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2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理 2.3 排列组合的应用(课时2)课件 新人教B版选修2-3


1.1.3 排列组合的应用 (二)

(1)使学生掌握组合数的计算公式、组合数

(2)会用排列数公式和组合数公式解决实际问题.
(3)通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方

法,并提高学生分析问题和解决问题的能力.

本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题
策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点,

通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的
特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特, 数字庞大,难以验证。

同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它
们的条件 , 我们就可以选取不同的技巧来解决问题 .

对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合
起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁 通,进而为后续学习打下坚实的基础。

有限制的排列问题
限制条件:某位置上不能排某元素或只能排某元素 常用方法:直接法 1.优限法:先特殊后一般 (有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊 元素或特殊位置,称为“优限法” )

2.捆绑法:元素相邻
3.插空法:元素不相邻 4.其它方法:元素限制条件多

4.其它方法:元素限制条件多
(1).定序问题倍缩空位插入策略

(2).重排问题求幂策略
(3).排列组合混合问题先选后排策略 (4).元素相同问题隔板策略 (5).平均分组问题除法策略 (6).合理分类与分步策略 (7).构造模型策略 (8).实际操作穷举策略

(1).定序问题倍缩空位插入策略

例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种
不同的排法? 解:(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外

A 种方法,其余的三个位置甲 4 乙丙共有 1 种坐法,则共有 A7 种方法。
的四人就坐共有 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

4 7

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再
把其余4四人依次插入共有 4×5×6×7 方法

(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可

先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用
总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有 7 A 不同排法种数是: 7
3 A3

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 入模型处理.

练习题:
期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少 种不同的安排顺序?

1 9 A9 2

(2).重排问题求幂策略 例2.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不 同的分法? 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间 有

7

种分法.把第二名实习生分配到车间也有7
6

种分法,依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同

的排法。

一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位 n 置上的排列数为 m 种.

练习题:
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法

7

8

(3).排列组合混合问题先选后排策略

例3.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少
装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
盒内有

C

2 5 种

方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的

A

4 4

种方法.

根据分步计数原理装球的方法共有

C

2 4 5 A4

.

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.

练习题:
一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从 中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种 任务 , 且正副班长有且只有 1 人参加 , 则不同 192 的选法有 种.

(4).元素相同问题隔板策略 例4.有10个运动员名额,在分给7个班,每班至少一个,

有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名
额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方
6 法对应一种分法共有___________ 种分法。 9

C

将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份 至少一个元素 ,可以用 n个元素排 一 三 m-1 五 七 二 四 块隔板,插入 六 m ?1 班n-1个空隙中,所有分法数为 班 班 班 班 班 班 C 成一排的 . n ?1

练习题: 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个, 有多少装法?

C

4 9

(5).平均分组问题除法策略
例5. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法, 但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF. 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,
2 2 2

该分法记为(AB,CD,EF),则
(EF,AB,CD)共有

CCC
6 4

2

2

2 2

中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),

A

3 3

种取法 ,

而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法, 平均分成的组 ,都是一种情况,所 3 2 2 ,不管它们的顺序如何 2 n 故共有 C 6C 4C 2 A 3 种分法。 以分组后要一定要除以 A n (n为均分的组数)避免重复 计数。

练习题:
1. 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多

少分法?

C CC A
13 8 2 2

5

4

4 4

2.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名

学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2名,
则不同的安排方案种数为 .

CC A
4

2

2

2 6

A

2 2 2

? 90

练习题:
3.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 ?

(1540)

(6). 合理分类与分步策略
例 6. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能够唱 歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节 目,有多少选派方法? 解: 10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。以只会唱歌的 5 人是否选上唱 歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人 2 2 选上唱歌人员共有 C 3C 3 种 , 只会唱的 5 人中 1 1 2 只有 1 人选上唱歌人员 C 5C 3C 4 种 , 只会唱的 5 人 2 2 中只有2人选上唱歌人员有 C 5C 5 种,由分类 1 1 2 计数原理共有 C C + C 5C 3C 4 + C C 种。
2 2

2

2

3

3

5

5

本题还有如下分类标准: 1.以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 2.以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

3.以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题,可按元素 的性质进行分类,按事件发生的连续过程分 步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不 漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

练习题:
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个 座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 34 .

