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解一阶常微分方程


解一阶常微分方程
1.知识准备
1. 1 变量分离方程 形如
dy dx ? f ( x )? ( y )

(1 )

的方程,称为变量分离方程, f ( x ) , ? ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.这是一类最 简单的一阶函数. 如果 ? ( y ) ? 0 ,我们可将( 1 )改写成 了.两边积分,得到
dy ? f ( x)dx

? ( y)

,这样变量就分离开来

? ? ( y) ? ?
c

dy

f ( x)dx ? c ,

为任意常数.由该式所确定的函数关系式 y ? y ( x , c ) 就是常微分方程( 1 )的解. 1. 2 积分因子 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解. 因此能否将一个非恰当微分

方程化为恰当微分方程就有很大的意义. 积分因子就是为了解决这个问题引进的 概念. 如果存在连续可微函数 ? ? ? ? x , y ? ? 0 ,使得
? ? x, y ? M

? x , y ? dx ? ? ? x , y ? N ? x , y ? dy

?0

为一恰当微分方程,即存在函数 u ,使
? M dx ? ? N dy ? du ,

则称 ? ? x , y ? 为方程 M ? x , y ? d x ? N ? x , y ? d y ? 0 的积分因子. 函数 ? ? x , y ? 为 M ? x , y ? d x ? N ? x , y ? d y ? 0 积分因子的充要条件是
?(? M ) ?y ? ?(? N ) ?x





-1-

N

?? ?x

?M

?? ?y

?(

?M ?y

?

?N ?x

)?


?? ?x ? 0

假设原方程存在只与 x 有关的积分因子 ? ? ? ? x ? ,则
(

,则 ? 为原方程的积
)

?M ?y

分因子的充要条件是

?? ?x

?(

?M ?y

?

?N ?x

? N

?N ?x

)?

,即 ? ? x ? ?

仅是关于 x 的函

? ? x ?dx 数.此时可求得原方程的一个积分因子为 ? ? e ? .同样有只与 y 有关的积分

(

?M ?y

?

?N ?x

)

因子的充要条件是 ? ? y ? ?
? ? y ?dy 个积分因子为 ? ? e ?

?M

是仅为 y 的函数, 此时可求得方程( 1 1 )的一

1. 3 恰当微分方程 考虑微分形式的一阶微分方程 M ? x , y ? d x ? N ? x, y ? d y ? 0 ( 1 1 ),如果该式的左端 恰好是某个二元函数 u ? x , y ? 的全微分,即
M

? x, y ? dx ?

N ? x, y ? dy ? du ? x, y ? ?

?u ?x

dx ?

?u ?y

dy

则称( 1 1 )为恰当微分方程. 对于一阶微分方程
M
?M ?y ?N ?x

? x, y ? dx ?

N ? x, y ? dy ? 0



若有

?

,则该方程必为恰当微分方程.我们接着讨论如何求得该恰当微
?u ?x ? M

分方程的解.我们可以把

? x , y ? 看作只关于自变量 x 的函数,对它积分可

得 u ? ? M ? x , y ? d x ? ? ? y ? ,由此式可得
?u ?x ? ? ?x

?

M

? x, y ? dx ?

d? ? y ? dy



又因为有

?u ?x

? N ? x , y ? ,故

-2-

d? ? y ? dy

? N ?

? ?x

? M ? x, y ? dx ,

对该式积分可得
? ? y? ?

? ?N ?

?

?

? M ? x , y ? d x ?d y , ?x ?

?

?

将该式代入,得恰当微分方程的通解为

? M ? x, y ? dx ? ? ? N ?
2.基本方法
2. 1 一般变量分离 形如
dy dx

?

?

? ?x

? M ? x , y ? d x ?d y ? c . ?

?

? f ( x )? ( y )

(1 )

的方程,称为变量分离方程, f ( x ) , ? ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.这是一类最 简单的一阶函数. 如果 ? ( y ) ? 0 ,我们可将( 1 )改写成 两边积分,得到
dy ? f ( x)dx

? ( y)

,这样变量就分离开来了.

? ? ( y) ? ?
c

dy

f ( x)dx ? c ,

为任意常数.由该式所确定的函数关系式 y ? y ( x , c ) 就是常微分方程( 1 )的解. 2. 2 齐次微分方程 2. 2. 1 齐次微分方程类型一

一阶线性微分方程
dy dx ? P ? x ? y ? Q ? x ?,

其中 P ? x ?, Q ? x ? 在考虑的区间上是 x 的连续函数,若 Q ? x ? ? 0 ,变为
dy dx ? P ?x ?y,

称为一阶齐次线性微分方程,若 Q ? x ? ? 0 , 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离
-3-

方程,易求得它的通解为
y ? ce ? P ? x ? dx ,

这里 c 是任意常数. 2.2.2 齐次微分方程类型二 有些方程本不是可分离变量微分方程的类型, 但经过变量变换可化为分离变量的 微分方程.可分为三种情况来讨论:

?1 ?
这时,有

c 1 ? c 2 ? 0 的情形

dy dx

?

a 1 x ? b1 y a 2 x ? b2 y

?

