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四川省资阳市2013届高三第一次模拟考试文科数学试卷


资阳市 2013 届高三第一次高考模拟考试数

学(文史财经类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试

科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回. 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R 2 (其中 R 表示球的半径) 4 球的体积公式 V ? ? R3 (其中 R 表示球的半径) 3 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目的要求的. 1.已知全集 U=N,集合 A ? {1,3,5,7,9} , B ? {0,3,6,9} ,则 A ? (? N B) ? (A) {1, 2,3} (B) {1,3,9} (C) {3,5, 7} (D) {1,5,7}

2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? (m2 ? 4) ? ? m ? 2? i (其中 m ? R )是纯虚数,则 m= (A)-2 (B)2 (C) ?2 (D) ?4
1 1

3.已知命题 p: “若直线 ax+y+1=0 与直线 ax-y+2=0 垂直,则 a=1” ;命题 q: a 2 ? b 2 ”是“ a ? b ”的充 “ 要条件,则 (A)p 真,q 假 (B) p ? q ”真 “ (C) p ? q ”真 “ (D) p ? q ”假 “

4.当前,某城市正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别 有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若第一批经济适用房中有 90 套住房用于解决这三个社区中 90 户低收入 家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 (A)40 (B)36 (C)30 (D)20

5.在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 (A)
1 2

(B)1

(C)2

(D)4

??? ? ??? ? ??? ? 6.已知向量 a,b 不共线,设向量 AB ? a ? kb , CB ? 2a ? b , CD ? 3a ? b ,若 A,B,D 三点共线,则实数

k 的值为

(A)10 (C)-2

(B)2 (D)-10

7.如果执行右面所示的程序框图,那么输出的 S ? (A)2352 (B)2450 (C)2550 (D)2652
? y ? 0, y ?1 ? 8. 已知实数 x, 满足不等式组 ? x ? y ? 0, 则 y 的取值范围 ? 2 x ? y ? 2, x ? 1 ?



1 (A) [? ,1) 4

(B) ( ?1,1)

1 (C) [? ,1) 2

1 (D) [? , 2) 2

9.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? (A) 30? (B) 60?

2 3 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3

(C) 120 ?

(D) 150 ?

?3x , x ? 0, ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) ? t ( t ? R ) .关于函数 g ( x) 的零点,下列判 ?log3 (? x), x ? 0, ?
断不正确的是 ... (A)若 t ? ? 2 , g ( x) 有四个零点 (C)若 ?2 ? t ?
1 , g ( x) 有两个零点 4

(B)若 t ? ? 2 , g ( x) 有三个零点 (D)若 t ?
1 , g ( x) 有一个零点 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横线上. 1 11.若关于 x 的不等式 x2 ? (2 ? m) x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 2} ,则实数 m=______. 2 12. 在钝角△ABC 中,,, 分别为角 A、、 的对边,=1,= 3 , B=30°, ABC 的面积等于___________. a b c B C b c ∠ 则△ 13. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b 设 当 (其中 b 为常数)则 f (?1) ? ___________. , 14.设 P 是双曲线 x2 ?

y2 ? 1 上的一点, F1 、 F2 分别是该双曲线的左、右焦点,若△ PF1 F2 的面积为 12, 12

则 ?F1 PF2 ? _________. 15.若函数 y ? f ( x) 对定义域的每一个值 x1 ,在其定义域内都存在唯一的 x 2 ,使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,则称 该函数为“依赖函数” .给出以下命题:① y ? x 是“依赖函数” ;② y ?
1 是“依赖函数” ;③ y ? 2 x 是“依赖函 x

数” ;④ y ? ln x 是“依赖函数” ;⑤ y ? f ( x) , y ? g ( x) 都是“依赖函数” ,且定义域相同,则 y ? f ( x) ? g ( x) 是 “依赖函数” . 其中所有真命题的序号是________________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会 实践活动,且每个小组有 5 名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的 A、B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示,其中 B 组一同学的分数已被污损,但知道 B 组 学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分. (Ⅰ)若在 B 组学生中随机挑选 1 人,求其得分超过 85 分的概率; (Ⅱ)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m , n , 求 | m ? n ?| 的概率. 8 17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 6 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; ? 1 ? 1 (Ⅱ)若 f ( ? ? ) ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f (? ) 的值. 2 2 6 3

?

