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高中数学完整讲义——复数


高中数学讲义

复数

典例分析
题型一:复数的概念
【例1】若复数 ? a2 ? 3a ? 2? ? ? a ? 1? i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 1 或 2 ) D. ?1

【例2】若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的

值为( A. ?1 B. 0 C. 1

) D. ?1 或 1

【例3】已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是(
5? A. ?1, 3? B. ?1,



C. 1, 5

?

?


D. 1, 3

?

?

【例4】若复数 i ? (2 ? bi) 是纯虚数,则实数 b ?

【例5】设 z1 是复数, z2 ? z1 ? iz1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数) ,已知 z 2 的实部是 ?1 ,则 z 2 的虚部 为 .

【例6】复数 1 ?

2 ?( i3 A. 1 ? 2i

) B. 1 ? 2i C. ?1 D. 3

0! 1! 2! 【例7】计算: i + i + i +

+ i100! ?

( i 表示虚数单位)

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中数学讲义

【例8】设 z ? (2t 2 ? 5t ? 3) ? (t 2 ? 2t ? 2)i , t ? R ,则下列命题中一定正确的是( A. z 的对应点 Z 在第一象限 C. z 不是纯虚数 B. z 的对应点 Z 在第四象限 D. z 是虚数



【例9】在下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 两个复数不能比较大小; ② 若 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x ? ?1 ; ③z 是虚数的一个充要条件是 z ? z ? R ; b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数; ④ 若 a, ⑤z ? R 的一个充要条件是 z ? z . 1 ⑥ z ? 1 的充要条件是 z ? . z A.1 B.2 C.3

D.4

题型二:复数的几何意义
【例10】复数 z ?

(2 ? i ) 2 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限



A.第一象限

D.第四象限

【例11】复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点位于( z2
C.第三象限

) D.第四象限

B.第二象限

1 ? i 2009 【例12】在复平面内,复数 对应的点位于( (1 ? i)2
A.第一象限 B.第二象限

) D.第四象限

C.第三象限

【例13】在复平面内,复数 z ? sin 2 ? i cos 2 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限

) D.第四象限

C.第三象限

2

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能力的飞跃

高中数学讲义
【例14】在复平面内,复数 A. 1

2 对应的点与原点的距离是( 1? i

) D. 2 2

B.

2

C. 2

【例15】若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? ai ,且复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限,则实数 a 的 取值范围是( A. a ? 1 ) B. ? 1 ? a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? ?1或a ? 1

【例16】已知复数 z=3+4i 所对应的向量为 OZ ,把 OZ 依逆时针旋转 θ 得到一个新向量为

OZ 1 .若 OZ 1 对应一个纯虚数,当 θ 取最小正角时,这个纯虚数是(
A.3i B.4i C.5i D.-5i



【例17】复数 z ?

m ? 2i ( m ? R , i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1 ? 2i



A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【例18】若 ? ? ? π , π ? ,复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos? )i 在复平面内所对应的点在( 4 4 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?3 ?

5 ? ?



B 为锐角三角形的两个内角,则复数 z ? (cot B ? tan A) ? (tan B ? cot A)i 对应的点位于 【例19】设 A ,

复平

面的( A.第一象限

) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【例20】如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,那么 z ? i ? 1 的最小值是( A.1 B. 2 C.2

) D. 5

【例21】满足 z ? 1 及 z ?

1 3 ? z ? 的复数 z 的集合是( 2 2



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能力的飞跃

3

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? 3 1 3 ? ? 1 ? A. ?? ? i, ? ? i? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? C. ? ? i, ? i? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

B. ? ? i , ? i ?
?1 ? 3 1 3 ? ? D. ? ? i, ? i? 2 2 ? ?2 2 ? ?

?1 ?2

1 2

1 2

1 ? 2 ?

y ? R) 的模为 3 ,则 【例22】已知复数 ( x ? 2) ? yi( x ,

y 的最大值为_______. x

【例23】复数 z 满足条件: 2 z ? 1 ? z ? i ,那么 z 对应的点的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线