? y? x ? g? ? y ? x? a 2 ? b2 x

a 1 ? b1

y

因此,只要作变换 u ?

y x

,则方程就转化为变量分离方程. 的情形.

?2 ?

a1 a2

?

b1 b2

? k

这时方程可写为
dy dx ? k ?a 2 x ? b 2 y ? ? c1 a 2 x ? b2 y ? c 2 ? f ? a 2 x ? b 2 y ?.

令 a 2 x ? b 2 y ? u ,则方程化为
du dx ? a 2 ? b 2 f ?u ?.

这是变量分离方程.

?3 ?

a1 a2

?

b1 b2

及 c 1 , c 2 不全为零的情形

因为方程右端分子,分母都是 x , y 的一次多项式,因此
? a 1 x ? b1 y ? c 1 ? 0 , ? ?a 2 x ? b2 y ? c 2 ? 0.

代表 Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为 ?? , ? ? ,若令

-4-

?X ? x ??, ? ?Y ? y ? ? ,

则化为
? a1 x ? b 1 y ? 0, ? ?a 2 x ? b2 y ? 0,

从而变为
dY dX ? ? Y ? ? g? ?. a 2 X ? b2Y ? X ? a 1 X ? b1Y

因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3 常数变易法 一阶线性微分方程
dy dx ? P ? x ? y ? Q ? x ?,

其中 P ? x ?, Q ? x ? 在考虑的区间上是 x 的连续函数,若 Q ? x ? ? 0 ,变为
dy dx ? P ?x ?y,

称为一阶齐次线性微分方程,若 Q ? x ? ? 0 , 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离 方程,易求得它的通解为
y ? ce ? P ? x ? dx ,

这里 c 是任意常数. 现在讨论非齐次线性方程的通解的求法. 不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该 有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然, 如果中 c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数 c 变易为 x 的待 定函数,使它满足方程,从而求出 c ? x ?, 为此,令
y ? c ? x ?e ? P ? x ?dx ,

微分之,得到
dy dx ? dc ? x ? ? P ? x ?dx ? P ? x ?dx e ? c ? x ? P ? x ?e . dx

以代入得到
-5-

dc ? x ? ? P ? x ?dx ? P ? x ?dx ? P ? x ? dx e ? c ? x ? P ? x ?e ? P ? x ?c ? x ?e ? Q ? x ?, dx


dc ? x ? dx ? Q ? x ?e
?

? P ? x ? dx

,

积分后得到
c?x ? ?

? Q ? x ?e

?

? P ? x ? dx

dx ? c 1 ,

这里 c 1 是任意常数.将代入得到
y ? e
? P ? x ? dx ? ? P ? x ? dx ? ? dx ? c 1 ? . ? ? Q ? x ?e ? ?

这就是方程的通解. 3.基本方法的应用 3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1 应用举例 例 1 求解方程 解
dy dx

? ?

y x

将变量分离,得到
y d y? ? x d x

两边积分,即得
y
2

? ?

x

2

?

c 2

2

2

因而,通解为
x ? y
2 2

? c

这里 c 是任意正常数,或者解出 y ,写出显函数形式的解
y ? ? c? x
2

3.1.2 应用举例 例 2 求解方程
dy dx ? p(x) y
( 2 .3 )

的通解,其中 p ( x ) 是 x 的连续函数
-6-



将变量分离,得到
dy y ? p ( x ) dx

两边积分,即得
ln | y |?
~ 这里 c 是任意常数。由对数定义,既有

? p ( x ) dx

~ ?c

| y |? e

? p ( x )dx ? c

~




y ? ?e ? e
~ c

? p ( x )dx

令 ? e c ? c ,得到
y ? ce ? p ( x ) dx
( 2 .4 )

~

此外, y ? 0 显然也是方程 ( 2 . 3 ) 的解,如果允许 ( 2 . 4 ) 中允许 c ? 0 则 y ? 0 也就包 括在 ( 2 . 4 ) 中,因而 ( 2 . 3 ) 的通解为 ( 2 . 4 ) ,其中 c 为任意常数。 3. 2 齐次微分方程应用 3.2.1 类型一应用举例 例 1 求解方程 解
dy dx ? y x ? tan y x y x x du dx ? u及 dy dx ? x du dx ?u

这是齐次微分方程,以

代入,则原方程变为

? u ? u ? t a nu ,
( 2 .9 )

即 将上式分离变量,既有

du dx

?

tan u x

cot udu ?

dx x

,

两边积分,得到
~ ln | sin u |? ln | x | ? c

~ 这里 c 是任意常数,整理后,得到
sin u

= ? e c ? x,
-7-

~

~ ?e ? c

得到
sin u ? cx

此外,方程 ( 2 . 9 ) 还有解
tan u ? 0

如果在 ( 2 . 9 ) 中允许 c ? 0 , ta u ? 0 也就包括在 ( 2 . 10 ) 中, 则n 这就是说, 方程 ( 2 . 9 ) 的通解为 ( 2 . 10 ) 带回原来的变量,得到方程的通解为
sin y x ? cx .

