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人教版2017高中数学(必修五)第二章 §2.2 等差数列 (二)PPT课件


第二章 数列 §2.2 等差数列(二) 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考1 已知等差数列 {an} 的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an = a1 + (n -1)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an? 答案 设等差数列的首项为a1,则am=a1+(m-1)d, 变形得a1=am-(m-1)d, 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d =am+(n-m)d. 思考2 an-a1 an-am 由思考 1 可得 d= ,d= ,你能联系直线 n-1 n-m 的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗? 答案 等差数列通项公式可变形为 an=dn +(a1-d) ,其图象为一条 直线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m,am)都是这条 直线上的点.d为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an)连线 an-a1 an-am 的斜率 d= .当两点为(n,an),(m,am)时,有 d= . n-1 n-m 梳理 等差数列{an}中,若公差为d,则an=am+(n-m)d,当n≠m时, an-am d= . n-m 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算1+2+3+?+100的吗?推广到一般的 等差数列,你有什么猜想? 答案 利用 1 + 100 = 2 + 99 = ?. 在有穷等差数列中,与首末两项 “ 等距离 ” 的两项之和等于首项与末项的和.即 a1 + an = a2 +an-1=a3+an-2=?. 梳理 在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+ an =ap + aq .特别地,若m+n=2p,则a +a =2a . n m p 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若{an}是公差为d的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗? 若是,公差是多少? 答案 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2) =(an+1-an)+(an+3-an+2) =d+d=2d. ∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列. 梳理 若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c· an} {an+an+k} {pan+qbn} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*) 公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数) 题型探究 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例1 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项 公式. 解答 因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算. 跟踪训练 1 数列 {an} 的首项为 3 , {bn} 为等差数列,且 bn = an + 1 - 解析 an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于 答案 A.0 B.3 C.8 D.11 类型二 例2 等差数列与一次函数的关系 已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个 数列一定是等差数列吗?若是,首项

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