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2015人教版高中数学选修4-5学案:1.1.2基本不等式(2)


选修 4-5 学案 §1.1.3 基本不等式(2) ☆学习目标:1. 理解并掌握重要的基本不等式; 2. 理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3. 初步掌握不等式证明和应用 ? 知识情景: 1.定理 1 如果 a, b ? R , 那么 a ? b ? 2ab .
2 2

当且仅当 a ? b 时, 等号成立. 2. 定理 2(

基本不等式) 如果 a, b ? R ? , 那么
a?b ? 2 ab .

当且仅当 a ? b 时, 等号成立. 讨论: ⑴给图如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? ⑵怎样用语言表述基本不等式? ⑶在应用基本不等式时要注意什么? 推论 1 .两个正数的算术平均数
2 ab
0

a?b , 2

几何平均数 ab , 平方平均数

,

调和平均数 a ? b , 从小到大的排列是: ☆热身: ⑴某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y (单位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y ? ?( x ? 6) 2 ? 11 ( x ? N ? ), 则每辆客车营运 多少年,其运 营的年平均利润最大( A.3 ⑵设 x ? R 且 x 2 ?
?
2

) C .5 D.6

B.4

2 y ? 1 ,求 x 1 ? y 的最大值. 2

☆探究:类比基本不等式:如果 a, b ? R , 那么 如果 a, b, c ? R ,那么 ? 建构新知:
?

?

a?b ? 2

ab .当且仅当 a ? b 时, 等号成立.

.当且仅当

时, 等号成立.

? 问题:已知 a, b, c ? R , 求证: a ? b ? c ? 3abc. 当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立.
3 3 3

证明:

定理 3

如果 a, b, c ? R , 那么 定理 3 的国语表述:

?

a?b?c 3 ? abc , 当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立. 3

推论 对于 n 个正数 a1 , a2 ,?, an , 它们的

-1-

即 ☆案例学习: 例 1 已知 x, y, z ? R? , 求证: ⑴ ( x ? y ? z)3 ? 27 xyz ;

当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立.

⑵ ( x ? y ? z )( y ? z ? x ) ? 9 ; y z x x y z

⑶ ( x ? y ? z)( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? 9xyz .

例 2 用一块边长为 a 的正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖 的盒子.要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?

例 3 求函数 y ? 2 x ?
2

3 , ( x ? 0) 的最大值,指出下列解法的错误,并给出正确解法. x
∴ ymin ? 33 4 .

解一: y ? 2 x 2 ? 3 ? 2 x 2 ? 1 ? 1 ? 33 2 x 2 ? 1 ? 2 ? 33 4 . x x x x x

3 3 12 3 3 解二: y ? 2 x 2 ? ? 2 2 x 2 ? ? 2 6 x 当 2 x 2 ? 3 即 x ? 12 时, ymin ? 2 6 ? ? 2 33 12 ? 26 324 . x x x 2 2

正解:

-2-


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