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2.2.圆锥曲线的参数方程 (1)


第二讲 圆锥曲线的参数方程

1.椭圆的参数方程

一、知识回顾
问题:圆( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2的参数方程是什么? 是怎样推导出来的?
? x ?a ? ? y ?b? ? ? ?? ? ?1 ? r ? ? r ?
2 2

?x ?a ? cos? ? ? 令:? r ? y ? b ? sin ? ? ? r

? x ? a ? r cos? 得: ? ? y ? b ? r sin ?

(? 为参数)

x2 y 2 问题:你能仿此推导出椭圆 2 ? 2 ? 1 的参数方程吗? a b

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

?

? x? ? y? ? ? ?? ? ?1 ?a? ?b?

2

2

?x ? a ? cos? 令? y ? ? sin ? ?b

? x ? a cos? (?为参数) ? ? ? y ? b sin ?

这就是椭圆的参数方程

椭圆参数方程的推导
? ? 1 x ? x ? ? a 从几何变换的角度看,通过伸缩变换 ? ? y? ? 1 y ? b ?

x y 则椭圆的方程 2 ? 2 ? 1可以变成x?2+y?2 ? 1. a b

2

2

? x? ? cos ? 利用圆的参数方程 ? (?为参数) ? y? ? sin ?

? x ? a cos ? 可以得到椭圆的参数方程为? (?为参数) ? y ? b sin ?

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为 半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA, 与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作 BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程.
分析: 点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=φ
O

y A
B N

M

x

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为 半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA, 与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作 BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程. 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M

? x ? a cos ? O N x 由已知: ? (?为参数) ?y ? b sin? 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b

1 .参数方程 数方程.

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ?.

? x ? b cos ? , 焦点在Y 轴 ? ? y ? a sin ?.

知识归纳
x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

y A
B O M N

φ
x

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

O

A x

圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义
Y Y

M (x,y)
B

A
M(x,y)
N

?
O
N

?
X

O

X

? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? a sin ?
?为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度

? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? b sin ?
?并非为OX轴逆时针旋转到 与OM重合时所转过的角度

是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 x ? ? 1 (2) (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) y ? 3sin ? (2) y ? 4sin ?

2

2

?
2

?

(3)

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (4) ? y ? 10sin ? ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x

? ?1
y

2

(4)

x 64

2

?

y 100

2

?1

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.

分析1
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

?x ? 2 y ? m ? 0 ? 2 2 ?4 x ? 9 y ? 36
消元,利用? ? 0, 求出m, 及切点M( x0 , y0 )
d? 5
O

y

x

x0 ? 2 y0 ? m

P

3 4 (? ? ?0) -10| 5 cos ? ? sin ?) -10| ? | 5cos | 3cos ? ? 4sin ? -10| | ( 则d ? 5 5 ? 5 5 5 3 4 其中?0满足 cos ?0 ? ,sin ?0 ? 5 5 ?当? ? ? =0时,d取最小值 5,
0

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. ? x ? 3cos ? (?为参数) 分析2 椭圆参数方程为: ? ? y ? 2sin ? 设M(3cos ? , 2sin ? ),

9 8 此时3 cos ? ? 3 cos ?0 ? , 2sin ? ? 2sin ?0 ? 5 5 9 8 ? M( , )时,点M 与直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。 5 5

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

思考: 与简单的线性规划问题进行类比,你能在实数 x y x, y满足 ? ? 1的前提下,求出z ? x ? 2 y的 25 16 最大值和最小值吗?
2 2

设M (5cos? , 4sin ? )是椭圆上的一点,
则z ? 5cos ? ? 8sin ?

? 89 cos(? ? ?0 )

? cos(? ? ?0 ) ?[?1,1]

? z ?[? 89, 89]

x2 y 2 例2.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,求椭圆内接矩形面积 a b

的最大值.

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(a cos ? , b sin ? )
? S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ? ? 2ab sin 2? ? 2ab
? ?当? ? k? ? (k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。 4
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.

x2 y2 ? ? 1有一内接矩形ABCD, 练习3已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
D Y y

B2

A

解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ?
S ? 20 ?16 sin ? cos ? ? 160 sin 2?

AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ?

A1

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

所以, 矩形ABCD最大面积为 160

2 y x 例3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大. 2

?

