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二项式定理1


16.5
学习目标:
3

二项式定理(1)学案

1.根据组合数原理解释 (a ? b) 展开式系数的含义;尝试写出 (a ? b) 4 的展开式,进而归纳总结 出 (a ? b) 的展开式,并能准确叙述二项式定理。
n

2.通过例题的探究,会用二项式定理展开简单的二项式。 3.通过变式

能区分二项式系数和项的系数,体会利用通项公式法和组合法求指定项,感受数学的魅 力。 学习重点:掌握二项式定理及其推导方法 学习难点:会用二项展开式的通项公式求展开式中的指定项或指定项的系数。 学习过程: 一、学习准备:

(a ? b)1 ? (a ? b) 2 ? (a ? b) 3 ?
问题:你能否计算出 (a ? b) 4 展开式. (a ? b) 5 呢?… (a ? b)100 呢? (a ? b) n 呢?
二、学习新知:

多项式乘法的再认识:
通过对展开式中每一项的研究,请同学们思考以下问题: 1、 (a ? b) , (a ? b) 的公式是如何得来的呢?说出你的计算过程?
2 3

3 2、以 (a ? b) 为例, a 这一项是怎样得到的? a b 呢? ab 呢? b 呢?你能不能用组合的观点来
3 2 2 3

解释一下呢? (1)把 (a ? b) 写成连乘积的形式是将事件
3
3

(分步或分类);

(2)运用组合原理,本着先选 b 再选 a 的准则,怎样得到 a 的项?

(3)从分类的角度思考,展开式中还会出现哪些字母项?

(4)对于项 a b 、 ab 、 b 又是怎样形成的呢? 3 、 请 同 学 们 再 来 用 组 合 的 观 点 来 来 解 决 前 面 的 问 题 , 写 出 ( a ? b) 的 展 开 式 。 ( a ? b)
4 5

2

2

3

呢?… (a ? b)

100

呢? (a ? b) 呢?
n

1

由特殊到一般:
1、二项式定理:

(a ? b) n ?
二项展开式: 2、总结定理特征: 【特征 1】展开式的项数: 【特征 2】项中的字母 a , b 的次数的规律: 【特征 3】 :通项公式是指的二项展开式的哪一项? 三.课堂举例:

这个公式所表示的规律叫二项式定理。 二项式系数: 通项公式:

(? x ?
例:写出

? x

)?
的二项展开式

【变式训练 1】 :求二项展开式中含 x 项的二项式系数?含 x 项的系数呢?

【思考 1】 :通过此问,你能发现二项式系数与这一项的系数的区别吗?

总结一:

【变式训练 2】 :如果不写出二项展开式,你还会用什么办法来计算变式训练 1 呢?

【变式训练 3】 :如果求常数项呢?

【思考 2】 :通过前面的问题,你能不能找到求特殊项的方法呢?如果从本节课我们推导二项式定理 所用的排列组合这个角度,你能不能再解释一下呢? 总结二:求特殊项的方法 法一: 法二:

【拓展】 :你能否用本节课求特殊项的方法来求 (1 ? x ?

1 6 ) 的常数项呢? x

2

【思考 3】 :通过上述变式训练,你能总结一下两种方法的适用范围吗? 总结: 法一适用范围: 法二适用范围: 四、课堂检测: 1.求 ?3b ? 2a ? 的展开式的第 3 项.
6

(3 x ?
2.写出

1 2 x
3

)6
的展开式的常数项.

3.求 x 3 ? 2 x 的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数.

?

?

7

五、学习小结: 一知识 (a ? b) ?
n

两方法 法一: 法二: 一思想: 六、同步巩固: 一、填空题: 1、 (3 ? x ) 的展开式中 x 项的系数为
7
3

? x 2 ? 3 ? ;在 x? ? 2 ? x ? 的展开式中, x 的系数等 ? ?

6



3

2、 (

x x?
1 a

1 n ) 展开式中第三项系数比第二项系数大 44,则第四项是 x4
3

3、若 ( 4

? 3 a 2 ) n 的展开式中,第四项与第八项的系数相等,展开式中含 a 的项为
1 a

4、 ( 3 a ?

) n 的二项展开式中含有常数项,则 n 的最小值为

5、写出 (a ? b) 5 的展开式 二、选择题: 6、 (1 ? 2 x) 的展开式中,若第二项小于第一项而不小于第三项,则 x 的取值范围(
5



(A) ( ?

1 ,? ?) 10
5

(B) ? ? ,??)
10

? 1 ? 4

(C) ? ?

? 1 ,0 ? 4

?

(D) ( ?

1 ,0 10

?

7、 1 ? x 3

?

? ?1 ? x ? 的展开式中, x

的系数是(



(A)8 (B)10 (C)-8 (D)-10

8、 (1 ? 2 x) 6 的展开式中第二项大于它的相邻两项,则 x 的范围是( ) (A)

1 1 ?x? 12 5

(B)

1 1 ? x? 6 5

(C)

1 2 1 2 ? x? (D) ? x ? 12 3 6 5

三、解答题、 9、求 (2a ?

b )9 的展开式中 a , b 的幂指数相同的项。

10、已知 ( x x ?

1 6 15 ) 的展开式的第 5 项等于 , 求 lim ( x ?1 ? x ?2 ? x ?3 ? .......? x ? n ) 的值。 x 2 n? ?

4


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