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2014成人高考专升本数学复习(高等数学二)必过复习题


2014 大沥成人学校成人高考班 专升本数学复习
第一部分 基本部分 题型一:求极限 一.直接代入法(代入后分母不为 0 都可以用) 练习:1. lim
x?

?

2

2x ? 1 =_______ sin x

2. lim
x ?1

sin x =______ x

二. (

0 )型 0

法一:洛必达法则(分子分母求导)重要 练习:3. lim
x ?1

ln x ? e x ? e =_______ x ?1

4. lim
x ?1

x2 ? x ? 2 =______ x2 ?1
arctanx~x ln(1+x)~x )(法一法二

法二:等价无穷小量法(sinx~x 可以一起用更简捷) 例:. lim
x ?1

tanx~x arcsinx~x

sin( x ? 1) ( x ? 1) 1 1 ( x ? 1) ' lim lim = = = lim = 2 2 2 ' x ?1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) x ?1 2 x 2 x ?1

练习 5. lim
x?0

1 ? cos x =_______ x sin x

6. lim

arcsin( x ? 1) =______ x ?1 x3 ?1

三. (

? )型 ?
3x ? 5 =_______ x?3

法一:洛必达法则(分子分母求导) 练习 7. lim 8. lim

x??

2n 2 ? n ? 1 =______ n ?? n2 ?1

法二:分子分母同时除以最高次项 练习 9. lim

x??

3x 2 ? 1 =_______ x ?1

10. lim

2n 2 ? n ? 1 =______ n ?? n2 ?1

四. (两个重要极限)型(背 2 个重要极限)

sin( 2 x ? 2) x ?1 2x ? 2 sin 2 x 练习 13. lim x ? 0 sin 4 x
练习 11. lim (练习 11-14 也可以用等价无穷小法)

sin 2 x =______ x ?0 4x tan 2 x 14. lim =______ x ?0 x
12. lim

第 1 页

练习 15. lim (1 ?
x??

1 2x ) x
3 x ) 2x
1

16. lim (1 ?
x??

1 x ) =______ 2x
1 3x ) =______ 2x
1

练习 17. lim (1 ?
x??

18. lim (1 ?
x??

练习 19. lim (1 ? 2 x) x
x?0

20. lim (1 ? x) 2 x =______
x?0

五.无穷小量 X 有限函数=无穷小量 练习 21. lim xsin
x?0

1 =________ x

22. lim

x??

1 sinx=________ x

(什么是无穷小量?高阶无穷小,低阶无穷小,等阶无穷小,等价无穷小? 找找课本) 左极限=右极限=f(x0) ?? 在 x0 处连续 左极限=右极限 ?? 在 x0 处有极限 左导数=右导数 ?? 在 x0 处可导

题型二:连续性问题(可导/有极限) 练习 23. 函数 f ( x) ? ?

?ln x ? 1, x ? 1
2 ?ax ? x, x ? 1

在 x=1 处连续,则 a=______

1 ? ?(1 ? x) x , x ? 0 练习 24. 函数 f ( x) ? ? 在 x=0 处有极限,则 a=______ ? ?a ? x , x ? 0

练习 25. 函数 f ( x ) ? ?

?ax ? 1, x ? 2
2 ?b ? x , x ? 2

在 x=2 处可导,则 a=______, b=______

题型三:求导(背 P39 页导数公式、导数的四则运算,P41 复合函数求导公式, ) (y’=f ’(x)=

dy 这三种是一个意思, dx

如果求 dy ,就是 y’dx)

练习 26. f(x)=sinx+2cosx , 则 f ’( 练习 27. y=xlnx , 则 dy=______ 练习 28. y=

? )=______ 2

dy x2 ?1 , 则 =______ dx cos x

练习 29. y=x4cosx +

1 x + e , 则 y’=______ x
31. y=sin(x3+1), 则 dy=______ 33. y= ln(x ?

练习 30. y=cos4x, 则 y’=______ 练习 32. y=

x 2 ? x , 则 y’=______

x ) , 则 dy=______

第 2 页

题型三中,一定要注意运算率 (uv)’=______

(kv)’=______

u ( )' =_____ v

f(g)’=_____

一定要背好 P39 页的导数公式,在高考中占 40 分左右 题型四:高阶导数与隐函数的求导 练习 34. y=x3+lnx, 则 y”=______ 35. y=cos2x, 则 y(4)=______ 练习 36. y=ln(2x+1), 则 y”=______ 37. y=xe2x, 则 y”(1)=______ 练习 38. 2x3+xy++y+y2=0, 则

dy =______ dx

39. ex+y=sinxy, 则

dy =______ dx

题型五. 在…处的切线(斜率或方程) 练习 40.曲线 y=2x3 在点(1,2)处的切线的斜率为_______, 切线方程为___________ 练习 41. 曲线 y=sin(x+1)在 x=-1 处的切线方程为___________ 练习 42. 若 y=ax2+2x 在 x=1 处的切线与 y=4x+3 平行,则 a=________ 题型六:求驻点、极值点(极值) 、拐点、单调区间、凹凸区间 1. 求驻点、拐点、极值点 练习 43. 曲线 y=x3-3x 的驻点为___________ 极值点为__________ 拐点为_______ 2. 求单调区间与极值(大题) 练习 44*求 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 1 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点(答案见 11 年高考) 3

练习 45 若 f(x)=ax3+bx2+x 在 x=1 处取得极大值 5,求 a,b

题型七:求不定积分基础计算(背好公式:P86 1 原函数 3 不定积分的性质 4 基本积分公 式 ) 练习 46: f(x)=3e2x 则

?f

'

( x)dx =______

练习 47: f(x) 的一个原函数是 x3, 则 f ’(x)=___

练习 48:x2 是 f(x)的一个原函数,则 f(x)=_____ 练习 49: ( x ?

