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第一课时 指数函数的图象及性质


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2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数的图象及性质

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课标要求:1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出
指数函数图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.

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【情境导学】 导入一 (生活中的数学故事)

构建知识·探究疑惑

印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请 你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在 第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格多一倍.直到摆

满棋盘上64格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一
袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了,还没到第二十小格,袋子已经空 了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得 那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发 明人许下的诺言.想一想,第n个小格需放多少粒麦子?

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导入二 (旧知引新) 观察下列从数集A到数集B的对应: ①A=R,B=R,f:x→y=2x;
②A=R,B=(0,+∞),f:x→y=(
1 x ). 2 1:导入二中两个对应能构成函数吗?

想一想

(能)
想一想 2:这两个函数有什么特点? (底数是常数,指数是自变量)

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知识探究
1.指数函数的定义
x 函数 y=a (a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.

探究1:指数函数的解析式有何特征? 答案:指数函数的解析式具有以下特征: (1)底数a>0,且为不等于1的常数,也不含有自变量x; (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1; (3)ax的系数是1.

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2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

定义域

R

值域
关键点 性质 函数值 的变化 单调性 奇偶性 对称性 当x>0时, y>1 ; 当x<0时, 0<y<1 . 是R上的 增函数 .

(0,+∞)
过定点 (0,1) ,即x=0时,y=1 当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时, y>1 . 是R上的 减函数 . 非奇非偶函数 函数y=a-x与y=ax的图象关于y轴对称

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探究2:指数函数图象不可能出现在第几象限? 答案:指数函数图象只出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限.

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1.(概念)下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( (A)y=(-4)x (C)y=-4x (B)y=λ x(λ >1) (D)y=ax+2(a>0且a≠1) B ) B )

2.(解析式)若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为( (A)f(x)=x3 (B)f(x)=2x

1 1 x (C)f(x)=( ) (D)f(x)= x 3 2 3.(单调性)(2016四川资阳市简阳市阳安中学高一上月考)若指数函数f(x)=

(a+1)x是R上的减函数,那么a的取值范围为(

C )

(A)(-∞,2)

(B)(2,+∞)

(C)(-1,0)

(D)(0,1)

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4.(值域)函数f(x)=2x+1的值域为( (A)(0,+∞) (B)(1,+∞)

B ) (D)R .

(C)(2,+∞)

5.(值域)函数f(x)=3x[x∈(0,2)]的值域为

答案:(1,9)
6.(定点)函数f(x)=ax-1+2 016(a>0,且a≠1)的图象恒过点 答案:(1,2 017) .

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课堂探究
题型一
【思考】 指数函数的概念中规定a>0且a≠1的原因?

剖析典例·总结规律

指数函数的概念

提示:(1)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.

(2)若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义.如(-2) ,这时对于 x= …,在实数范围内函数值不存在.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常量,没有研究的必要性.

x

x

1 1 ,x= , 4 2

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【例 1】 下列函数中,是指数函数的个数是( ①y=(-8) ;②y= 2 (A)1 (B)2
x

)
1 ,且 a≠1);⑤y=2·3x. 2

x 2 ?1

;③y=ax;④y=(2a-1)x(a> (C)3 (D)0

解析:④为指数函数. ①中底数-8<0,所以不是指数函数. ②中指数不是自变量x,而是x的函数,所以不是指数函数; ③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数; ⑤中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数.故选A.

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方法技巧

判断一个函数为指数函数只需判定解析式符合y=ax(a>0且

a≠1)结构前系数为1,指数为自变量x.

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即时训练1-1:函数f(x)=(a-2)2·ax是指数函数,则( )

(A)a=1或a=3
(C)a=3

(B)a=1
(D)a>0且a≠1

?? a ? 2 ? 2 ? 1, ① ? ? 解析:由指数函数的定义知, ? a ? 0, ② ? a ? 1, ③ ? ?

解①,得 a=1 或 a=3.故由②③可知 a=3.故选 C.

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题型二 【思考】

指数函数的图象特征

指数函数的图象与底数的大小有怎样的关系? 提示:指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),在y轴的 右侧,图象从下到上相应的底数由小变大,可概括记为:在第一象限内,底 数自下而上依次增大.

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【例2】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的 图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( (A)a<b<1<c<d (B)b<a<1<d<c )

(C)1<a<b<c<d

(D)a<b<1<d<c

解析:法一 由于在第一象限内,指数函数符合底数越大,图象越高的规
律且①②为减函数,③④为增函数,所以b<a<1<d<c.故选B.

