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高中物理5星难度题


★★★★★11.如图所示,电荷均匀分布在半球面上,它在这半球的中心 O 处电场强度等于 E0.两 个平面通过同一条直径, 夹角为α , 从半球中分出一部分球面, 试求所分出的这部分球面上(在“小 瓣”上)的电荷在 O 处的电场强度 E.

答案:由称性考虑,球面上的电荷在 O 点产生的电场分布如图所示,所以分出的这部分球上电荷在 O 处的场强 E ? E 0 gsin

?
2

★★★★★28.两个带正电的点电荷, 带电量都是 Q, 固定放置在图中的 x 轴上 A、 两点处, B 距原点 O 的距离都为 r.若在原点处放置另一个点电荷,其带电量大小为 q,质量为 m. (1)当限制点电荷 q 只能在哪些方向上运动时,它在 O 处才是稳定的? (2)讨论在这些方向上受扰动后,它的运动情况. 答案:(1)如图所示的阴影区域内是稳定的,其中 θ=54.7°;若 q 为负电荷,结论相反(2)作简谐

mr 3 运 动 , 当 q 为 正 电 荷 , 其 周 期 为 T ? 2? ;若为负电荷,则其周期为 2kQ 3cos 2? ? 1

?

?

T ? 2?

mr 2 2kqQ 1 ? 3cos 2?

?

?

★★★★★29.如图所示,有一个均匀带电球体,球心为 O,半径为 R,电荷体密度为 ρ,球内有 一个球形的空腔,半径为 R’,OO’的距离为 a. (1)求 O’处的场强 E’. (2)求证空腔内场强处处相同. 答案:(1)4π kaρ /3 (2)略 ★★★★★32.如图所示,两个同心的半球面相对放置,半径大小分别为 R1 和 R2,都均匀带电,电荷而密度分别为 σ1 和 σ2.求大球底面直径 AOB 上的电势分布.

? 2?k ?R 1? 1 ? R 2? 2 ?, r ? R 2 ? ? R 2? ? 答案: U ? ? ? R 1? 1 ? 2 2 ?, R 2 ? r ? R 1 2?k ? ? r ? ? ? ?
★★★★★20.在静电复印机罩,常用如图的电路来涮节 A、C 两板间电场强度的大小,从 而用来控制复印件的颜色深浅.在操作时,首先对由金属平板 A、B 组成的平行板电容器充 电,该电容器的 B 板接地,A、B 板间填充有介电常数为 ε 的电介质,充电后两板间的电势 差为 U.而后,断开该充电电源.将连接金属平板 C 和可调电源 ε 的电键 S 闭合.这样,A、 C 两板间的电场强度将随可调电源ε 的电动势的变化而得以调节.已知 C 板与 A 板很近, 相 互平行,且各板面积相等.A、B 板间距离为 d1,A、C 板间距离为 d2,A、C 板间空气的介 电常数取为 1.试求:当电源 ε 的电动势为 U0 时, C 两板问某点 P 处的电场强度.(第十三届全国中学生物理竞赛预赛 A、 试题)【15】

答案:

?U 0 ? U ??
d 1 ? ?d 2

★★★★★21.如图所示,在真空中有四个半径为 a 的不带电的相同导体球,球心分别位于边长为 r(r>>a)的正方形的四个顶点上.首先,让球 1 带电荷 Q(Q>O),然后取一细金属丝,其一端固定 于球 1 上,另一端分别依次与球 2、3、4、大地接触,每次接触时间都足以使它们达到静电平衡. 设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计.试求流入大地的电量的表达式.(第十届全国中学生物理竞 赛决赛试题)【15】 答案:

Q ? a? 3 2 ?? ?? ? ?1 ? ? 4 ? 8 ? r? 2 ?? ? ?? ?

★★★★★22.空间某一体积为 V 的区域内的平均电场强度 E 定义为 E

? E ?V ? ? ?V
i i i i

i

,式中△Vi 为体积 V

内第 i 个非常小的体积(称为体积元),E i 为第 i 个体积元内的场强(只要体积足够小, 可以认为其中各点的场 强的大小和方向都相同). ? 为累加号,例如: ? ?Vi ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ? ? V .
i i