【例24】复数 z1 , z 2 满足 z1 z2 ? 0 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,证明:

z12 ? 0. z2 2

【例25】已知复数 z1 , z 2 满足 z1 ? 7 ? 1, z2 ? 7 ? 1,且 z1 ? z2 ? 4 ,求

z1 与 z1 ? z2 的值. z2

【例26】已知复数 z1,z2 满足 z1 ? z2 ? 1,且 z1 ? z2 ? 2 ,求证: z1 ? z2 ? 2 .

z2 ? C , z1 ? z2 ? 1 , z1 ? z2 ? 3 ,求 z1 ? z2 . 【例27】已知 z1 ,

【例28】已知复数 z 满足 z ? (2 ? 3i) ? z ? (2 ? 3i) ? 4 ,求 d ? z 的最大值与最小值.

题型三:复数的四则运算
【例29】复数 ? i ? ? 等于( i
? ? ? 1?
3

) B. ?8 C. 8 i D. ? 8i

A. 8

【例30】设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? (



4

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能力的飞跃

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A. ?1 B. 1 C. 0 D. ?1

【例31】已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2 i

z 2 ? 2z ?( z ?1 B. ? 2i C. 2

) D. ?2

【例32】设 z 的共轭复数是 z ,若 z ? z ? 4 , z ? z ? 8 ,则 A. i B. ?i C. ?1

z 等于( z



D. ?i

【例33】已知集合 z ? A.
5 5

(3 ? i)(3 ? i) ,则 | z |? ( 2?i

) C. 5 D. 2 5

B.

2 5 5

【例34】已知复数 z1 ? 2 ? 3i , z2 ? A. 49

z 3 ? 2i ,则 1 ? ( 2 z2 (2 ? i)
C. 25

) D. 5

B .7

【例35】若将复数

1? i 表示为 a ? bi ( a , b ? R , i 是虚数单位)的形式,则 a ? b ? 1? i



【例36】若复数

a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i A. ?2 B.4 C. ?6 D.6



【例37】i 是虚数单位,若 A. ?15

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则乘积 ab 的值是( 2?i
B. ?3 C.3 D.15



【例38】设 a,b ? R 且 b ? 0 ,若复数 (a ? bi)3 是实数,则(
2 2 A. b ? 3a 2 2 B. a ? 3b


2 2 D. a ? 9b

2 2 C. b ? 9a

【例39】若 a 为实数,

2 ? ai 1 ? 2i

? ? 2i ,则 a 等于(



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能力的飞跃

5

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A. 2 B.- 2 C.2 2 D.-2 2

【例40】若复数 z= (a ? 2) ? 3i ( a ? R )是纯虚数,则

a?i = 1 ? ai

【例41】定义运算 (a, b) ? (c, d ) ? ac ? cd ,则符合条件 ( z,1 ? 2i) ? (1 ? i,1 ? i) ? 0 的复数 z 的所对 应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【例42】定义运算

a b z 1 ? 2i ? ad ? bc ,则符合条件 ? 0 的复数 z 对应的点在( ) c d 1 ? 2i 1 ? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

【例43】投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n , 则复数 (m ? ni)(n ? mi) 为实数的概率为( ) A.

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

【例44】已知复数 z 满足 z ? 1, z 2009 ? z 2008 ? 1 ? 0 ,则复数 z =_____________

【例45】已知 m ? R ,若 (m ? mi)6 ? ?64i ,则 m 等于( A. ?2 B. ? 2 C. ? 2 D.4



【例46】复数

(2 ? 2i) 4 (1 ? 3i)5

等于(

) C. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i

A. 1 ? 3i

B. ?1 ? 3i

【例47】计算:

(2 ? 2i)12 (?1 ? 3i)9

?

(?2 3 ? i)100 (1 ? 2 3i)100



6

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能力的飞跃

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【例48】已知复数 z1 ? cos? ? i , z2 ? sin ? ? i ,则 z1 ? z2 的最大值为( A.
3 2



B. 2

C.

