当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第九章 9.8


数学

北(理)

§9.8 曲线与方程
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 .

(2)以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上 .那么这个 方程叫作 曲线的方程 ,这条曲线叫作 方程的曲线 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等 将其转化为 x,y 的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知, 两条曲线交点的坐标应该是 两个曲线方程的公共解, 即两个曲线方程组成的方程组 的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几 个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的 方程组有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由 它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) ×

解析

C D
y2=x


基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知两个定圆 O1 和

O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立 适当的坐标系, 求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是何 种曲线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知两个定圆 O1 和

O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 利用两圆内、外切的充要条件找
结合双 内切,又与圆 O2 外切,建立 出点 M 满足的几何条件,

适当的坐标系, 求动圆圆心 M 曲线的定义求解. 的轨迹方程, 并说明轨迹是何 种曲线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知两个定圆 O1 和

O2, 它们的半径分别是 1 和 2,



如图所示,

以 O1O2 的中点 O 为

且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 原点,O1O2 所在 内切,又与圆 O2 外切,建立 直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 适当的坐标系, 求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是何 种曲线.
设动圆 M 的半径为 r,
则由动圆 M 与圆 O1 内切, 有|MO1|=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切, 有|MO2|=r+2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

由|O1O2|=4,得 O1(-2,0)、O2(2,0).

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知两个定圆 O1 和

O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立

∴|MO2|-|MO1|=3.
∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点, 实轴长为 3 的双曲线的左支.

3 7 2 2 2 ∴a=2,c=2,∴b =c -a =4. 适当的坐标系, 求动圆圆心 M

的轨迹方程, 并说明轨迹是何 种曲线.

4x2 4y2 ∴点 M 的轨迹方程为 - =1 9 7 3 (x≤- ). 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知两个定圆 O1 和

O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 求曲线的轨迹方程时,应尽量地 且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 利用几何条件探求轨迹的曲线类 内切,又与圆 O2 外切,建立 型,从而再用待定系数法求出轨 适当的坐标系, 求动圆圆心 M 迹的方程, 这样可以减少运算量, 的轨迹方程, 并说明轨迹是何 提高解题速度与质量. 种曲线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知点
?1 ? F?4,0?, 直线 ? ?

1 l: x=- , 点 B 是 l 上的动点. 若 4 ( D )

过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线

解析 由已知得,|MF|=|MB|.

由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛 物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值),C 为抛物线上任意 一点,求△ABC 的重心的轨 迹方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛 物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值),C 为抛物线上任意 一点,求△ABC 的重心的轨 迹方程. 设△ABC 的重心坐标为 G(x, y ), 利用重心坐标公式建立 x, y 与△ABC 的顶点 C 的关系,再 将点 C 的坐标(用 x,y 表示)代 入抛物线方程即得所求.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛 解 设△ABC 的 物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 重心为 G(x,y), 为定值),C 为抛物线上任意 点 C 的坐标为 C(x0,y0), 一点,求△ABC 的重心的轨 迹方程.
A(x1,y1),B(x2,y2).
? ?x-y=4a, 由方程组:? 2 ? ?y =4ax

消去 y 并整理得:x2-12ax+16a2=0.

∴x1+x2=12a,
y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a) =(x1+x2)-8a=4a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛 由于 G(x,y)为△ABC 的重心, 物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a ? ? x0+x1+x2 x0+12a
x= = 3 , 3 ? 为定值),C 为抛物线上任意 ∴? ? y0+y1+y2 y0+4a y= = 3 , ? 3 ? 一点,求△ABC 的重心的轨 ? ?x0=3x-12a, 迹方程. ∴? ? ?y0=3y-4a.

又点 C(x0,y0)在抛物线上,
∴将点 C 的坐标代入抛物线的方程 得:(3y-4a)2=4a(3x-12a),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛
4a 2 4a 物线 y =4ax 交于两点 A, B(a 即(y- 3 ) = 3 (x-4a).
2

为定值),C 为抛物线上任意 一点,求△ABC 的重心的轨 迹方程.

又点 C 与 A,B 不重合, ∴x≠(6± 2 5)a,

∴△ABC 的重心的轨迹方程为 4a 2 4a (y- ) = (x-4a) 3 3 (x≠(6± 2 5)a).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与抛 “相关点法”的基本步骤: 物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a (1)设点:设被动点坐标为(x,y),主 为定值),C 为抛物线上任意 动点坐标为(x1,y1); 一点,求△ABC 的重心的轨 (2)求关系式:求出两个动点坐标之 迹方程.
? ?x1=f?x,y?, 间的关系式? ? ?y1=g?x,y?;

(3)代换:将上述关系式代入已知曲 线方程, 便可得到所求动点的轨迹方 程.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
→ → 跟踪训练 2 设 F(1,0), M 点在 x 轴上, P 点在 y 轴上, 且MN=2MP, → → PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程.
设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), → ⊥PF → ,PM → =(x ,-y ),PF → =(1,-y ), ∵PM 0 0 0
2 ∴(x0,-y0)· (1,-y0)=0,∴x0+y0 =0. → =2MP → 得(x-x ,y)=2(-x ,y ), 由MN 0 0 0



? ?x-x0=-2x0 ∴? ? ?y=2y0

y2 ∴-x+ 4 =0,即 y2=4x. 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

x =-x ? ? 0 ,即? . 1 y= y ? ? 0 2

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明: 直线 l 过定点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 (1) 利用曲线的求法求解轨迹方 MN 的长为 8.

