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2013广东文科数学解析(完美清晰版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科 A 卷)解析
从今以后,不再是大学特学综合科,而是大学特学数学科了!让别的科扼杀学生的能力吧,数学 出基础题就好——感恩广东今年数学出题老师——湛江-农垦-小徐注(QQ:808068)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 锥体的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.ks5u 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 S ? {x | x2 ? 2 x ? 0, x ? R} , T ? {x | x2 ? 2x ? 0, x ? R} ,则 S ? T ? A. {0} B. {0, 2} C. {?2, 0} D. {?2, 0, 2}

开始 输入n i=1, s=1

【解析】 :先解两个一元二次方程,再取交集,选 A,5 分到手,妙!

lg( x ? 1) 2.函数 f ( x ) ? 的定义域是 x ?1

( A. ?1, ??)

[ ( B. ?1, ??) C. ?1,1) ? (1, ??)

[ D. ?1,1) ? (1, ??)
i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1

否 输出s 结束

【解析】 :对数真数大于零,分母不等于零,目测 C! 3.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】 :复数的运算、复数相等,目测 x ? 4, y ? ?3 ,模为 5,选 D. 4.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 1 2 A. ? B. ? C. 5 5 5

图 1
D.

2 5

【解析】 :考查三角函数诱导公式, sin(

5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7
2

【解析】选 C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.
1 正视图 1 侧视图

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1
俯视图 图 2

【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为 2,则 V = ? 7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于第一象限的直线方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

1 1 1 ?1 ?1 ? 2= ,选 B. 3 2 3

【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,排除 B、 C;相切于第一象限排除 D,选 A.直接法可设所求的直线方程为: y ? ? x ? k ? k ? 0? ,再利用圆心到 直线的距离等于 r ? 1 ,求得 k ?

2.

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选 B 了. 9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2
D.

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

【解析】基础题, c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,选 D. 10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ;ks5u ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

?

?

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? ?

?

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? ?

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?

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?

【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以 a 的终点 作长度为 ? 的圆,这个圆必须和向量 ? b 有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三 角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须

?b ? ?c =? +? ? a ,所以④是假命题.综上,

本题选 B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何. 【品味选择题】文科选择题答案:ACDCC BABDB.选择题 3322 再次出现!今年的选择题很基础,希 望以后高考年年出基础题! 二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 【解析】这题相当于直接给出答案了 15 12.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 y ? 2ax ?
'



1 ' 1 , y x ?1 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? x 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ?y 的 ? y ?1 ?
最大值是 .

【解析】画出可行域如图,最优解为 ?1, 4 ? ,故填 5 ; (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲 线 C 的参数方程为 .

【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标

? x ? 1 ? cos ? 2 方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,易的则曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?
15. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ? 【解析】 本题对数值要敏感, AB ? 3, BC ? 3 , 由 可知 ?BAC ? 60? 从而 AE ?
B


C

3 , ?CAD ? 30? , 2
A
2 2 ?

E D 图 3

21 . DE ? AE ? AD ? 2 AE ? AD ? cos30 ? 2

【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3? 3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?
4 3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.

17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有几 个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率. 【解析】 (1)苹果的重量在 ?90,95? 的频率为 (2)重量在 ?80,85? 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1 个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 ?80,85? 分段的为 1,?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:

(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中 各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P (A) ? 【解析】这个基础题,我只强调:注意格式!

3 1 ? . 6 2

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的 中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中

2 . BC ? 2
(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;ks5u (3) 当 AD ?
A

A

G

E

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
D G E

D F C

【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 DB EC

B

F 图 4

C

B

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

图 5

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的 内容.

19. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N ? , 且 a2 , a5 , a14 构成等比

数列. (1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?
【解析】本题考查很常规,第(1) (2)两问是已知 Sn 求 an , ?an ? 是等差数列,第(3)问只需 裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成 n ? 1 ,

n ? 2 来做后,不会求 a1 ,没有证明 a1 也满足通项公式.
20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直 2

线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【解析】 (1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . ks5u 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y . 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x 0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 联立 ? ,消去 x 得 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? 2 =2 y0 ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
1 9 ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
【解析】2013 广州模直接命中了这一题,广一模 20 题解法 2 正是本科第(2)问的解法,并且广一模 大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子:我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我 只猜中了前头,可是我却猜不中这结局??形容这次高考,妙极!

2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f (x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解析】 f :
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2)当 k ? 0 时, f
2

'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1,其开口向上,对称轴 x ?

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即

k 1? ,且过 ? 0, 3

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值

k

-k

x?

M ? f ? ?k ? ? ?k 3 ? k 3 ? k ? ?2k 3 ? k .
(ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

k 3

k
' 2 3 时,令 f ? x ? ? 3x ? 2kx ?1 ? 0

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即 k ? ?

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图像判断) ,x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ?

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0 所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k ks5u 【解析】 :看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像 感知 x ? k 时最小, x ? ? k 时最大,只需证 f ? k ? ? f ? x ? ? f ? ?k ? 即可,避免分类讨论.本题第二问 关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了 2012 年高考年报的“对中学教学的要求 ——重视高一教学与初中课堂衔接课”.

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