18.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? nan ? log 1 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? (n ? 1)(Sn ? 2) ? 43 ? 0 成立的正整数 n
2

的最小值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 边长为 a 的正方形 ABCD 中, 1 点 E、F 分别在 AB、BC 上,且 BE ? BF ? BC ,将△AED、△CFD 2 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 A? ,连结 A?B. (Ⅰ)判断直线 EF 与 A?D 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求四棱锥 A?-BEDF 的体积.

20.(本小题满分 13 分)如图,已知点 M 在圆 O: x2 ? y 2 ? 4 上运动,MN⊥y 轴(垂足为 N) ,点 Q 在 NM 的延长线上,且 | QN |? 2 | MN | . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程;

1 x ? m 与(Ⅰ)中动点 Q 的轨迹交于两个不同的点 A 和 B,圆 O 上存在两点 C、D,满足 2 | CA |?| CB | , | DA |?| DB | .

(Ⅱ)直线 l : y ?

(ⅰ)求 m 的取值范围; | CD | (ⅱ)求当 取得最小值时直线 l 的方程. | AB |

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a (其中 a>0) ,函数 f ( x) 的图象在与 y 轴 交点处的切线为 l1,函数 g ( x) 的图象在与 x 轴的交点处的切线为 l2,且直线 l1∥l2. (Ⅰ)求切线 l1 与 l2 的距离; x ?m (Ⅱ)若 ?x0 ,满足 0 ? x0 ,求实数 m 的取值范围; f ( x0 ) (Ⅲ)当 x ? 0 时,试探究 | f ( x) ? g ( x) | 与 2 的大小,说明你的理由.

资阳市高中 2010 级第一次高考模拟考试

数学(文史财经类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5. DBDCC;6-10.BCCBA. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 3 ? 11.3; 12. ; 13.-3; 14. ;15.②③. 4 2 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 16.解析: (Ⅰ)A 组学生的平均分为 , ? 85 (分) 5 91 ? 93 ? 83 ? x ? 75 ∴B 组学生平均分为 86 分,设被污损的分数为 x,由 ? 86 ,∴ x ? 88 , 5 故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, ············· 4 分 3 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? . ········· 6 分 5 (Ⅱ)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学,其分数组成的基本事件(m,n)有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77), (88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共 10 个, ······ 8 分 随机抽取 2 名同学的分数 m,n 满足 | m ? n |? 8 的事件(94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80), (80,77)共 6 个.····························· 10 分 6 3 故学生得分 m,n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ? ? . ··········· 12 分 10 5 17.解析: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 6 ? ? 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) . ···· 2 分 = cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? sin 2 x ? 6 6 2 2 3 ? ? ? 5? ? (Ⅰ)令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,则 k? ? ? x ? k? ? , k ?Z , 2 3 2 12 12

?

5? ? ········· , k? ? ](k ?Z). 12 12 1 ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( ? ? ) ? sin ? ? , 2 6 3 2 2 ? ∵ ? ? ( , ? ) ,∴ cos ? ? ? , ··················· 3 2 1 2 2 4 2 2 2 2 7 )?? ) ? 1 ? , ······ 故 sin 2? ? 2 ? ? (? , cos 2? ? 2(? 3 3 9 3 9 ? 1 3 1 4 2 3 7 7 3?4 2 cos 2? ? ? (? )? ? ? ∴ f (? ) ? sin(2? ? ) ? sin 2? ? . 3 2 2 2 9 2 9 18 18.解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ;

∴函数 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

4分

6分 10 分 12 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2 ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an ?1 , ∴ an ? 2an ?1 ,故数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列, 故 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ························· 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? n ? 2n ? log 1 2n ? n ? 2n ? n ,
2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) , ···· 5 分
2