?

x )dx =______

50、

?(x

1
2

) dx =______

练习 51、 (2 x ? cos x ? 1 ?

?

1 ? e x )dx =______ x

第 3 页

题型八 求定积分基础计算 练习 52:

? ? sin x dx=___
2 ? 2

?

练习 53:

dx=___ ? (1 ? x )
2 0

1

练习 54:

d 1 (1 ? x 2) dx=___ dx ?0
e

练习 55:

d (1 ? x 2) dx=___ dx ?

1 练习 56: ?1 x dx =___
题型九:凑微分法求积分 练习 57: 练习 59: 练习 61: 练习 63:

2 ? x 2 ,0 ? x ? 1 练习 56(2):f ( x) ? ? , 则? f(x)dy = _________ 0 ?2 x,1 ? x ? 2

?
?

xe x dx=___
1 dx=___ 2 ? 3x

2

练习 58:

?e
?

2 x ?1

dx=___

练习 60:

?
?

x cos(x 2 ? 2) dx=___
sin(ln x) dx=___ x

x dx=___ 2 ? x2 ln x 练习 62: ? dx=___ x
练习 64:

?

x x 2 ? 1 dx=___

题型十:分部积分法求积分 公式:______________________ 练习 65: 练习 67: 练习 69:

?
?
?
e 1

x ln x dx=___
x 2 e x dx=___
x ln x dx=___

练习 66:

? ln x dx=___
?
x sin x dx=___

练习 68:

题型十一。反常积分 练习 70:

?

??

1

e 2 x dx=___

练习 71:

?

1 dx=___ ?? x ? 1
0 2

题型十二 平面图形的面积与旋转体的体积(有可能大题) 练习 72. 设 D 为曲线 y=1-x2, 直线 y=x+1 及 x 轴所围成的平面区域,如图 (1)求平面图形的面积(2)求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 Vx (答案见 2011 年 28 题) 还有一道 2013 年 26 题见课本

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题型十三 偏导数 练习 73 z=x3+x2y+3y4,

?z ?z ? ____________ ? ___________ ?x ?y

?2z ?2 z ?2z ? ___________ ? ___________ 2 ? _________ ?x 2 ?x?y ?y
练习 74 z=ln(2x+3y)+tan(xy),

?z ?x

(1, 2 )

? ____________

题型十四 全微分 练习 75 z=x2ey+3, 题型十五 隐函数

dz =____________

dy =____________ dx ?z 练习 77 (二元)x3+y3-ez+z2+z, =____________ ?x
练习 76 (一元)1=x3+x2y+3y4, 题型十六 二元函数(有条件,无条件)极值 练习 78 求二元函数 f(x,y)=x2+y2+2y 的极值(2012 年)

练习 79 求二元函数 f(x,y)=x2+y2 在条件 2x+3y=1 的极值(2013 年)

题型十七 概率 基本概念:什么是事件的包含( A ? B )? 并(和) ( A ? B, A ? B )? 交(积) ( A ? B, AB )?

互斥(互不相容)? 对立事件(互逆事件)? 差事件? 加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) AB 相互独立,P(AB)=P(A)P(B)
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练习 80 5 人排成一行, 甲乙排在两端的概率为__________; 甲乙排在一起的概率为______; 甲乙不能排在一起的概率为_________ 练习 81 P(A)=0.3,P(B)=0.2 , A 不发生的概率 P ( A ) 为________

若 A、B 是独立事件,则 P(AB)=______, P(A+B)=______,P(A-B)=___ 若 A、B 是互不相容事件,则 P(AB)=______ P(A+B)=______ 练习 82 袋里有 8 个球,其中 5 个白球,3 个黄球,一次从中取 2 个,若取出的 2 个均为白 色的概率为______, 若取出的 2 个均为黄的概率为______, 若取出的至少有 1 个白球的概率 为______(本题也可以是 8 个产品,3 个为次品….) 练习 83 有 10 件产品,其中 8 件是正品,2 件是次品,甲乙两人各抽 1 件, (1) 若甲先抽到正品的条件下,求乙抽到正品的概率 (2) 若两人抽个正品的件数为 X, 求 X 的数学期望 练习 84 请看 2012 年第 25 题、2013 年第 25 题

第二部分 提高部分 请看三张模拟卷 第三部分 高考卷构成

高考卷分选择、填空、解答三部分,分别占 40 分、40 分、70 分 选择题 10 道:1-极限 2-3 导数(或微分) 4-7 积分 8-9 偏导 10 概率

填空 10 道:极限 2 题,连续(或分段函数)1 题, 拐点或驻点或极值点或极值 1 题, 二阶导数或隐函数 1 道, 积分 3 道(不定积分、定积分、反常积分) 、 导数应用(切线方程或单调区间)1-2 道、 全微分 1 道 解答题:求极限、导数、不定积分、定积分、概率各 1 题, 单调区间(极值、凹凸)1 题 , 用积分求围成面积与旋转体积 1 道, 二元函数无条件极值(条件极值)1 道(也可能为函数应用题 2011)

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