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算法案例教学设计


算法案例教学设计
秦九韶算法 浙江省黄岩中学 一、 教材分析
本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学 3 必修本(A 版) 》第一章 1.3 算 法案例。算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础。在现代社 会中,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具。从数学发展的历史看,算法并 不是一个全新的概念, 中国古代数学中蕴涵着许多

丰富的算法内容和思想, 秦九韶算法是一 个经典的算法, 这节课是在学习了算法与程序框图, 基本算法语句之后作为上述知识的一个 应用,通过选用中国古代的一个著名算法,既巩固和深化前面所学的知识与技能,又激发学 生的爱国主义精神和民族自豪感。

二、

学情分析

学生在学习本节之前已经学习了算法与程序框图,基本算法语句,并且学生通过信息技 术课的学习, 初步掌握了运用计算机的能力, 由于学生对多项式函数的概念理解有较好的基 础,这为学习算法案例提供较好的能力基础。但是由于算法是高中数学中较新的内容,学生 在理解算法上存在一定的困难, 因此教学中应重视学生思想方法的培养和训练, 从问题解决 的观点去分析教材和组织教学,引导学生观察、分析、思考和解决问题。

三、

教学目标设计

1. 知识与技能:初步体会算法的思想,会简单分析算法的数学原理,会根据算法绘制 程序框图,发现算法中循环结构的特点。 2. 过程与方法:以算法的优劣作为突破口,引导学生探索发现较优算法,掌握算法的 基本思想,体会算法在数学中无处不在以及如何实现算法的基本方法 3. 情感态度价值观:以实践活动作为教学的基点,体会算法的时代特点。了解中国古 代数学的辉煌成就,激发爱国热情。

四、

教学的重点、难点分析

1. 重点是理解秦九韶算法的思想; 2. 难点是将算法思想转化成算法步骤,循环结构的使用。

五、

教学的策略:

任务驱动和探究活动

六、

教学过程设计

【模块一】 :问题引入、创设情景 引言:解决任何一个问题,都有一定的方法与步骤。在数学中解决问题的方法与步骤称 为算法。 对于一个数学问题如何设计合理的算法?算法的设法有什么要求?这是数学问题解 决中的重要环节。一般说来,算法的设计分为两部分,第一是寻找解决该问题的数学方法; 第二是描述实现这个方法的步骤。 而一个好的解决方法成为算法优劣的重要标志。 著名数学 家华罗庚就“烧水沏茶”问题设计了两个算法: (教师展示)算法一: 第一步:烧水; 第二步:水烧开后,洗刷茶具; 第三步:沏茶。 算法二: 第一步:烧水; 第二步:烧水过程中,洗刷茶具; 第三步:水烧开后沏茶。 算法一框图:
开始

算法二框图:
开始

烧水

烧水

否 水是否烧开?

洗刷茶具



是 洗刷茶具

水是否烧开?



沏茶

沏茶

结束

结束

[设计思想:体会算法的优劣,了解解决同一问题的不同方法可以产生不同的算法] 让学生讨论, 这两个算法的区别在哪里?教师分析这两个算法的区别在于什么时间洗刷茶

具。教师随后提出哪个算法有更高的效率?为什么?由学生回答。 教师分析:第二个算法的好处在于时间,因而有更高的效率。一个好的算法应该有一个好 的指导思想。 一般地, 我们判断一个算法的优劣可以从这个算法的高效性和通用性等方面考 虑。 【模块二】 :问题探究,引导发现 教师提出问题,设计求多项式 f ( x) ? 2 x 5 ? 5x 4 ? 4x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 7 ,当 x=5 时的值的 算法,并写出程序。 [设计思想:任务驱动] 提出一般的解决方案: x=5 f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7 PRINT “f=” ;f END 教师分析:这种方法的优点是简单,易懂。但从算法角度看,这不是一个好算法。为什 么呢?首先它不通用, 它不能解决任意多项式的求值问题, 每做一个具体问题都要重新设计 一个算法;其次算法的效率不高,这个算法一共做了 15 次乘法运算,5 次加法运算。 提出问题:有没有比这高效的算法? 让学生思考并分析:在计算自变量 x 的幂的时候,我们可以利用前面的计算结果,以减 少计算量。如先计算 x2,然后依次计算 x2·x ,(x2·x)·x,((x2·x)·x)·x 的值,这样我 们就可以减少运算量,这个算法一共做了 10 次乘法,5 次加法。 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算的效率,对于 计算机来说做一次乘法的运算时间比做一次加法运算要长得多, 第二种做法自然能更快地得 到结果。 教师再进一步提出:对于这个问题能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问 题? [设计思想:进一步深化问题,从规律上探索问题的解决方法] 先来分析多项式变形的过程: (展示课件) f ( x) ? 2 x ? 5x ? 4x ? 3x ? 6x ? 7
5 4 3 2

= (2 x ? 5x ? 4 x ? 3x ? 6) x ? 7
4 3 2

= ((2 x 3 ? 5x 2 ? 4 x ? 3) x ? 6) x ? 7 = (((2x 2 ? 5x ? 4) x ? 3) x ? 6) x ? 7 = ((((2 x ? 5) x ? 4) x ? 3) x ? 6) x ? 7 。 教师提问:变形后的式子有什么特点?特别是自变量 x 的系数有什么规律? [设计思想:培养学生观察问题的能力] 分析:原多项式自变量 x 的系数是 2,-5,-4,3,-6,7;变形后自变量 x 的系 数分别为 2,2x-5,(2x-5)x-4,((2x-5)x-4)x+3,(((2x-5)x-4)x+3)x-6。 教师提问:此时,若将 x 的值代入变形后的最后一式,那么求值的计算过程是怎样的? [设计思想:引导学生发现规律,归纳总结] 教师: (展示课件)计算的过程我们可以列表表示:

