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1.1.1任意角 课件 人教新课标高中(必修4)2012.4.9


1.1.1任意角(一)

终边 B

顶 点

o

A

始边

一、复习基础知识 1、角的定义: 定义1: 从一点出发的两条射线所组成的图形 B
角的范围: 0?

~

360?

?
O A

定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形。

2、角的表示:

?AOB, ??

? 简记:

二、新学
思考下面的角度如何表示?

(1)你的手表慢了5分钟,想将它校 准,分针应该旋转多少度?
(2)假如你的手表快了1.25小时,想将它 校准,分针应该旋转多少度?

1.规定:
任 意 角
正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:一条射线没有作任何旋转时 形成的角

二、新学
思考下面的角度如何表示?
(1)你的手表慢了5分钟,想将它校 准,分针应该旋转多少度? -30° (2)假如你的手表快了1.25小时,想将它 校准,分针应该旋转多少度? 450°

?

思考:度量一个角的大小,既要考虑旋转方 向,又要考虑旋转量,通过上述规定,角的 范围就扩展到了任意大小. 对于α =210°, ? ? =-150°,=-660°,你能用图形表示这 些角吗?你能总结一下作图的要点吗? 画图表示一个大小一定的角, 先画一条射线作为角的始边, 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向,再由角的绝对值大小 确定角的旋转量,画出角的 终边,并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
B2 α O β A

2、象限角: 1)角的顶点于坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限
y


?

o

?

终边落在坐标轴上就 称角是非象限角
x

请在坐标轴上画出-32°,328°,-392°, 并找出它们的共同点?

知识探究(三):终边相同的角

思考:-32°,328°,-392°是第几 象限的角?这些角有什么内在联系?
y -392° 328° x o -32°

3、与角 ? 终边相同 的角的表示: S={ β| β=
-320= =-320+0x3600 3280=-320+3600 =-320+1x3600 -3920=-320-3600 =-320-1x3600 -320+2x3600 , -320-2x3600 -320+3x3600 , -320-3x3600

α+kx3600 , K∈ Z}

与α终边相同的角的一般形式为
…, …,

α+Kx3600,K ∈ Z

与-320终边相同的角的一般形式为 -320+KX3600,K ∈ Z

试一试:书P5练习T5

例1(1) 在0°~360°范围内,找出与950°12′ 角终边相同的角并判定它是第几象限角: 例1(2)在0°~360°范围内,找出与

-950°12′角终边相同的角并判定它是第几象限角:
解 : ∵-950°12′= 129048′-3×3600,

∴在0°~360°范围内, 与-950°12′角 终边相同的角是129°48′, 它是第二象限 角.

知识学习:终边在坐标轴上角的取值
900 +Kx3600 y

x 1800 +Kx3600 o 或3600+KX3600 00 +Kx3600

2700 +Kx3600

思考:终边在x轴正半轴、负半轴,

x轴正半轴:α= k· 360°,k∈Z ; x轴负半轴:α= 180°+k· 360°,k∈Z y轴正半轴:α= 90°+k· 360°,k∈Z ; y轴负半轴:α= 270°+k· 360°,k∈Z 思考:终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示?
终边在x轴上:S={α|α=k· 180°,k∈Z}; 终边在y轴上:S={α|α=90°+k· 180°,k∈Z}.

y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示?

例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
? 解:在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有两个,90°,270°
∴与90°角终边相同的角构成的集合

{偶数}∪{奇数} ={整数}
900+K?3600 Y

S1={β| β=900+K?3600,K∈Z}
∴与270°角终边相同的角构成的集合

S2={β| β=2700+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z}
所以 终边落在y轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+2K?1800,K∈Z}
∪{β| β=900+(2K+1)1800

X
O

,K∈Z}

2700+k?3600

={β| β=900+K?1800 ,K∈Z}

例3 写出终边在直线y=x上的角 的集合s,并把s中适合不等式360°≤ β<720°的元素β写出 来.
解:

S={α|α=45°+k· 180°,k∈Z}. -315°,-135°,45°,225°, 405°,585°.

思考:第一、二、三、四象限的角的集合 分别如何表示?(书P10习题1.1A组T4)

第一象限角: S={α | k· 360°<α<90°+k· 360°,k∈Z}; 第二象限角: S={α | 90°+k· 360°<α<180°+k· 360°,k∈Z} 第三象限角: S={α | 180°+k· 360°<α<270°+k· 360°,k∈Z 第四象限角: S={α | -90°+k· 360°<α<k· 360°,k∈Z}.

思考:如果α 是第一象限的角,那么2α 、 α /2分别是第几象限的角?
(书P11习题1.1A组T5) 解:

0°+k· 360°<α<90°+k· 360°

0°+k·720°<2α<180°+k·720° 0°+k· 180°<α/2<45°+k· 180°
如果α是第二象限的角 如果α是第三象限的角 如果α是第四象限的角

三、小结
1、任意角(正角、负角、零角的定义)
正角: 负角: 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角

零角:

2、象限角: 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说 这个角是第几象限角
y

?
o

?

x

3、与角

S ? ?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ?
?

? 终边相同的角的表示:

作业:

P5 练习 :3,4,5.


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