(7).构造模型策略 例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路 灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3

盏,也不能关掉两端的 2盏,求满足条件的关灯方法
有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5

C 5 种. 个空隙中插入3个不亮的灯有_______
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常 熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装 盒模型等,可使问题直观解决.

3

练习题:
某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右 两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?

120

(8).实际操作穷举策略 例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5

的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每
个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子 的编号相同,有多少投法?

C 5 种还剩下 解:从5个球中取出2个与盒子对号有_____
3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球 有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也

2

只有1种装法,由分步计数原理有2 C 5 种.

2

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用
公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果.

练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后

每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种?(9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同

1 3

色,现有4种可选颜色,则不同的着色方
法有

72

种.

2 5

4

练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会, 若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法

共有

34

.

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最

多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,
但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.

27

二、间接法(排除法)
(先不考虑限制条件,算出所有的排列数,再从 中减去不符合条件的排列数)

例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数,
使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?

画龙点睛:正难则反总体淘汰策略

例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,

使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,

可用总体淘汰法.
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3
3 个偶数的取法有 5 ,只含有1个偶数的取法有 1 2 3 和为偶数的取法共有 5 5 5 .

C

CC

CC +C

1 2 5 5,

再淘汰和小于10的偶数共 . 9 3 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂 ,而它的 1 2 符合条件的取法共有 C5C5 + C5 -9 . 反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体 中淘汰.

变式1:用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复 数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。
3 分析:五个数组成三位数的全排列有 A5 个,0排在首位的 2 2 有 A4 个 ,1排在末尾的有 A4 ,减掉这两种不合条件的排

法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数
3 2 1 故共有 A5 ? 2 A4 ? A3 ? 39 种。

A

1 (为什么?) 3

若n个不同元素排 m个位,a、 b各不能排某位,则有
m m ?1 m?2 An ? 2 An ? A ?1 n ? 2 种排法。

A

3 5

A

2 4

A

1 3

A

2 4

对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要 求的减去,此时应注意既不能多减又不能少减。

变式2:某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析: 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情 况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.

而如果从此问题相反的方面去考虑的话 ,不但容易理解 ,而 且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.
解:43人中任抽5人的方法有 C43 种,正副班长,团支部书记都 5 C 不在内的抽法有 40 种,所以正副班长,团支部书记至少有1 5 5 人在内的抽法有 C43 ? C40 种.
5

结论——去杂法: 有些问题 ,正面直接考虑比较复杂 , 而 它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体 中排除.

练习:
(1)三个男生,四个女生排成一排,甲不在最左,
乙不在最右,有几种不同方法?

A ? 2A ? A
7 7 6 6

5 5

(2)五人从左到右站成一排,其中甲不站排头,乙

不站第二个位置,那么不同的站法有(
A.120 直接 间接 B.96 C.78
4 ? 1 1 3 ? 78种 A 4 A3A3A3

).
D.72

A ? 2 A ? A ? 78
5 5 4 4 3 3

(3)6个同学和2个老师排成一排照相, 2个老师 站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有

多少种不同的排法?”

(A ? A ? A ? A )? A
6 6 5 5 5 5 4 4

2 2

? 2(6!? 2 ? 5!? 4!) ? 1008(种)

实际问题
得 实 际 问 题 的 解

转化

排列问题
求 数 学 模 型 的 解

(建模)
求排列数

有限制的排列问题
限制条件:某位置上不能排某元素或只能排某元素 常用方法:(1)直接法 1.优限法:先特殊后一般 (有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊 元素或特殊位置,称为“优限法” ) 2.捆绑法:元素相邻 3.插空法:元素不相邻 4.其它方法:元素限制条件多

(2)间接法(排除法)
(先不考虑限制条件,算出所有的排列数,再从中

减去不符合条件的排列数)

4.其它方法:元素限制条件多 (1).定序问题倍缩空位插入策略

(2).重排问题求幂策略
(3).排列组合混合问题先选后排策略 (4).元素相同问题隔板策略

(5).平均分组问题除法策略
(6).合理分类与分步策略

(7).构造模型策略
(8).实际操作穷举策略


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