原多项式 2 x 系数 10 变换后 x 2 的系数 最后的系数 2677 即为所求的值。 归纳:从表上看,每一级运算都是将前一项系数乘以 x 的值再加上后一项系数,将此系 数继续乘以 x 的值再加上新的后一项系数,其和再作为新的前一项系数,依次类推,直至最 后一项为止。该系数即为所求的多项式的值。 教师介绍:这种算法称为“秦九韶算法” 。秦九韶(――约公元 1202-1261 年) ,字古 道,四川省安岳县人,南宋杰出数学家。淳祐七年(1247 年)撰成《数书九章》 (又名《数 学九章》 )18 卷,对“大衍求一术” (整数论中的一次同余式解法)和“正负开方术” (高次 方程的数值解法)的研究,取得卓越的成果,比西方数学家欧拉、高斯以及霍纳等人所取得 的同样成果早 500 多年。 教师提出问题: 秦九韶算法的计算效率如何?用秦九韶算法求多项式的值, 与多项式的 组成有直接关系吗? 分析:秦九韶算法计算该问题共做了 5 次乘法,5 次加法,效率明显提高。在求值的过 5 21 108 534 2677 ×5 25 105 540 2670 + -5 -4 3 -6 7 运算

程中,计算只与多项式的系数有关。 教师分析:从这两点看,秦九韶算法符合好算法的两个标准即高效性和通用性,直到今 天这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。 [设计思想:介绍中国古代杰出的数学成就,激发民族自豪感] 【模块三】 :数学建模,探求一般规律 教师提出问题:对于秦九韶算法,核心是将多项式进行变形,那么对于一般的多项式:

f ( x) ? an x n ? an?1 x n ? ? ? a1 x ? a0 ,如何按上面的方式将其变形?
分析(可由学生自主完成) :可以按下面方式改写: f ( x) ? an x n ? an?1 x n ? ? ? a1 x ? a0 = (an x n?1 ? an?1 x n?2 ? ? ? a1 ) x ? a0 = ((an x n?1 ? an?1 x n?2 ? ? ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 = (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0 教师分析:对于这种变形我们首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外 逐层计算一次多项式的值, n 次多项式的求值转化成求 n 个一次多项式的值。 将 整个计算过 程形成了一个数列: v1 ? an x ? an?1 ;

v2 ? v1 x ? an?2 ; v3 ? v2 x ? an?3 ;
??????

vn ? vn?1 x ? a0 。
这种数列各项的计算具有很强的规律性,是一种重复计算的过程,适合用计算机来计 算。 【模块四】 :描述算法,设计步骤体现算法思想 教师分析:有了好的算法以后,我们就要设计解题步骤去实现算法。观察秦九韶算法 的数学模型,计算 vk 时要用到 v k ?1 的值。若令 v0 ? an ,我们可以得到下面的递归算法:

?v0 ? a n ? ?vk ? vk ?1 x ? a n ?k
以用循环结构来实现。

(k ? 1,2,?, n)

。 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤, 可

课件演示: (以 5 次多项式为例)

开始

开始

原多项式按降幂排列

输入f(x)的系数: a0、a1、a2、a4、a5

给出x的值
输入x0

取出第一项系数f
n=1

没有 有下一个系数吗?
v=a5


n=n+1

取出下一个系数a
v=v*x0+a5-n

将前一项系数f乘以x值再加上后 一项系数a,其和设为新系数f
n≤5

输出f
输出v

结束
结束

教师提出要求学生根据算法框图,计算用秦九韶算法求 n 次多项式

f ( x) ? an x n ? an?1 x n ? ? ? a1 x ? a0 当 x=x0(x0 是任意实数)时,需要多少次乘法运算,
多少次加法运算? 分析:共需要 n 次乘法运算,n 次加法运算。 [设计思想:了解计算机算法的基本原理,掌握循环结构的使用] 要求学生根据算法框图编写一个程序,验证上面多项式值的计算。 CLS DIM a(100) INPUT "输入多项式次数 n=";n FOR i = n TO 0 STEP -1

PRINT "输入第" + STR$(i) + "系数" INPUT a(i) CLS NEXT i INPUT "输入自变量的值 x="; x v = a(n) FOR i = n - 1 TO 0 STEP -1 v = v * x + a(i) NEXT i PRINT "多项式的值 f="; v END 可以利用计算机或可编程计算器(如 TI 图形计算器)验证结果,并进行多项式求值的 计算。

五、后记
在数学学习过程中结合具体数学实例引入算法的基本思想,特别是以中国古代数学方 法作为切入点,是中学数学教材的一大突破。学习算法思想以及算法的有效性和重要性,对 发展学生的思考与表达能力, 提高学生的逻辑思维能力都是极好的素材。 在教学设计中强调 发挥学生在学习过程中的主动性、 积极性和创造性, 学生被看成知识建构过程的积极参与者, 学习的许多目标和任务都要学生主动、有目的地来实现。教师应充当教学过程的组织者、指 导者和促进者,教师的主导作用可以使教学过程更加优化。


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