m - 姨 an ), 姨 = % % md 姨 an·姨an+1

%

%

1 1 1 7 + +…+ < . a1 a2 an 4

-

姨an+1 , 则数列 {a } 的 11 1 n
n

%

1 2 -1- .又S1=a1=1, 所以 3 3

a2=4. (2 ) 当n≥2时, 2Sn=nan+11 3 2 2 n -n - n, 2Sn-1= (n-1 ) an3 3

变式 2: 对数型 例3

已知数列 {an} 满足 an=ln 1+

前n项和Sn=______________.
解析 :an=ln

1 3 2 2 (n-1 ) (n-1 ) - (n-1 ) , 两式相减得2an=nan+1(n-1 ) an3 3 1 2 (3n2-3n+1 ) (2n-1 ) - , 整理得 (n+1 ) an=nan+1-n (n+ 3 3 1 ) , 即 an an+1 an a a a - = 1. 又 2 - 1 = 1, 故数列 是首项为 1 n n+1 n 2 1 1 an (n-1 ) ×1=n, 所以an= = 1+ n

n+1 =ln (n+1 ) -lnn. n

Sn = (ln2 -ln1 ) + (ln3 -ln2 ) +…+ [ln (n+1 ) -lnn] =ln (n+ 1 ) -ln1=ln (n+1 ) .
评 析 : 对数性 质 loga

nn

M =logaM-logaN 有 着 很 重 要 的 用 N

= 1、 公差为1的等差数列, 所以 n2. 1 7 (3 ) 当n=1时, =1< ; a1 4

途 , 它 不 仅 可 以 降低 运算 的 级 别 , 也 可 进 行 裂 项 . 变式 3 : 指数型 例4

已知数列{an}的前n项和为Sn, a1=3, 数列{Sn+1}

是公比为4的等比数列. (1 ) 求数列{an}的通项公式an; an+1 (2 ) 设bn= , n∈N*, 求数列{bn}的前n项和 (an+1-3 ) · Sn+1 Tn.
解析 : (1 ) Sn+1= (S1+1 ) · 4n-1=4n, 则Sn=4n-1.

1 1 1 5 7 当n=2时, + =1+ = < ; a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 当n≥3时, = 2 < = - , 此时 + + an n (n-1 ) n n-1 n a1 a2 …+ 1 1 1 1 1 1 =1 + + 2 + 2 + … + 2 <1 + + an 4 3 n 4 4 1 - ≥ + n1 2 3

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=3 · 4 . 又a1=3满足an=3 · 4 , 故
n-1 n-1

1 1 1 1 1 1 7 1 7 - ≥ +…+ 1 - ≥ = 1+ + - = - < . 11 3 4 n-1 n 4 2 n 4 n 4 综上所述, 对一切正整数n, 有 1 1 1 7 + + …+ < . a1 a2 an 4

数列{an}的通项公式为an=3 · 4n-1. 1 1 . 1 ≥ 4 -1 4 -1 1 1 1 1 1 1 T =b +b +…+b = 1 + 1 ≥ ≥ 4 1 4 1 4 1 4 -1 3 3 1 +…+ 1 1 - 1 ≥= 1 1 1 - 1 ≥= 1 3 4 -1 4 -1 3 4 -1 4 -1 9 an+1 4n 1 (2 ) bn= = n = (an+1-3 ) · Sn+1 (4 -1 ) (4n+1-1 ) 3
n 1 2 n 1 2 n n+1 2 3 n n+1 1 n+1

评 析 :本 例 解 答 中 利 用

1 1 (k ∈N ,k ≥2), < k! k(k-1)

将不可 求 和 问题 通 过 放 缩 转 化 为 可 裂 项 求 和类 型 , 进 而 将 问题简 洁 求解 . 应 用 此 方 法 解 题 时 , 在放 缩 过 程中 , 应 注 意 放 缩 的 尺 度 , 以及 从 哪 一 项 进 行放 缩 .

. 3 (4n+1-1 )
评 析 : 因 an+1 -an = (a-1 )an (a ≠1 ), 所 以 an =

1

总之, 裂项相消法是数列求和中应用最广泛的一种 方法, 一些常见数列 (包括等差和等比数列) , 都可以采 用裂项相消法求和. 对于不能直接裂项求和的数列, 则 可通过放缩变形, 使其成为可裂项求和类型. Y 高中版

1 (an+1 a-1

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