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高三数学理


江西师大附中高三年级三模数学(理)试卷
命(审)题人:廖涂凡、张延良 2016.5

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | y ? x ? 4} , B ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 0}

,则 CU A ? B ? ( A. [0, ] )

分数,那么第三次用“调日法”后可得 ? 的近似分数为( ) 22 78 63 109 A. B. C. D. 7 25 20 35 10. 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的体积等于 ( )cm3. A.6+

1 2

B. (4,??)

C. ( ,4]

1 2

D. (1,4]

3 ? 2 3 C. 4+ ? 2

B. 6 ?

2 ? 3 2 D.4+ ? 3

2.已知 z 是纯虚数,且 (2 ? i ) z ? 1 ? ai 3 (i 是虚数单位, a ? R ) ,则 | a ? z |? ( ) A.1 B. 3 3.执行如图所示的程序框图,其输出结果是( A.61 B.62 4.给出下列三个命题: ①“若 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 1 ”为假命题; ②若 p ∧ q 为假命题,则 p , q 均为假命题; C.2 ) C.63 D.64 D. 5

11.已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,随着 a 的增大该椭圆的形状( ) 4a a ? 1 A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆 f '(1) 2 x ? 2 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) 分别满足 f ( x) ? ?e ? x 2 ? 2 f (0) ? x , 2 ) g ' ( x) ? 2 g ( x) ? 0 ,则下列不等式成立的是( A. f (2) ? g (2015) ? g (2017) B. f (2) ? g (2015) ? g (2017) C. g (2015) ? f (2) ? g (2017) D. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

③命题 p : ?x ? R, 2 x ? 0 ,则 ?p : ?x0 ? R, 2 x0 ? 0 .其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 5.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a2 ? 5a1 , a7 ? 2 ,则 a5 ? ( A.

) )

第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 ? ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (3, y ) ,若向量 a, b 的夹角为 ,则 b 在 a 方向上的投影是______. 6 函数 y ? f ( x ? 1) 关于点 (1,0) 对称, 14.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 , 则 f (2016) ? _________.
?

1 2

B. ?

1 2

C.2

D. ?2

6.设 a, b ? R ,若 p : a ? b , q : A.充分不必要条件

1 1 ) ? ? 0 ,则 p 是 q 的( b a B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

7.若 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? ? 0) 的最小正周期为 ? , f (0) ? 2 ,则(

15.已知 a ? ? 2 (sin x ? cos x)dx ,在 (1 ? ax)6 (1 ? y ) 4 的展开式中, xy 2 项的系数为__________.
0

A. f ( x) 在 (?

? ?

C. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 D. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 2 2 2 x ? 2 y ? 1 ? ? ? ? ? ? 8.若 x、 y 满足约束条件 ? x ? y 且向量 a ? (3, 2) ,b ? ( x, y ) , 则 a ? b 的取值范围是( ) ?2 x ? y ? 1 ? 7 5 7 5 B.[2 ,5] C.[4 ,5] D.[2 ,4] A.[4 , 4] 9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理 b d b?d 论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 ( a, b, c, d ? N * ) ,则 是 a c a?c 31 49 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道 ? ? 3.14159 ??? ,若令 ? ? ? ,则 10 15 16 31 16 第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 ? ? ? ,若每次都取最简 5 10 5
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?

, ) 单调递增 4 4

B. f ( x) 在 (?

? ?

, ) 单调递减 4 4

?

?13 ?7 ? ?3 ? 3 ?15 16.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 23 ? ,33 ? 9 , 4 ? ,... 仿 ?5 ? ?17 ?11 ? ?19 3 此,若 m 的“分裂”数中有一个是 73,则 m 的值为_____________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 2? 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , C ? ,且 a 2 ? (b ? c ) 2 ? (2 ? 3)bc . 3 (Ⅰ)求角 B 的大小;

? 4 ? 且 a1 ? cos 2 B ? 1 , 且 a2 , a4 , a8 成等比数列, 求? (Ⅱ) 若等差数列 {an } 的公差不为零, ? ? an an ?1 ?
的前 n 项和 S n .

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18.(本小题满分 12 分) 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 ,M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

20. (本小题满分 12 分)

5 . 5

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F (?1,0) ,左右顶点分别为 A, B ,经过点 F 的 a2 3 直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S 2 | 的最大值.
已知椭圆 M :

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? ax 2 ? 2a ? e) ,其中 a ? R , e ? 2.72828 ??? 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 19.(本小题满分 12 分) 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了 30 名 男生和 20 名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎 叶图,规定 80 分以上为优分(含 80 分).

1 ? a ? 1 时,对任意的 x ? [0, ??) ,比较 f ( x) 与 0 的大小. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. D 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A ? 的中点,∠ BAC 的平分线 如图所示, ?ABC 内接于圆 O, D 是 BAC 分别交 BC 和圆 O 于点 E , F . (Ⅰ)求证: BF 是 ?ABE 外接圆的切线; (Ⅱ)若 AB ? 3 , AC ? 2 ,求 DB ? DA 的值.
2 2

O B F E C

(Ⅰ) (i)请根据图示,将 2×2 列联表补充完整; 优分 非优分 总计 男生 女生 50 总计 (ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为“该学科成绩与性别有 关”? (Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩,求成绩为优分 人数 X 的期望和方差.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 ? 2 cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .以 O 为极点, x 轴 ? y ? 2sin ?

正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程;

? ? 1 π x2 ? x ? x, 2 (Ⅱ)设曲线 C2 : ? y ? 1 经伸缩变换 ? 2 后得到曲线 C3 ,射线 ? ? ( ? ? 0 )分别 4 3 ? ? y? ? y 与 C1 和 C3 交于 A , B 两点,求 | AB | .
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 3 |? 2 x ? 1 的解集为 {x | x ? m} .

P?K2 ? k?
k
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

附: K 2 ?

n(ad ? bc) . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(Ⅰ)求 m 的值;
1 (Ⅱ)设关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? m ( t ? 0 )有解,求实数 t 的值. t

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