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几何概型


几何概型
高一数学组

新课讲授
几何概型特征 1、无限性:无限多个基本事件; 2、等可能性:每个基本事件发 生的可能性是均等的。

前置练习
指出下列试验中是古典概型的是
1、抛掷一枚骰子,观察面向上点数。 2、种下一粒种子,观察是否发芽。 3、从1、2、3、4、5中任取一个数。 4、在[1,5

]中任取一个实数。 5、取一根3米长的绳子,拉直绳子在任意位置剪 开,观察剪口的位置。 6、向边长1m的正方形内随机投下一粒小米,观 察小米落点的位置。

问题探究一
1.取一根长度为30cm的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大?

基本事件:

从30cm的绳子上的任意一点剪断.

问题探究二
2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向 内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色 靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm, 靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那 么射中黄心的概率是多少? 基本事件:
射中靶面直径为12.2cm的 大圆内的任意点一点. 这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢?

怎么办呢?

问题情境3 创设情境3:
下图是卧室和书房地板的示意图,图中 每一块方砖除颜色外完全相同,小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去,并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里,小猫停留在 黑砖上的概率大?

卧 室

书 房

对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发 生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.

1 事件A发生的概率P( ? A) 3
对于问题2.记“射中 黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在 面积

1 1 2 2 为 ? π ? 122 cm 的大圆内,而当中靶点落在面积为 ? π ? 12.22 cm 2 4 4 的黄心内时,事件B发生.

1 ?π? 12.22 事件B发生的概率为P ? 4 (B) ? 0.01 1 ?π? 1222 4

建构数学
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机 试验,称为几何概型.
几何概型的特点:

(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A)? . D的测度

注: (1)古典概型与几何概型的区别在于: 几何概型是无限多个等可能事件的情况, 而古典概型中的等可能事件只有有限多个; (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. (3)区域应指“开区域” ,不包含边界点;在区域 D 内随机取点是指:该点落在 D 内任何一处都是等可能的, 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关.

数学应用
例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机 向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
2a

解:

记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa2 π P(A)? ? ? 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4

数学拓展:模拟撒豆子试验估计圆周率
如果向正方形内撒
豆子数为

n 颗豆子,其中落在圆内的 m ,那么当 n很大时,比值 m ,
n

即频率应接近于 P( A) ,于是有

m P ( A) ? . n
由此可得
4m ?? n

数学应用
例2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并 在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m 的概率.
解:记“灯与两端距离都大于3m”为事件A,
由于绳长8m,当挂灯位置介于中间2m 时,事件A发生,于是

2 1 事件A发生的概率P(A) ? ? 8 4

练一练: 1.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想 听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的 概率.
解:记“等待的时间小于10分钟”为事件A, 打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内 则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为 1/6. 2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到 达站台立即乘上车的概率.

练一练:

3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面

的概率是多少?
4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.

例3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的 概率是多少?
解 : 取出10ml麦种, 其中“含有病种子”这一事件记为A.则

取 出 种 子 的 体 积 10 1 P(A)? ? ? 所 有 种 子 的 体 积 1000 100 1 答 含有麦锈病种子的概率 为 . 100

练一练: 5.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.



考:

1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话, 发现30min的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息.后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按 错了键,使从此后起往后的所有内容都被擦掉了.那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大?
解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉.则事件A发生就是在0--2/3min时间 段内按错键.故 2 1 3 = 45 P(A)=

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课堂小结
?

1.古典概型与几何概型的区别. 相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

?

2.几何概型的概率公式.

d的测度(长度、面积 、体积) P(A)? . D的测度(长度、面积 、体积)
?

3.几何概型问题的概率的求解.

用几何概型解简单试验问题的方法
1、适当选择观察角度,把问题转化为几何 概型求解; ? 2、把基本事件转化为与之对应的区域D; ? 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d; ? 4、利用几何概型概率公式计算。 ? 注意:要注意基本事件是等可能的。
?


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