今有一半径为 a 的原来不带电的金属球, 现使它处于电量为 q 的点电荷的电场中.点电荷位于金属球外, 与球 心的距离为 R.试汁算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度.【15】 答案:-kq/R2
★★★★★15.如图(a)所示,真空室中电极 K 发出的电子(初 速不计)经过 U0=1000V 的加速电场后,由小孔 S 沿两水平金 属板 A、B 间的中心线射入,A、B 板长 l=0.20m,板间距离 d=0.02m.加在 A、 两板问的电压“随时间变化的 u-t 图线如 B 图(b)所示.设 A、B 间的电场可看作是均匀的,且两板外无电 场, 在每个电子通过电场区域的极短时间内, 电场可视作恒定 的.两板右侧放一记录圆筒,筒的左侧边缘与极板右端距离 b=0.15m,筒绕其竖直轴匀速转动,周期 T=0.20s,筒的周长 s=0.20m,筒能接收到通过 A、B 板的全部电子.(1)以 t-0 时(见图(b),此时 u=0)电子打到圆筒记录纸卜的点作为 xy 坐标系的原点,并取 y 轴竖直向上.试计算电子打到记录纸上的最高点的 y 坐标和 x 坐标(不计重力作用).(2)在给出的 坐标纸(图(c))上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线.(1997 年全国高考试题)【17】 答案:(1)y 坐标为 2.5cm,x 坐标分别为 2cm 和 12cm (2)图略 ★★★★★20.如图所示,A、B 是两块水平放置的互相平行的带电金属板,其间的电场可视为匀 强电场.假设有一带负电的微粒在 a 点处沿与水平成 θ=45°角的方向射出,并从此时开始计时.已 知在 t=0.10s 时,微粒到达其轨迹最高点;存 t=0.30s 时,微粒的动能为 750eV.在以上运动过程 中微粒一直处在匀强电场内,且未与 A、B 相碰,试求微粒的初动能.(第八届垒国中学生物理竞 赛决赛试题)【15】 答案:300eV ★★★★★7.飞船沿半径为 R 的圆周绕地球运转,周期为 T,如图所示.如果飞船要返回地面,可在

轨道上某一点 A 处将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行,椭圆与地球表面在 B 点相 切.已知地球半径为 r,则飞船由 A 点运动到 B 点所需的时间 t=______. 答案:

T R?r 2 ( ) (提示:运用开普勒第一定律) 2 2R
3

★★★★★8.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内作圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量小得多,飞行器 的速率为 v0,小行星的轨道半径为飞行器的轨道半径的 6 倍,有人企图借助小行星与飞行器的碰撞使飞行器飞出太阳 系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时,突然点燃飞行器上的喷气发动机,使飞行器 获得所需速度,沿圆周轨道的切线方向离开轨道.Ⅱ.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向 与小行星在该处的速度方向相同,正好可被小行星碰撞.Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰,不计燃烧的燃料质 量.(1)通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系.(2)设在上述方案中,飞行器从发动机获得的能量为 E1,如果 不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,于是飞行器获得足够的 速度沿圆轨道切线方向离开轨道后直接飞出太阳系,采 用这种方法时,飞行器从发动机获取的能量的最小值用 E2 表示,问

E1 为多少?(第十七届全国中学生物理竞赛复赛试 E2

题) 答案:(1)略(2)0.71(提示:设通过方案 I 使飞行器的速度由 v0 变成 u0,飞行器到达小行星轨道时的速度为 u,根据开普 勒第二定律、能量守恒关系以及万有引力定律和牛顿第二定律,可以用 v0 表示 u0 和 u;再设小行星运行速度为 V,运 用万有引力提供向心力,可用 v0,表示 V;再根据碰撞规律用 v0 表示出飞行器与小行星碰后的速度 u1;再根据能量守 恒算出飞行器从小行星的轨道上飞出太阳系应具有的最小速度 u2;最终得 u2<u1) ★★★★★8.如图所示, 长为 L 的轻细直杆一端可绕水平地面上的 O 点在竖直平面内转动,另一 端固定一质量为 M 的小球, 杆一直靠在正方体箱子的左上角边上, 箱子的质量为 m, 边长为

1 L, 4

杆与水平方向的夹角为 θ.现将杆由 θ=45°角的位置由静止释放,不计一切摩擦,当杆与水平方 向的夹角 θ=30.时,小球的运动速率 v=______.【6】 答案:

( 2 ? 1)MgL M?m

★★★★★9.如图所示,顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,其下端由凹轮 M 推动,凸轮绕 O 轴以匀角 速度 ω 转动.在图示的瞬时,OA=r,凸轮轮缘与 A 接触,法线 n 与 OA 之间的夹角为 α,试求此瞬时顶 杆 AB 的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)【5】 答案:ω rtanα

★★★★★10.如图所示,两条位于同一竖直平面内的水平轨道相距为 h,轨道上有两个物体 A 和 B,它们通过一根绕 过定滑轮 O 的不可伸长的轻绳相连接,物体 A 在下面的轨道上以匀速率 v 运动,在轨道间的绳子与过道成 30°角的瞬 间,绳子 BO 段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴 P 与绳子分离,设绳子长 BO 远大于滑轮直径,求:(1)小水滴 P 脱离绳子时速度的大小和方向.(2)小水滴 P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间.(第十五届全 国中学生物理竞赛复赛试题)【10】

答案:(1) v

v ? 16gh ? v 13 (2) 4g 12

★★★★★11.如图所示,从离地面的高度为 h 的固定点 A,将甲球以速度 v0 抛出,抛射角 为 α, 0 ? ? ?