令 Rn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 则 2Rn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 1? 2 ∴ Rn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 , ························ 7 分 n(n ? 1) ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ? , ············· 8 分 2 又由(Ⅰ)得, Sn ? 2an ? 2 ? 2n?1 ? 2 , ················· 9 分 n(n ? 1) 不等式 Tn ? (n ? 1)(Sn ? 2) ? 43 ? 0 即为: (n ? 1)2n?1 ? 2 ? ? (n ? 1)2n?1 ? 43 ? 0 , 2 ∴ n2 ? n ? 90 ? 0 , ·························· 10 分 解得 n ? 9 或 n ? ?10 , ························ 11 分 因为 n ? N* ,故使不等式 Tn ? (n ? 1)an?1 ? 43 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 10. 12 分 19.解析: (Ⅰ)A?D⊥EF. ······················ 1 分 证明如下: 因为 A?D⊥A?E,A?D⊥A?F, 所以 A?D⊥面 A?EF,又 EF? 面 A?EF, 所以 A?D⊥EF. ? 直线 EF 与 A?D 的位置关系是异面垂直 ················ 4 分 2a a a (Ⅱ)设 EF、BD 相交于 O,连结 A?O. BF ? ,A?E=A?F= ,EF= , 2 2 2 则 EF 2 ? A?E 2 ? A?F 2 ,所以△A?EF 是直角三角形, 1 2 3 3 2 a , OD ? BD ? a, 则 OA? ? EF ? 2 4 4 4 1 ∴ sin A?DB ? ,作 A?H ? BD 于 H ,可得 A?H ⊥平面 BEDF,设 A?到面 BEDF 3
两式相减得 ?Rn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

的距离为 d,
a , 3 则四棱锥 A?-BEDF 的体积 1 1 1 2a a a3 ? 2a ) ? ? V 四棱锥 A?-BEDF ? ? S BEDF ? d ? ? ( ? . ············ 12 分 3 3 2 2 3 18 1 1 a a a3 【另解:V 三棱锥 A?-DEF=V 三棱锥 D-A?EF ? ? ( ? ? ) ? a ? , 3 2 2 2 24 S OD 1 ? 3 ,∴V 三棱锥 A?-BEF= V 三棱锥 A?-DEF, ∵ ?DEF ? S ?BEF OB 3 ∴四棱锥 A?-BEDF 的体积 V 四棱锥 A?-BEDF=V 三棱锥 A?-BEF+V 三棱锥 A?-DEF 4 a3 a3 1 4 ? 】 ········· 12 分 ? V 三棱锥 A?-DEF +V 三棱锥 A?-DEF ? V 三棱锥 A?-DEF ? ? 3 3 3 24 18 20.解析: (Ⅰ)设动点 Q( x, y ) ,点 M ( x0 , y0 ) ,

则 d ? A?D ? sin A?DB ?

2 2 因为点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ? 4 , 因为 | QN |? 2 | MN | ,所以 x ? 2 x0 , y ? y0 ,

把 x0 ?

x2 y 2 x 2 2 , y0 ? y 代入 x0 ? y0 ? 4 得动点 Q 的轨迹方程为 ? ? 1 . ···· 4 分 2 16 4

1 ? ? y ? 2 x ? m, ? (Ⅱ) (ⅰ)联立直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹方程得 ? 2 ∴ x2 ? 2mx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,由于有两个交点 A、 2 ? x ? y ? 1, ?16 4 ?

B,故 ? ? 0 ,解得 | m |? 2 2 ,

① ··················· 5 分

x1 ? x2 ? ? x3 ? 2 ? ?m, ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x3 , y3 ) ,由根与系数的关系得 ? ? y ? 1 ? ( ? m) ? m ? m , ? 3 2 ? 2 m 3m 故 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? ?2( x ? m) ,即 2 x ? y ? ? 0 . ····· 6 分 2 2 由圆 O 上存在两点 C、D,满足 CA ? CB , DA ? DB ,可知 AB 的垂直平分线与圆 O 交于 C、D 两点,由

3m | 4 5 直线与圆的位置关系可得 2 ? 2 ,解得 | m |? , ② 3 5 |

由①、②解得 | m |? 2 2 ,
? m 的取值范围是 ?2 2 ? m ? 2 2 . ·················· 8 分 ? x1 ? x2 ? ?2m, ? (ⅱ)由(ⅰ)知 ? 所以 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 2 ? x1 x2 ? 2m ? 8, ?
1 5 ? 1 ? ( )2 ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ? ? 32 ? 4m2 , ············ 10 分 2 2

3m | | 2 3m 2 2 )2 ? 2 80 ? 9m , ·· 11 分 又直线 2 x ? y ? ? 0 与圆的相交弦 | CD |? 2 2 ? ( 20 2 5

?

| CD | ? | AB |

2

80 ? 9m2 20

5 ? 32 ? 4m2 2

?