?1

解 :由椭圆参数方程,设点P(3cos? ,2sin? )

S? ABC 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可
即求点P到直线AB的距离的最大值。 x y 直线AB的方程为: ? ? 1 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 3 2

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | ? 6 d ? 13 2 2 ? 32

2 sin(

?
4

? ? ) ?1

?当? =

?

3 2 这时点P的坐标为( , 2) 2

4

时, d 有最大值, 面积最大.

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值 最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 . x ? 3cos? , y ? 2sin ? ? 2 x ? 3 y ? 6cos? ? 6sin ? ? 6 2 sin(? ? 4 )
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, B 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆
2

练习4

B. 椭圆
2

设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x y ? ?2 4 9

练习5
1、当参数? 变化时,动点P(3cos ? , 2sin ? )所确定的曲线必过 A.点(2,3) B.点(3, 0) C.点(1,3) D.点(0, ) 2

?

它的焦距是多少?

2 5

B

? x ? 3 ? 17 cos ? 2.椭圆 ? (? 为参数)的中心坐标为 _____, ? y ? 8sin ? ? 2

(3, ?2)

3.已知圆的方程为x2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0,
2 (? 为参数),那么圆心的轨迹的普通方程为 ___________? x

4

? y2 ? 1

解:方程x2 ? y 2 ? 4x cos? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0

可化为( x ? 2cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1
? x ? 2cos ? ?圆心的参数方程为? (? 为参数) ? y ? sin ? x2 化为普通方程是 ? y 2 ? 1 4

小结
(1)椭圆的参数方程与应用

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

? x ? a cos? ?? (?为参数) ? y ? b sin ?

注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。

(2)椭圆与直线相交问题

2.双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
x y 探究:双曲线 2 ? 2 ? 1 a b
的参数方程
b
2 2

y
a A o B

B'

?M
A' x

?

以原点O为圆心,a, b为半径分别作同心圆C1, C2
设A为圆C1上任意一点,作直线OA, 设Ox为始边,OA为终边的角为?

过点A作圆C1的切线AA'与x轴交于点A' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B' .

过点A ,B 分别作y轴,x轴的平行线A M,B M交于点M.

'

'

'

'

双曲线的参数方程
设M ( x, y) 则A ( x,0), B (b, y). ?点A在圆C1上 ? A(acos?,asin? ). ??? ? ????' ??? ? ????' 又OA ? AA , ?OA ? AA =0 ???? AA' =(x-acos?,-asin? ) ?a cos ? ( x ? a cos ? ) ? (a sin ? )2 ? 0
' '
'

y
a A o B b

B'

?M
A' x

?

1 又?点B 在角?的终边上,记 cos ? y 由三角函数定义有: tan ? ? . ? y ? b tan ? b ? x ? a sec ? ?点M的轨迹的参数方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?

a 解得:x ? cos ? ? sec ? ? x ? a sec ?

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ? ? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2
2 2

y a A

B'

?M
A' x

o B
b

?

说明:

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。

解: 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec?,btan?),
双曲线的渐近线方程为:y ? ?

探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?

b y x. a b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? ? tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA xB ? sin2? ? ?= 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2 cos? cos?

M

x

a2(sec2? -tan2? ) a2 a2 b ab = ? sin2 ? = ? tan ? ? ? ? . 4cos2? 2 2 a 2

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

x2 y2 双曲线的参数方程 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a2 b 2 x y 注意:双曲线: 2 ? 2 ? 1的参数方程实质是由三角恒等式 a b sec 2 ? ? tan 2 ? ? 1而代换得来的

y x =1(a>0,b>0) 的参数方程为: 2 2 a b

2

2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

?为离心角

? y ? a sec ? (?为参数) ? ? x ? b tan ?

注意:双曲线还有什么参数方程?
1 ? x?t? ? ? t (t为参数) ? 1 ?y ? t ? ? t ?

? ?x ? e ? e ( t 为参数 ) ? t ?t ? ?y ? e ? e
t ?t

3.抛物线的参数方程

抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程为y 2 ? 2 px......(1)
y ?MOX ? ? 由三角函数的定义可得 ? tan ? .............(2) x 2p ? x? 由(1),(2)解出x, y, ? ? tan 2 ? 得到 ? (? 为参数) y
?y ? 2p ? tan ? ?