?

2

,若在 A 点前力‘适当的地方放一质量非常大的平板 OG,让甲球与平板

作完全弹性碰撞,并使碰撞点与 A 点等高,则当平板倾角 θ 为恰当值时 (0 ? ? ?

?
2

) ,甲球

恰好能回到 A 点.另有一小球乙, 在甲球自 A 点抛出的同时, A 点自由落下, 从 与地面作完全弹性碰撞.试讨论 v0、 α、θ 应满足怎样的一些条件,才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到 A 点.(第十三届全国中学生物理竞赛 预赛试题)【15】

答 案 :A 球 沿 原 路 径 返 回 : ? ?

?
2

? ? , ? ? arcsin(

1 v0

gh ), v 0 ? 2

gh ; A 球 沿 另 一 路 经 返 2

回: ? ?

?
4

, ? ? arcsin

gh ? ? , 2gh ? v 0 ? gh v0 4

★★★★★21.1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际天文学大会上,德国 MaxPlanck 学会的一个研究小组宣布了他们的 研究成果:银河系的中心可能存在一个大黑洞,他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心 附近的星体进行近六年的观测所得的数据.他们发现,距离银河系中心约 60 亿千米的星体正以 2000km/s 的速度围绕 银河系中心旋转.根据上面的数据,试在经典力学的范围内(见提示②),通过计算确认如果银河系中心确实存在黑洞的 话,其最大半径是多少?引力常数 G=6.67×10 20km3/(kg·s2) 提示:①黑洞是一种密度极大的天体, 其表面的引力是如此之强, 以至于包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力作用. ②计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型,在这种模型中,在黑洞表面上的所有物质,即使初速度等于光速 c 也逃脱 不了其引力的作用.(第十六届全国中学生物理竞赛预赛试题)【10】 答案:5.3×105 ★★★★★13.如图所示,轻质长绳水平地跨存相距为 2L,的两个小定滑轮 A、B 上,质量为 m 的小物块悬挂在绳上的 O 点,O 与 A、B 两滑轮的距离相等,在轻绳两端 C、D 分别施加竖直向 下的恒力 F=mg,先托住物块,使绳处于水平拉直状态,由静止释放物块,在物块下落过程中, 保持 C、D 两端力 F 不变.问: (1)当物块下落距离 h 为多大时,物块的加速度为零? (2)存物块下落上述距离的过程中克服 C 端恒力 F 做功 W 为多少? (3)物块下落过程中最大速度 v max 和最大距离 H 各为多少? 答案:(1)物块下落时受到三个力的作用:重力 mg、绳 AO、BO 的拉力 F.当两绳拉力的向上合力 R 等于重力 mg 时,三力互成 120°夹角.由右图可知,下落距离 h ? Ltan30 ?
?

3 L (2)物块下 3

落 h 时, D 两端上升距离 h ? ? C、

h 2 ? L2 ? L ?

2 3 ?3 2 3 ?3 L, mgL (3) 所以物块克服 C 端恒力 F 做功 W ? Fh ? ? 3 3

物 块 下 落 h 时 的 速 度 是 最 大 速 度 . 根 据 做 功 与 动 能 变 化 的 关 系 mgh ? 2W ?

1 mv 2 得 最 大 速 度 max 2

v max ? (4 ? 2 3 )gL ,当物块下落最大距离 H 时,C、D 两端上升的距离为 h ?? ? H 2 ? L2 ? L ,而由动能定
理: mgH ? 2Fh ?? ? 0 得 H ?

4 L 3

★★★★★14.如图所示,质量均为 m 的两个小球固定在长度为 l 的轻杆两端,直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界 处.突然发生微小的扰动使杆无初速倒下,求当杆与竖直方向成角 α 时,A 球对墙的作用力.