6 2

D.3

b 使 az ? 2bz ? (a ? 2z)2 . 【例49】若复数 z ? 1 ? i ,求实数 a , (其中 z 为 z 的共轭复数)

【例50】设 x 、 y 为实数,且

x y 5 ? ? ,则 x ? y =________. 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

n ? N} . 【例51】对任意一个非零复数 z ,定义集合 M z ? {w | w ? z n ,
1 ? 0 的一个根,试用列举法表示集合 M z .若在 M z 中任取两个数,求其 x 和为零的概率 P ; ⑵ 若集合 M z 中只有 3 个元素,试写出满足条件的一个 z 值,并说明理由.

⑴ 设 z 是方程 x ?

【例52】解关于 x 的方程 x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)i ? 0 .

【例53】已知 z1 ? x2 ? i x2 ? 1 , z2 ? ( x2 ? a)i ,对于任意 x ? R ,均有 z1 ? z2 成立,试求实数 a 的 取值范围.

【例54】关于 x 的方程 x2 ? (2a ? i) x ? ai ? 1 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围.

【例55】设方程 x2 ? 2 x ? k ? 0 的根分别为 ? , ? ,且 ? ? ? ? 2 2 ,求实数 k 的值.

n ? N? . 【例56】用数学归纳法证明: (cos? ? isin ? )n ? cos(n? ) ? isin(n? ),

并证明 (cos? ? isin ? )?1 ? cos? ? isin ? ,从而 (cos? ? isin ? )?n ? cos(n? ) ? isin(n? ) .

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7

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【例57】若 cos ? ? i sin ? 是方程 xn ? a1 xn?1 ? a2 xn?2 ? 求证: a1 sin ? ? a2 sin 2? ?
? an sin n? ? 0 . a2 , , an ? R )的解, ? an?1 x ? an ? 0 ( a1 ,

【例58】已知

z 是纯虚数,求 z 在复平面内对应点的轨迹. z ?1

【例59】设复数 z1 , z 2 满足 z1 ? z2 ? A ? z1 ? A ? z2 ? 0 ,其中 A ? 5 ,求 z1 ? A ? z2 ? A 的值.

【例60】设复数 z 满足 z ? 2 ,求 z2 ? z ? 4 的最值.

【例61】若 f ( z) ? 2z ? z ? 3i , f ( z ? i) ? 6 ? 3i ,试求 f (? z ) .

【例62】已知虚数 ? 为 1 的一个立方根, 即满足 ? 3 ? 1 ,且 ? 对应的点在第二象限,证明 ? ? ? 2 ,
1? ? 并求 ? 2 ? 3 与 的值. ? ? ? 1? ?

1

1

1

2

【例63】若 a0 ? a1? ? a2? 2 ? a3?3 ? 求证: a0 ? a3 ? a6 ?

1 3 a0 , a1 , a2 , , a2 n ? R , ??? ? i) ? a2n? 2n ? 0 ( n ? N ? , , 2 2

? a1 ? a4 ? a7 ?

? a2 ? a5 ? a8 ?

1 【例64】设 z 是虚数, w ? z ? 是实数,且 ?1 ? w ? 2 . z

⑴ 求 z 的值及 z 的实部的取值范围; ⑵ 设u ?
1? z ,求证: u 为纯虚数; 1? z

⑶ 求 w ? u 2 的最小值.

8

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【例65】对任意一个非零复数 z ,定义集合 M z ? {w | w ? z 2n?1 , n ? N} . ⑴ 设 ? 是方程 x ?
1 ? 2 的一个根,试用列举法表示集合 M ? ; x

⑵ 设复数 ? ? M z ,求证: M ? ? M z .

y, x? , y ? 均为实数, i 为虚数 【例66】已知复数 z0 ? 1 ? mi(m ? 0) , z ? x ? yi 和 w ? x? ? y?i ,其中 x ,



位,且对于任意复数 z ,有 w ? z0 ? z , w ? 2 z . ⑴ 试求 m 的值,并分别写出 x ? 和 y ? 用 x , y 表示的关系式;
y) 作为点 P 的坐标, ( x? , y ?) 作为点 Q 的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上 ⑵ 将 (x ,



的一个变换:它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q . 当点 P 在直线 y ? x ? 1 上移动时,试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程; ⑶ 是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 ?若存在,

试求

出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

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