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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷 六


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷六
一、选择题(36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay2=ab 的图形是

y<

br />
y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 16 (A) 3 8 (B) 3 16 (C) 3 3 (D) 8 3

5? 2? ? ? ? 4.若 x∈[-12 ,-3 ],则 y=tan(x+ 3 )-tan(x+6 )+cos(x+6 )的最大值是 12 (A) 5 2 11 (B) 6 2 11 (C) 6 3 12 (D) 5 3

4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= + 的最小值是 4-x2 9-y2 8 (A) 5 24 (B) 11 (C) 12 7 (D) 12 5

6.在四面体 ABCD 中, 设 AB=1,CD= 3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为3,则四 面体 ABCD 的体积等于 3 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 3 3 (D) 3 .

?

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是
2 2

x y 8.设 F1、F2 是椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ PF1F2 的面积等于 . 2 9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, - B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 .

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3 5 10. 已知 a, c, 均为正整数, logab=2, cd=4, a-c=9, b-d= b, d 且 log 若 则



11. 将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内, 并使得每个球都和其相邻的四 个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 . 12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.-|ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1),an=1}, a1a2…an Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim T =
n→∞ n



三、 (20 分) 3 13.设2≤x≤5,证明不等式 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19.

四、(20 分) 1 14.设 A、B、C 分别是复数 Z0=ai,Z1=2+bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不 共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.

五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆 周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所 有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷六
参考答案
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2 解:45 =2025,46 =2116. 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个,而 2026 至 2115 之间没有完全平方数.故 1 至 2025 中共有新数列中的 2025-45=1980 项.还缺 2003-1980=23 项.由 2025+23=2048.知 选 C. 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

x2 y2 解:曲线方程为 a + b =1,直线方程为 y=ax+b. 由直线图形,可知 A、C 中的 a<0,A 图的 b>0,C 图的 b<0,与 A、C 中曲线为椭圆矛 盾. 由直线图形,可知 B、D 中的 a>0,b<0,则曲线为焦点在 x 轴上的双曲线,故选 B. 3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 16 (A) 3 8 (B) 3 16 (C) 3 3 (D) 8 3

p 4 解:抛物线的焦点为原点(0,0),弦 AB 所在直线方程为 y= 3x,弦的中点在 y=k= 上, 3 4 4 3 4 4 16 即 AB 中点为(3, ),中垂线方程为 y=- 3 (x-3)+ ,令 y=0,得点 P 的坐标为 3 . 3 3 16 ∴ PF= 3 .选 A. 5? 2? ? ? ? 4.若 x∈[-12 ,-3],则 y=tan(x+ 3 )-tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是 12 (A) 5 2 11 (B) 6 2 11 (C) 6 3 12 (D) 5 3

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2? ? 5? ? ? ? ? 解:令 x+6=u,则 x+ 3 =u+2,当 x∈[-12,-3]时,u∈[-4,-6], 2 ? ? y=-(cotu+tanu)+cosu=-sin2u+cosu.在 u∈[-4,-6]时,sin2u 与 cosu 都单调递增, 11 ? 从而 y 单调递增.于是 u=-6时,y 取得最大值 6 3,故选 C. 4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= 的最小值是 2+ 4-x 9-y2 8 (A) 5 24 (B) 11 (C) 12 7 (D) 12 5

1 1 解:由 x,y∈(-2,2),xy=-1 知,x∈(-2,-2)∪(2,2), u= 4 9x2 -9x4+72x2-4 = =1+ 2+ 2 4-x 9x -1 -9x4+37x2-4 4 . 37-(9x2+x2) 35

1 1 1 4 2 当 x∈(-2,-2)∪(2,2)时,x2∈(4,4),此时,9x2+x2≥12.(当且仅当 x2=3时等号成 立). 12 此时函数的最小值为 5 ,故选 D. 6.在四面体 ABCD 中, 设 AB=1,CD= 3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为3,则四 面体 ABCD 的体积等于 3 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 3 3 (D) 3
M D N B C A

?

π 解:如图,把四面体补成平行六面体,则此平行六面体的体积=1× 3×sin3×2=3. 1 1 而四面体 ABCD 的体积=6×平行六面体体积=2.故选 B. 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是 解:即|x|3-2|x|2-4|x|+3<0,?(|x|-3)(|x|- 或 5-1 2 <|x|<3. ∴ 解为(-3,- 5-1 5-1 2 )∪( 2 ,3). . 5-1 5+1 5+1 )(|x|+ 2 )<0.?|x|<- 2 , 2

x2 y2 8.设 F1、F2 是椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ PF1F2 的面积等于 . 解:F1(- 5,0),F2( 5,0);|F1F2|=2 5.