答案:如图所示,开始杆以 A 球为中心,杆长 l 为半径运动,所以 mgcos? ? N ? m 根据机械能守恒定律

v2 , l

1 mv 2 ? mgl(1 ? cos? ) ,由以上二式可得 N ? mg (3cos? ? 2) ,则 2

N1 ? N?sin? ? mg (3cos? ? 2)sin? 杆对墙的作用力为
?mg (3cos? ? 2)sin? (? ? arccos ) 3 N1 ? ? ?0 2
2

(? ? arccos ) 3

★★★★★31.长度为 L 的矩形板, 以速度 v 沿光滑水平面上平动时, 垂直滑向宽度为 l 的粗糙地带.板从开始受阻到停 下来所经过路程为 s,而 l<s<L.求板面与粗糙地带之间的动摩擦因数.【10】

Lv 2 答案: ? ? ( 2s ? l)gl
★★★★★32.一粗细均匀的铁杆 AB 长为 L,横截面积为 S,将杆的全长分为 n 段,竖直插入水中,求第 n 段铁杆浸 没于水中,浮力所做功的大小.【10】 答案:

?SgL2 (2n ? 1)
2n 2

★★★★★33.将放在地上的木板绕其一端沿地面转动角 α,求摩擦力所做的功.已知木板长度为 L,质量为 M,木板与 地面间的摩擦因数为 μ.【5】 答案:

1 ?MgL? 2

★★★★★34.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ 提升井中质量为 m 的物体,如图所示.绳的 P 端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、

滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在 A 点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳绳长为 H.提升物体时,车 加速向左运动,沿水平方向从 A 经过 B 驶向 C.设 A 到 B 的距离也为 H,车过 B 点时的速度为 vB,求在车由 A 移到 B 的过程中,绳 Q 端的拉力对物体所做的功.【8】 答案:

1 mv 2 ? ( 2 ? 1)mgH B 4

★★★★★35.如图(a)所示,把质量均为 m 的两个小钢球用长为 2L 的线连接,放在光滑的水平面 上.在线的中央作用一个恒定的拉力,其大小为 F,其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直, 连线非常柔软且不会伸缩,质量可忽略不计.试问:(1)当两连线的张角为 2θ 时,如图(b)所示,在 与力 F 垂直的方向上钢球所受的作用力是多大?(2)钢球第一次碰撞时, 在与力 F 垂直的方向上钢球 的对地速度为多大?(3)经过若下次碰撞,最后两个钢球一直处于接触状态下运动,则由于碰撞而失 去的总能量为多少?【10】 答案:(1)

Fl Ftan? (2) (3)Fl m 2

★★★★★16.如图所示,质量分别是 mA 和 mB 的两木块 A 和 B,固定在劲度系数为 k 的轻弹簧的两端, 竖直地放置在水平桌面上.用一竖直向下的作用力压在 A 上,使 A 静止不动,然后突然撤去此作用力.要 使 B 离开桌面,此竖直向下的作用力至少应为多大?【10】 答案:(mA+mB)g ★★★★★26.如图所示,小球质量为 m,用长为 l 的细绳悬挂在一枚细钉上,用一大小为 F 的水平恒 力拉球,至细绳偏转角度为 θ(θ<90° )时撤去 F,如在运动中绳子始终处于伸直状态.求:(1)小球能上升 的最大高度.(2)小球又回到最低点时,细绳上张力的大小.【4】 答案:(1)当 F ?

Flsin? mg 5mg 时, h ? ;当 F ? 时,h=2l(2)mg+2Fsinθ mg sin? 2sin?

★★★★★40.如图所示,质量为 M 的圆环,用一根细线悬挂着.另有两个质量为 m 的带孔小球.可穿 在环上兀摩擦地滑动.当两球同时由圆环顶部放开,并沿相反方向滑下时,小球与圆心连线与竖直方 向的夹角为θ 0.(1)在圆环不动的条件下.求悬线的张力 T 随 θ 的变化规律.(2)小球与圆环的质量比 m/M 至少为多大时圆环才可能上升?【12】 答案:(1)T=Mg+2mg(3cos2θ-2cosθ)(2)

m 3 ? M 2

★★★★★41.如图所示,一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为 30° 的光滑斜向上的物体 m1 连接,另一端和套在光滑竖直杆上的物体 m2 连接,图中定滑轮到竖直杆的距离为 3 m,又 知当物体 m2 由图中位置从静止开始下滑 1m 时,m1 和 m2 受力恰好平衡.求:(1)m2 下滑过程中 的最大速度.(2)m2 下滑的最大距离.【12】 答案:(1)2.15m/s(2)2.3m ★★★★★42.跳水运动员从高丁水面,H=10m 的跳台自由落下,运动员的质量 m=60 ㎏,其体形 可等效为长度 l=1.0m、直径 d=0.30m 的圆柱体,略去空气阻力,运动员入水后水的等效阻力 F 作用于圆柱体下端面,F 量值随入水深度 Y 的变化如图所示,该曲线近似为椭圆的一部分,长轴 和短轴分别与 OY 和 OF 重合,为了确保运动员绝对安全,试计算水池中水的 h 至少应等于多 少?(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)【15】 答案:4.9m


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