3.2.2 类型一应用举例 例 2 求解方程 x 解
dy dx ?2 xy ? y

(x ? 0)

将方程改写为
dy dx ? 2 y x ? y x

这是齐次微分方程.以

y x

? u及

dy dx

? x

du dx

?u x

代入,则原方程变为
du dx ? 2 u.
( 2 . 11 )

分离变量,得到
du 2 u ? dx x ,

两边积分,得到 ( 2 . 11 ) 的通解
u ? l n ( x ) ? c. ?

即当 ln( ? x ) ? c ? 0 时,
u ? [ l n? x) ? c] (
2

这里 c 时任意常数.此外,方程 ( 2 . 11 ) 还有解
u ? 0.

注意,此解并不包括在通解 ( 2 . 11 ) 中.

-8-

代回原来的变量,即得原方程的通解为
y ? x[ l n ? x ) ? c ] . (
2

当 ln( ? x ) ? c ? 0

及y ? 0. 3.2.3 类型二应用举例 例3 解 可得 x
du dx
u ? 0 时,分离变量得 ?

求解方程 x 2
dy dx

dy dx

? xy ? y y x ?( y x )
2

2


y x

方程可化为
? ?u
2

?

,令 u ?

,将

dy dx

? x

du dx

?u

代入上式,

,易知 u ? 0 是上式的一个解,从而 y ? 0 为原方程的一个解.当
du u
2

?

dx x

,两边积分得 u ?

1 ln x ? c

,故可得原方程的通解

为y ?

x ln x ? c



3.2.4 类型二应用举例 例4 解 求解方程
dy dx ? 1 x ? y ?1 ?1.

令 u ? x ? y ? 1 ,则有
? y ? u ? x ?1 ,

代入所求方程
? d ? u ? x ? 1? dx ? 1 u ?1,

整理可得
du dx ? ? 1 u

,

由变量分离得
u ? ?2 x ? c
2

,

故所求方程的解为

?x ?

y ? 1? ? 2 x ? c
2

.

3. 2. 5 类型二应用举例

-9-

例5

求解方程
dy dx ? x ? y ?1 x? y?3



解方程组 ?

?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0

得 x ? 1, y ? 2 . 令 ?

?x ? X ? 1 ?y ? Y ?1

代入上式方程,则有
dY dX Y X dX X
ln X
2

?

X ?Y X ?Y

再令 u ?

即 Y ? uX , 则上式可化为 ? 1? u 1 ? 2u ? u
2

2

du ,

? ? ln | u

~ ? 2u ? 1 | ? c

因此
X (u
2 2

? 2 u ? 1) ? ? e

~ c

记? e

~ c

? c 1 , 并带回原变量,得

Y

2

? 2 XY ? Y
2

2

? c1 ,
2

( y ? 2 ) ? 2 ( x ? 1)( y ? 2 ) ? ( x ? 1)

? c1 .

此外容易验证
u
2

? 2u ? 1 ? 0,


Y
2

? 2 XY ? X

2

? 0,

也是方程的解 ,因此方程的通解为
y
2

? 2 xy ? x ? 6 y ? 2 x ? c ,
2

其中 c 为任意的常数. 3. 3 利用积分因子求解 例 6 求解方程 ydx ? ( y ? x ) dy ? 0 .

- 10 -


?M ?y

这里 M ? y , N ? y ? x ,

?M ?y

? 1,

?N ?X

? ? 1, 方程不是恰当的。

因为

? ?

2 y

只与 y 有关,故方程有只与 y 的积分因子
??y
2

u ? e

? e

? 2 ln | y |

?

1 y
2

以u ?

1 y
2

乘方程两边,得到

1 y

dx ?

1 y

dy ?

xdy y
2

? 0

或者写成
ydx ? xdy y
2

?

dy y

? 0

因而通解为
x y ? ln | y |? c .

3. 4 利用恰当微分方程求解 例7 求解方程 (cos x ?
?M ?y 1 y 1 y
2

) dx ? (

1 y

?

x y
2

) dy ? 0 .



因为

? ?

,

?N ?x

? ?

1 y
2

,故方程是恰当微分方程。把方程重新分

项组合,得到
(cos ? x 1 y ) dx ? ( 1 y ? x y
2

) dy ? 0 . ,


d sin x ? d ln | y | ? ydx ? xdy y
2

? 0,

或者写成
d (sin x ? ln | y | ? x y
- 11 -

) ? 0.

于是,方程的通解为
sin x ? ln | y | ? x y ? c,

这里 c 是任意常数

- 12 -


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