抛物线上任意点M (x,y)

这就是抛物线(1)(不包括顶点)的参数方程
1 如果令t ? , t ? (??, 0) ? (0, ??), tan ?
? x ? 2 pt 则有 ? ? y ? 2 pt

o
2

?

M(x,y)

x
(t为参数)

? x ? 2 pt 2 ?当t ? (??, ??)时,参数方程 ? (t为参数)就表示抛物线。 ? y ? 2 pt 参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)

抛物线y ? 2 px (p ? 0)的参数方程为:
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt

参数t的几何意义-----抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

思考:怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0)的参数方程 ?
? x ? 2 p tan ? (?为参数) ? 2 ? y ? 2 p tan ?

如果令t ? tan ? , t ? (??, ??)
? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0)的参数方程为:
? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

参数t的几何意义-----抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率。

抛物线的参数方程

y ? 2 px (p ? 0)
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt ? x ? ?2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? ?2 pt

y 2 ? ?2 px (p ? 0)
参数t的几何意义:

抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

抛物线的参数方程

x ? 2 py( p ? 0)
2

? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

x2 ? ?2 py( p ? 0)

? x ? ?2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? ?2 pt

参数t的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。

例3、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。

解:设点M ( x, y),
A(2 pt12 , 2 pt1 ),
2 B(2 pt2 , 2 pt2 )

y
A M x

(t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0)

? ???? ? OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt12 , 2 pt1 ),
?

2 OB ? (2 pt2 , 2 pt2 ),
2 AB ? (2 p (t2 ? t12 ), 2 p (t2 ? t1 )) ?

o B

? OA ? OB,

?

?

?(2 pt1t2 ) ? (2 p) t1t2 ? 0,
2 2

例3、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。
? OA ? OB,
? ?
? ?

?(2 pt1t2 )2 ? (2 p)2 t1t2 ? 0,

?t1t2 ? ?1......(1)

2 ? t12 ) ? 2 py(t2 ? t1 ) ? 0 ? OM ? AB, ?2 px(t2 y ? t ? t ? ? ( x ? 0)........(2) ? 1 2 x ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ),

MB ? (2 pt ? x, 2 pt2 ? y)
2 2

?

且A, M , B三点共线,

y 将(1), (2)代入(3), 得到:y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x

2 ?( x ? 2 pt12 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 ) 即:y(t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0........(3)

即x2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)

这就是点M的轨迹方程

探究:在例3中,点A, B在什么位置时,?AOB的面积 最小?最小值是多少 ?
由例3可得: OA = (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 )
2 2 2 2

? 2 p t2

2 t2 ?1

? S ?AOB

1 2 2 2 ? 2 p t t ( t ? 1) ? ( t ? OA ? OB 1 2 1 2 ? 1) 2
? 2p
2

t ?t ? 2 ? 2p
2 1 2 2

2

2 ? 4 p (t1 ? t2 ) ? 4
2

当且仅当t1 ? ?t2,

即当点A, B关于x轴对称时,
2

?AOB的面积最小, 最小值为4 p .

? x ? 2 pt 2 1、若曲线 ? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是t1 , t2 , 则弦M 1M 2 所在直线的斜率是(

练习:

c



1 1 A、t1 ? t2,B、t1 ? t2,C、 ,D、 t1 ? t2 t1 ? t2
2 解:设M1 (2 pt12 , 2 pt1 ), M2 (2 pt2 , 2 pt2 )

? kM1M 2

2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 t1 ? t2 2 pt1 ? 2 pt2

练习:
2、设M 为抛物线y ? 2 x上的动点,给定点M 0 (?1, 0),
2

点P为线段M 0 M的中点,求点P的轨迹方程。
解:设P( x, y)

? M为抛物线y 2 ? 2x上的动点,
2

?可设M (2 pt , 2 pt ) 又定点M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,
? 2 pt 2 ? 1 消参数t , x ? ? ? 2 (t为参数) 得点P的轨迹方程: ?? ? y ? 2 pt p 2 y ? px ? . ? ? 2 2

小结:
1、抛物线的参数方程的形式

2、抛物线参数的意义


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