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和式的恒等变换


和式的恒等变换
一.知识归纳
在不等式的证明过程中,我们时常要对和式进行处理,对和式作一些恒等变形.因此,有必要 了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法: (1) a i a j ? bi b j ? a i b j ? a j bi ? ( a i ? bi )( a j ? b j ) ; (2) ( ?
n

二.赛题精讲
例1. 证明 Lagrange 恒等式:
( ? a i ) ? ( ? bi ) ? ( ? a i bi ) ?
2 2 2 i ?1 i ?1 i ?1 n n n

1剟i ? j

?
n

( a i b j ? a j bi )

2

.

ai ) ?
2

i ?1

?a
i ?1

n

2 i

?2

1剟i ? j

?
n

ai a j



(3) ?
1剟i ? j n

(ai ? a j ) ? n ? ai ? (? ai )
2 2 i ?1 i ?1

n

n

2



(4) ( ?

n

i ?1

a i )( ? b i ) ?
i ?1

n

??ab
i i ?1 j ?1 n

n

n

j

?

??a
i ?1 j ?1 n j ?1

n

n

j

bi



(5) ?
1剟i ? j n

ai a j ?

?(?
i ?1

n

ai a j ) ?

j ? i ?1

? (? a a ) ;
i j j?2 i ?1

例2. 实数集 { a 0 , a1 ,? ? ? , a n } 满足以下条件: (1) a 0
? an ? 0

; (2)对 1 剟 k

n ? 1 ,a k ? c ?

?a
i?k

n ?1

i?k

( a i ? ai ? 1 )

.

求证: c ?

1 4n

.

(6) ? ?
i ?1

n

n

aib j ?
n ?1

1 2

j ?1

? ? (a b
i i ?1 j ?1

n

n

j

? a j bi )



(7) a n

? a1 ?

? (a
k ?1

k ?1

? ak ) .

Abel 分部求和公式:

?a
k ?1

n

k

bk ? bn ? a k ?
k ?1

n

? (? a
k ?1 i ?1

n ?1

k

i

)( b k ? b k ? 1 )

Abel 不等式: 设 b1 厖 b 2
? ? ? 厔 bn ? 0 , m b1 m 剟 ? a k b k
k ?1 n

?a
k ?1

t

k

M , t ? 1 , 2 ,? ? ? , n

.则有:

b1 M

1/3

例 3.已知 x i ? R ,i 求证: | ?
n

? 1 , 2 ,? ? ? , n , n … 2 ,满足 ? | x i | ? 1 , ? x i ? 0 .
i ?1 i ?1

n

n

例 5.设 x i

… 0 ,i ? 1 , 2 ,? ? ? , n ,且 ? x i ? 2
2 i ?1

n

xi i

1剟k ? j

?

k
n

j

? x k x j ? 1 ,求 ? x i
i ?1

n

的最大值和最小值.

|?

1 2

?

1 2n

(1989 年全国高中数学联赛)

i ?1

例 4.设 x ? R , n ? N .求证: ? 林匹克)

n

[ ix ] i

? [ n x ] ,这里 [ x ] 表示不超过 x

的最大整数.(第 10 届美国数学奥

例 6. 实 数
2000

x1 , x 2,? ? ? , x 2

0 0 1

i ?1

满足 ?

2000

| x k ? x k ?1 | ? 2 0 0 1

,令

yk ?

1

k ?1

? k

k

x i , k ? 1 , 2,? ? ? , 2 0 0. 1 求

i ?1

?|y
k ?1

k

? y k ? 1 | 的最大可能值.(2001

年上海市高中数学竞赛)

2/3

例 7.已知 a1 , a 2 ,? ? ? , a n 和 b1 ,b2 ,? ? ? ,bn 是实数.证明:使得对任何满足 x1 剟 x 2 不等式 ?
n

???
n

xn

的实数,
n

三.赛题训练
1.设 n 是给定的正整数,n … 3 ,对于 n 个给定的实数 a1 , a 2 ,? ? ? , a n ,记 m 为 | a i ? a j | (1 剟 i ? j 的最小值.求在 ?
n

a i xi ?

i ?1

?

n

bi x i

i ?1

恒成立的充要条件是 ?

k

i ?1

a i … ? b i , k ? 1 , 2 ,? ? ? , n ? 1
i ?1

k

,且 ?

ai ?

i ?1

? b .(第
i i ?1

n)

27 届 IMO 国家集训队选拔考试)

a i ? 1 的条件下 m
2

的最大值.

i ?1

2.已知 a1 , a 2 ,? ? ? , a n 为任意两两各不相同的正整数.求证:对任意正整数 n ,下列不等式成立:

?

n

ak k
2

k ?1

…?
k

n

1 k

k ?1

(第 20 届 IMO) (提示:由阿贝尔变换得 ?
k

n

ak k
2

?

1 n
2

Sn ?

k ?1

? [k
k ?1

n ?1

1
2

?

1 ( k ? 1)
2

]S k

,其中

Sk ?

?

i ?1

ai … ? i
i ?1

.)

3.(钟开莱不等式)设 a k ,bk

? R ( k ? 1 , 2 ,? ? ? , n ) , a1 厖 a 2
n 2

? ? ? 厖 an
n 2 i

0 ,对 k ? 1 , 2 ,? ? ? , n
n

,恒有

例 8.证明: 对每个正整数 n , 有

2n ? 1 3

n 剟?

n

i

4

3 ? n 6

1

?a
n ? 6

k

i

?

.不等式两边等号成立当且仅当 n

? 1.

i ?1

? b .则必有 ? a
i i ?1 i ?1

k

n

2 i

?

? b .(提示:先用阿贝尔变换证明 ? a
i i ?1 i ?1

?

? a b ,再用柯西)
i i i ?1

i ?1

4.已知 a1 , a 2 ,? ? ? , a n ,? ? ? 是实数列,满足 a i ? j ? a i ? a j ( i , j ? 1 , 2 ,? ? ? , n ,? ??) .证明: (1) a n (2) a1


?a n ?1
i ?1

2

n ?1

i

(n

2 ,n ? N ) ;
an n

?

a2 2

?

a3 3

? ??? ?

… an

(2002 年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛)
?

(提示: (1)复制条件并倒序相加; (2)仿(1)得 a k

? a ,再对求证式左边用阿贝尔变换) k ?1
i i ?1

2

k ?1

5.设 a1 厖 a 2 (提示:令 c i

? ? ? 厖 an

0 ,b1 厖 a1 ,b1 b 2

a1 a 2 ,? ? ? ,b1b 2 ? ? ? b n
n

a1 a 2 ? ? ? a n .求证: ? b i … ? a i
i ?1 i ?1

n

n

?

bi ai

(1 剟 i

n)

,结论转化为 ?

( c i ? 1) a i … 0

,用阿贝尔变换及均值不等式可得)

i ?1

3/3


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