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函数平方逼近多项式的均方误差计算


函数平方逼近多项式的均方误差计算 函数平方逼近多项式的均方误差计算
1 1 + 25 x 2 (1) 求连续函数 f ( x) 在区间[-1,1]上的 3 次最佳平方逼近多项式,计算均方误 差 δc ;

实验要求:设 f ( x) =

(2) 在区间[-1,1]上取 5 个等距结点, f ( x) 的离散 3 次最佳平方逼近多项式, 求 计算均方误差 δ 5 ; (3) 在区间[-1,1]上取 9 个等距结点, f ( x) 的离散 3 次最佳平方逼近多项式, 求 计算均方误差 δ 9 ; (4) 比较 δ 5 和 δ 9 ,应如何合理地定义离散情况下的均方误差?该定义(1)中 的 δ c 有何关系? 实验步骤: (1) 利用 legendre 正交多项式作 f ( x) 在 [-1,1] 上的最佳平方逼近,先计算 ( f ( x), Pk ( x)) , k =0,1,2,3。 1 1 2 ( f ( x), P0 ( x)) = ∫ dx = arctan(5) 2 ?1 1 + 25 x 5 1 1 ( f ( x), P ( x)) = ∫ x dx = 0 1 ?1 1 + 25 x 2 1 3 1 1 2 2 ( f ( x), P2 ( x)) = ∫ ( x 2 ? ) dx = ? × arctan(5) 2 ?1 2 2 1 + 25 x 25 125 1 5 3 1 ( f ( x), P3 ( x)) = ∫ ( x 3 ? ) dx = 0 ?1 2 2 1 + 25 x 2 由方程组计算出系数

?2 ?0 ? 2 ?3 ? ?0

0
2 3

2 3

0
2 5

0
2 5

0

2 ? a rc ta n ( 5 ) 0? ? ? 5 ? ? 2 ? 0 5 ? ? a = ? ( 2 ? a rc ta n ( 5 )) 2 ? 25 ? ? 0? 125 ? ? 2 ? 0 ? ? 7 ?

解得系数为

a = [0.50923 0 ?0.70366 0] 由以上系数和 legendre 正交函数簇可得 f ( x) 在 [-1,1]上的三次最佳平方逼近多 项式 S ( x) 为:
? * S ( x) = a0 P0 ( x) + a2 P2 ( x) = 0.50923 ? 0.70366 x 2

均方误差:

δ c ( x) 2 = f ( x) ? S ( x) = 0.27243 ?
f ( x) 和多项式 S ( x) 在区间[-1,1]上的图形如下所示:

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(2) 在区间[-1,1]上等距的取 5 个点 x -1.0000 -0.5000 0 y 0.0385 0.1379 1.0000 由法方程 Ha = d ,得到如下方程组: 0 2.5000 0 ? ?5.0000 ?1.3528 ? ? 0 ? ? 0 ? 2.5000 0 2.1250 ? ? ? a=? ? 2.5000 ? 0.1459 ? 0 2.1250 0 ? ? ? ? ? 2.1250 0 2.0313? ? 0 ? 0 ? 解得系数为 a = [ 0.4855 0 ?0.5609 0] 由此得到 均方误差
S ( x) = 0.5737 ? 0.6063x 2

0.5000 0.1379

1.0000 0.0385

δ5 2 =



4 k =0

( f ( xk ) ? S ( xk )) 2 =0.5945

f ( x) 和多项式 S ( x) 在区间[-1,1]上的图形如下所示:

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(3) 在区间[-1,1]上等距的取 9 个点 x -1.000 -0.750 -0.500 -0.250 0 0 0 0 y 0.0385 0.0664 0.1379 0.3902

0 1.000 0

0.250 0 0.390 2

0.500 0 0.137 9

0.750 0 0.066 4

1.000 0 0.038 5

由法方程 Ha = d ,得到如下方程组: 0 3.7500 0 ? ?9.0000 ? 2.2661? ? 0 ? ? 0 ? 3.7500 0 2.7656 ? ? ? a=? ?3.7500 ?0.2694 ? 0 2.7656 0 ? ? ? ? ? 2.7656 0 2.3877 ? ? 0 ? 0 ? 解得系数为 a = [ 0.4855 0 ?0.5609 0] 由此得到 均方误差 S ( x) = 0.4855 ? 0.5609 x 2

δ9 2 =



8 k =0

( f ( xk ) ? S ( xk ))2 = 0.6367

f ( x) 和多项式 S ( x) 在区间[-1,1]上的图形如下所示:

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(4) 由 (2) 、 可以看到 δ 5 < δ 9 , (3) 这意味着在该均方误差定义下, 得到的 f ( x) 的信息越多,反而拟合出的曲线误差越大。 可以将离散情况下均方差定义为

δn =



n ?1 k =0

hk ( f ( xk ) ? S ( xk )) 2

其中 hk 是 xk +1 和 xk 之间的距离,,采用均匀分布,在区间[a,b]上 n 个采样点, b?a hk = h = , 在此定义下, , [a b]=[-1,1]时, 5 =0.4203, 9 =0.3183, δ 9 < δ 5 , δ δ 有 n ?1 并且有:当 n 趋近于无穷时, δ n = δ c


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