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|PF1|+|PF2|=6, ?|PF1|=4,|PF2|=2. 由于 42+22=(2 5)2.故?PF1F2 是直角三角形 5 5. ∴ S=4. 9.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R}, - B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . 解:A=(1,3); 1 x2+5 - 又,a≤-21 x∈(-1,-4),当 x∈(1,3)时,a≥ 2x -7∈( 5-7,-4). ∴ -4≤a≤-1. 3 5 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 logab=2,logcd=4,若 a-c=9,则 b-d= 解:a3=b2,c5=d4,设 a=x2,b=x3;c=y4,d=y5,x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9. ∴ x+y2=9,x-y2=1,x=5,y2=4.b-d=53-25=125-32=93. 11.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和 其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等 于 . 解:如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心 与其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面 ABCD 上的射影是一个正方形.是把正 方形 ABCD 绕其中心旋转 45?而得.设 E 的射影为 N,则 MN= 2-1.EM= 3,故 EN2=3-( 2-1)2=2 2.∴ EN= 8.所求圆柱的高
4

H E F D N A M B G

C

=2+ 8. 12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.-|ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1),an=1}, a1a2…an Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim T =
n→∞ n


4



解:由于 a1,a2,…,an-1 中的每一个都可以取 0 与 1 两个数,Tn=2n 1. - 在每一位(从第一位到第 n-1 位)小数上,数字 0 与 1 各出现 2n 2 次.第 n 位则 1 出现 - 2n 1 次. - - - ∴ Sn=2n 2?0.11…1+2n 2?10 n. Sn 1 1 1 ∴ lim T =2?9=18. n→∞ n 三、 (本题满分 20 分) 3 13.设2≤x≤5,证明不等式 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19. 3 解:x+1≥0,2x-3≥0,15-3x≥0.?2≤x≤5.

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由平均不等式

x+1+ x+1+ 2x-3+ 15-3x ≤ 4

x+1+x+1+2x-3+15-3x ≤ 4

14+x 4 .

∴ 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x= x+1+ x+1+ 2x-3+ 15-3x≤2 14+x. 3 但 2 14+x在2≤x≤5 时单调增.即 2 14+x≤2 14+5=2 19. 故证. 四、(本题满分 20 分) 1 14.设 A、B、C 分别是复数 Z0=ai,Z1=2+bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不 共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 解 : 曲 线 方 程 为 : Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t) ∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2 即 y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1). ① 若 a-2b+c=0,则 Z0、Z1、Z2 三点共线,与已知矛盾,故 a-2b+c?0.于是此曲线为轴 与 x 轴垂直的抛物线. 1 1 3 1 AB 中点 M:4+2(a+b)i,BC 中点 N:4+2(b+c)i. 1 1 3 1 与 AC 平行的中位线经过 M(4,2(a+b))及 N(4,2(b+c))两点,其方程为 1 3 4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(4≤x≤4). 令 4(a-2b+c)x2+8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c. 即 4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由 a-2b+c?0,得 4x2+4x+1=0, 1 3 此方程在[4,4]内有惟一解: 1 以 x=2代入②得, 1 1 ∴ 所求公共点坐标为(2,4(a+2b+c)). 五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆 周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所 有点时,求所有折痕所在直线上点的集合. M S D 解:对于⊙O 上任意一点 A?,连 AA?,作 AA?的垂直平分线 MN, 连 OA?.交 MN 于点 P.显然 OP+PA=OA?=R.由于点 A 在⊙O 内,故 S'
Q A' P O A N



1 x=2. 1 y=4(a+2b+c).

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OA=a<R.从而当点 A?取遍圆周上所有点时,点 P 的轨迹是以 O、A 为焦点,OA=a 为焦距, R(R>a)为长轴的椭圆 C. 而 MN 上任一异于 P 的点 Q,都有 OQ+QA=OQ+QA?>OA?.故点 Q 在椭圆 C 外.即折痕 上所有的点都在椭圆 C 上及 C 外. 反之,对于椭圆 C 上或外的一点 S,以 S 为圆心,SA 为半径作圆,交⊙O 于 A?,则 S 在 AA?的垂直平分线上,从而 S 在某条折痕上. 最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交. 1? 当 S 在⊙O 外时,由于 A 在⊙O 内,故⊙S 与⊙O 必相交; 2? 当 S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内,但在椭圆 C 外或其上的点 S?),取过 S?的半径 OD, 则由点 S?在椭圆 C 外,故 OS?+S?A≥R(椭圆的长轴).即 S?A≥S?D.于是 D 在⊙S?内或上,即 ⊙S?与⊙O 必有交点. 于是上述证明成立. 综上可知,折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合.

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