2 80 ? 9m2 2 9 2 , ? ? 2 5 32 ? 4m 5 4 8 ? m2
| CD | 2 9 2 ? ? 取得最小值, | AB | 5 4 8 ? m2

由(ⅰ) ?2 2 ? m ? 2 2 ,故当 m ? 0 时, 故直线 l 方程为 y ?

12 分

1 x . ······················· 13 分 2 1 21.解析: (Ⅰ) f ?( x) ? ae x , g ?( x) ? ,函数 y ? f ( x) 与坐标轴的交点为 (0, a) ,函数 y ? g ( x) 与坐标轴的 x 1 交点为 (a, 0) ,由题意得 f ?(0) ? g ?(a) ,即 a ? ,又 a ? 0 , a ∴ a ? 1 . ······························ 2 分 ∴ f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x ,所以函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象与其坐标轴的交点处的切线方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 , ························ 3 分

∴两条平行线间的距离为 2 . ···················· 4 分 x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? x ? e x 在 [0, ??) 上有解, (Ⅱ)由 f ( x) e 令 h( x) ? x ? x ? ex ,只需 m ? h( x)max . ················· 6 分 ①当 x ? 0 时, h( x) ? x ? x ? ex ? 0 ,所以 m ? 0 ; ②当 x ? 0 时,∵ h?( x) ? 1 ? ( ∵ x ? 0 ,∴
1 ? x ?2
ex 2 x ? x ? ex ) ? 1 ? ( 1 2 x ? x )e x ,

2 x 1 ? x )e x ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? x ? ex 在区间 [0, ??) 上单调递减, 故 h?( x) ? 1 ? ( 2 x 所以 h( x)max ? h(0) ? 0 ,此时 m ? 0 . 综合①②得实数 m 的取值范围是 (??, 0) . ················ 9 分 (Ⅲ)当 x ? 0 时, | f ( x) ? g ( x) |? 2 ,理由如下:

1 1 ? x )e x ? 2 , ? 2 , e x ? 1 ,∴ ( 2 2 x

方法一、由题 | f ( x) ? g ( x) |? e x ? ln x , x ? (0, ??) ,令 F ( x) ? e x ? ln x , 1 1 1 则 F ?( x) ? ex ? ,设 x ? t 是方程 F ?( x) ? e x ? ? 0 的根,即有 et ? ? 0 t x x ?( x) ? 0 ;当 x ? (t , ??) 时, F ?( x) ? 0 . 则当 x ? (0, t ) 时, F ∴ F ( x) 在 (0, t ) 上单调递减,在 (t , ??) 上单调递增, 1 ∴ F ( x)min ? et ? ln t ? et ? ln t ? et ? t , ················· 12 分 e 1 1 ∵ F ?(1) ? e ? 1 ? 0 , F ?( ) ? e ? 2 ? 0 ,∴ ? t ? 1 , 2 2 1 1 1 1 故 F ( x) min ? et ? t ? e 2 ? ? e ? ? 2.25 ? ? 2 , 2 2 2 所以对于 ?x ? (0, ??) , | f ( x) ? g ( x) |? 2 . ················ 14 分 方法二、由题 | f ( x) ? g ( x) |? e x ? ln x , x ? (0, ??) ,令 F ( x) ? e x ? ln x , x ? (0, ??) ,

令 F1 ( x) ? e x ? x , x ? (0, ??) ; F2 ( x) ? x ? ln x , x ? (0, ??) ,········ 12 分 1 x ?1 ∵ F1?( x) ? e x ? 1 , F2?( x) ? 1 ? ? , x x ∴ F1 ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, F2 ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, ∴ F1 ( x) ? F1 (0) ? 1 , F2 ( x) ? F2 (1) ? 1 , ∴ F ( x) ? ex ? ln x ? e x ? x ? x ? ln x ? F1 ( x) ? F2 ( x) ? 2 , 所以对于 ?x ? (0, ??) , | f ( x) ? g ( x) |? 2 . ················ 14 分


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