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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:3.1空间向量及其运算第2课时


§3.1.2

空间向量的数乘运算

【学情分析】 : 本节,空间向量的数乘运算共有 4 个知识点:空间向量的数乘、共线向量或平行向量、 方向向量与共面向量、空间向量的分解定理 这一节是全章的重点,有了第一节空间向量加减 法的基础,我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量 由于本教材学习空间向量的主 要目的是,解决一些立体几何问题,所以例习题的编排也主要是立体几何问题 当我们把平面 向量推广到空间向量后,很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间:共线向量和共面 向量 把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间 然后由这两个定理推出空间直线和 平面的向量表达式 有了这两个表达式,我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和 共面问题 【教学目标】 : (1)知识与技能:掌握空间向量的数乘运算 (2)过程与方法:进行类比学习,会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 (3)情感态度与价值观:会用平面的向量表达式解决共面问题 【教学重点】 :空间向量的数乘运算及运算律 【教学难点】 :用向量解决立几问题 【课前准备】 :Powerpoint 课件 【教学过程设计】 :
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教学环 节

教学活动

设计意图

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1、空间向量的数乘运算 ? a ,其模长是 a 的 | ? | 倍 (1)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 同向 (2)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 反向 2、空间向量的数乘分配律和结合律 (1)分配律: ? (a ? b) ? ? a ? ?b (2)结合律: ? (? a) ? (?? )a 一.温 故知新 3、共线向量或平形向量 类似于平面向量共线,对空间任意两个向量 以数乘向量及其运算律为突破口,与 平面向量进行比较学习,为下面引出 共面向量作铺垫。

a, b(b ? 0) , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使
a ? ?b
1、方向向量 如果 l 为经过已知点 A 且 ? 平行于已知非零向量 a 的 直线,对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在实数 t 满足等式
a B l A P

? OP ? OA ? t a .其中向

O

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量 a 叫做直线 l 的方向向量. 在 l 上取 AB ? a ,则上式可化为 OP ? OA ? t AB 证明:对于空间内任意一点 O, A, B , P 三点共线

?

? ?t ? R, 使AP ? t AB ? OP - OA ? t AB ? OP ? OA ? t AB
由此可见,可以利用向量之间的关系判断空间任 意三点共线,这与利用平面向量判断平面内三点共线 是一样的。 回顾平面向量的基本定理: 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线,那么向量

方向向量的引入是为了更好的说明三 点共线的向量充要条件, 作为特色班, 可以根据实际情况补充证明过程。

p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实数组
( x, y ) ,使得 p ? x? ? yb ,这就是说,向量 p 可以由
不共线的两个向量 a, b 线性表示。 二.新 由此可以得到空间向量共面的证明方法 课讲授 2、空间平面 ABC 的向量表示式 C p 空间一点 P 位于 b A a B 平面 ABC 内的充 要条件是存在有 序实数对 x,y 使 O 得:

P

??? ? ??? ? ??? ? AP ? xAB ? yAC ,或对空间任意一点 O 有: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? xAB ? yAC 。
推论:已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B, C,则点 P 与点 A,B,C 共面的充要条件是

OP ? xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1)
证明: OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)

回顾平面向量的基本定理可以发现, 平面中的基底理论成了空间向量关系 的一种特殊情况——共面的证明方 法,这正是由特殊到一般,由简单到 复杂的一种推广,对今后理解空间向 量的基底理论也是有一定辐射作用 的。

? OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC ? OP ? OA ? yOA ? zOA ? yOB ? zOC
3- ) ? OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ?-OA

? OP ? OA ? y AB ? z AC ? AP ? y AB ? z AC ? P 与点 A,B,C 共面
例 1.一直平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 做射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 E,F,G,H,且使

本探究可以在老师的启发下,给学生 自己证明,不同层次可以酌情考虑是 否证明。

OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD

求证:E,F,G,H 四点共面 分析: 欲证 E, F, G, H 四点共面, 只需证明 EH ,EF ,

EG 共面。下面我们利用 AD , AB , AC 共面来证
明。 证明:因为 三.典 例讲练

OE OF OG OH ? ? ? ? k ,所以 OA OB OC OD

OE ? k OA , OF ? k OB , OG ? k OC , OH ? k OD ,由于四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AC ? AB ? AD ,因此, EG ? OG ? OE

? kOC ? kOA ? k AC ? k ( AB ? AD) ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE
? EF ? EH
由向量共面的充要条件知 E,F,G,H 四点共面 进一步:请学生思考如何证明:面 AC//面 EG

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1、如图,已知空间四边形 ABCD,连结 AC,BD,E,F 分 别是 BC,CD 的中点,化简下 列各表达式,并标出化简结 果的向量。 四.练 (1) AB ? BC ? CD 习巩固 1 (2) AB ? ( BD ? BC )

2 1 (3) AF ? ( AB ? AC ) 2
2、课本 P96 练习 2-3 巩固知识,注意向量运算律的使用. 3、略解: (1) 3、已知E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD的边AB、 BC、CD、DA的中点,用向量方法证明(1)E、F、G、 H四点共面(2)AC∥平面EFGH
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ? EG ? EF ? FG ? EF ? BD ? EF ? EH 2

(2) ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? EG ? EB ? BF ? AB ? BC ? AC 2 2 2 得 EF∥AC,AC ? 平面 EFGH,则 AC∥ 平面 EFGH
E

1.如图,已知矩 形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面 互相垂直,点
B A

F N

D M

C

M,N 分别在对角 五.拓 1 1 线 BD,AE 上,且 BM ? BD, AN ? AE . 展与提 3 3 高 求证:MN//平面 CDE 证明: MN ? MB ? BA ? AN = 又 CD 与 DE 不共线 根据共面向量定理,可知 MN , CD, DE 共面。 由于 MN 不在平面 CDE 中,所以 MN//平面 CDE 1.空间向量的数乘运算 六.小 2.空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 结 3.平面的向量表达式解决共面问题
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注意用空间向量的思想去解决立体几 何问题的转化方法.

2 1 CD ? DE 3 3

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归纳知识反思方法,特点。

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七.作 课本 P106 习题 3.1,A 组 第 1 题(3)、(4),第 2 业 题

练习与测试:
(基础题) 1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC, BD ,设 M , G 分别是 BC, CD 的中点,化简下列各 表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; AD
A

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? 1 ??? ? ??? ? (2) AB ? ( BD ? BC ) ; AG 2 ???? 1 ??? ? ???? (3) AG ? ( AB ? AC ) .MG 2
(中等题)

B M C G

D

2、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、是( A.有相同起点的向量

???? ?

???? ?



B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 )

3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? C, 则A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ? a ? b ? c

D. ? a ? b ? c

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