法二 作直线x=1,与四个图象分别交于A,B,C,D四点,则A(1,a),B(1,b), C(1,c),D(1,d),由图可知b<a<1<d<c,故选B.

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方法技巧

由指数函数图象特征判断指数函数底数大小的方法:

(1)由第一象限内“底大图高”的规律判断.

(2)取特殊值x=1得函数值的大小即底数大小进行判断.

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即时训练2-1:(2016甘肃省永昌县一中高一上期中)函数f(x)=ax-b的图象如图 所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )

(A)a>1,b<0

(B)a>1,b>0

(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0

解析:根据图象可知,函数f(x)=ax-b单调递减,因此0<a<1,当x=0时,f(0) =a-b<1,因此ab>1,又由于0<a<1,因此b<0.故选D.

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【备用例1】 利用函数f(x)=2-x的图象作出下列函数的图象.

(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;(4)-f(x);(5)|f(x)-1|;(6)f(-x).
解:如图.

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题型三 【思考】

与指数函数有关的定义域、值域问题

1.函数y=af(x)是指数函数吗?如何求它的定义域?
提示:不是指数函数,它的定义域与f(x)的定义域相同. 2.如何求函数y=af(x)的值域? 提示:先求f(x)的值域,再结合指数函数y=ax的单调性求解.

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【例 3】 求下列函数的定义域和值域. (1)y= 2
1 x?4

;(2)y=(

1 ) 3

x?2

;(3)y=4 -4·2 +1.

x

x

规范解答:(1)由 x-4≠0,得 x≠4,所以函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠4}.?2 分
1 1 1 因为 ≠0,所以 2 x ? 4 ≠1,故 y= 2 x ? 4 的值域为{y|y>0,且 y≠1}????4 分 x?4

(2)由 x-2≥0,得 x≥2.所以函数的定义域为{x|x≥2}?????????6 分
1 1 <1,所以 y=( ) x ? 2 的值域为{y|0<y≤1}.?8 分 3 3 (3)函数的定义域为R..............................................9分

当 x≥2 时, x ? 2 ≥0,又 0<

记t=2x>0.则y=t2-4t+1=(t-2)2-3.故当t=2,即2x=2, 解得x=1时,y取得最小值-3........................................11分

所以函数的值域为[-3,+≦).......................................12分

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方法技巧

函数y=af(x)的定义域与值域的求法

(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的 值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.

(3)形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)
的值域.

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即时训练 3-1:求下列函数的定义域和值域. (1)y= 1 ? 2x ;(2)y=(
1 x2 ? 2 x ? 3 ) . 2

解:(1)因为由 1-2x≥0 可得 2x≤1,所以 x≤0. 所以函数 y= 1 ? 2x 的定义域为 x∈(-≦,0].当 x∈(-≦,0]时,0<2x≤1, 所以-1≤-2x<0,所以 0≤1-2x<1.所以 y= 1 ? 2x 的值域为 y∈[0,1).
1 x2 ? 2 x ? 3 1 (2)定义域为 R.因为 x -2x-3=(x-1) -4≥-4,所以( ) ≤( )-4=16. 2 2
2 2

1 x2 ? 2 x ? 3 1 x2 ? 2 x ? 3 又因为( ) >0,所以函数 y=( ) 的值域为(0,16]. 2 2

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【备用例2】 若函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-2,2]上的最大值为14,求 实数a的值.

解:因为 y=a +2a -1=(a ) +2a -1(a>0,a≠1). x 2 2 设 t=a ,则 y=t +2t-1=(t+1) -2(t>0). ①当 a>1 时,由于-2≤x≤2,则 此时函数 f(t)=t2+2t-1 在[
1 2 ≤ t ≤ a , 2 a

2x

x

x 2

x

1 2 ,a ]上是增函数. 2 a

因此当 t=a2,即 x=2 时,y 有最大值 14. 所以(a2)2+2a2-1=14,解得 a= 3 .

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②当 0<a<1 时,由于-2≤x≤2,则 a2≤t≤ 此时函数 f(t)在[a ,
2

1 . 2 a

1 ]上是增函数. 2 a

1 因此当 t= 2 ,即 x=-2 时,y 有最大值 14. a

所以(

3 1 2 1 ) +2 × -1=14. 解得 a= . 2 2 a a 3 3 . 3

综上所述,a= 3 或 a=

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