程,但要注意结合图形寻求等量

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 关系; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于

(2)设出直线方程,结合直线与圆

x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 锥曲线的位置关系转化为方程的 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 根与系数的关系求解,要特别注 的角平分线,证明: 直线 l 过定点. 意判别式与位置关系的联系.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

(1)解

如图, 设动圆圆

心为 O1(x, y), 由题意, 得|O1A|=|O1M|,

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥ (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明: 直线 l 过定点.
基础知识 题型分类

∴|O1M|= x2+42,

又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合, 点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程

y2=8x, 2 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)证明 由题意, (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 设直线 l 的方程为 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 y=kx+b(k≠0),

的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ P(x1,y1),Q(x2,y2), 的角平分线,证明: 直线 l 过定点.
基础知识 题型分类

将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ

其中 Δ=-32kb+64>0.
由根与系数的关系得, 8-2bk x1+x2= k2 , ① b2 x1x2=k2 , ② 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 所以 =- , x1+1 x2+1

的角平分线,证明: 直线 l 过定点.
基础知识 题型分类

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 2kx x +(b+k)(x +x )+2b=0 ③ 1 2 1 2 MN 的长为 8.
将①,②代入③得

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明: 直线 l 过定点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

∴k=-b,此时 Δ>0,
∴直线 l 的方程为 y=k(x-1), 即直线 l 过定点(1,0).

题型分类·深度剖析
题型三
【 例 3】

直接法求轨迹方程
(2013· 陕西)已知动圆过
思维启迪 解析 思维升华

定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 直接法求曲线方程时最关键的就是 把几何条件或等量关系翻译为代数 MN 的长为 8. 方程,要注意翻译的等价性.通常 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 将步骤简记为建系设点、列式、代 (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 换、化简、证明这五个步骤,但最 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 后的证明可以省略.如果给出了直 角坐标系则可省去建系这一步.求 的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 出曲线的方程后还需注意检验方程 的角平分线,证明: 直线 l 过定点. 的纯粹性和完备性.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直 线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.
解 设点 M 的坐标为(x,y),
∵M 是线段 AB 的中点,

∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y).
→ =(2x-2,-4),PB → =(-2,2y-4). ∴PA
→· → =0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 由已知PA PB

即 x+2y-5=0.

∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下, 分类标准的确立有两点:一是二次项系数分别为 0 时的参数值,二是二 次项系数相等时的参数值,然后确定分类标准进行讨论,讨论时注意表 述准确.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒



(1)因为抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),
2分

所以(-2 2)2=4p,解得 p=2.

所以抛物线的方程为 y2=4x,其焦点为 F(1,0),
即椭圆的右焦点为 F(1,0),得 c=1. 1 又椭圆的离心率为2,所以 a=2,可得 b2=4-1=3,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 Q(x,y),其中 x∈[ -2,2] ,设 P(x,y0), x2 y2 0 因为 P 为椭圆上一点,所以 4 + 3 =1, 3 2 |OP| |OP|2 2 解得 y0=3-4x .由|OQ|=λ 可得|OQ|2=λ2,
基础知识 题型分类 思想方法

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒 3 x2+3- x2 4 故 =λ2. 2 2 x +y 1 9分 得(λ2- )x2+λ2y2=3,x∈[ -2,2] . 4 1 1 当 λ2=4,即 λ=2时,

得 y2=12,点 Q 的轨迹方程为 y=± 2 3,x∈[ -2,2] ,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

此轨迹是两条平行于 x 轴的线段; x2 3 1 y2 2 1 当 λ < ,即 0<λ< 时,得到 + =1, 4 2 1 3 λ2- 4 λ2 此轨迹表示实轴在 y 轴上的双曲线满足 x∈[ -2,2] 的部分;
基础知识 题型分类 思想方法

11分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

1 2 1 当 λ > ,即 λ> 时,得到 4 2

y2 + =1, 1 3 2 λ- 4 λ2
12分

x2 3

此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x∈[ -2,2] 的部分.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列17 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2 2 x y 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹. 规 范 解 答 思 维 启 迪 温 馨 提 醒

此题求轨迹既有直接法,又有相关点法.求出轨迹方程后,容易忽略 x 的范 围,导致轨迹图形出错.

备考建议:(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.
(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.
(3)除此之外,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

求轨迹的常用方法

方 法 与 技 巧

(1)直接法: 如果动点满足的几何条件本身就是一些 几何量(如距离与角)的等量关系,或这些几何条件 简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程 ——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确 定其待定系数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
(3)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直 线或圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程, 求方程系数得到动点的轨迹方程. (4)代入法(相关点法): 当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之为相关点)而 运动.如果相关点 P 所满足某一曲线方程,这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标, 再把相关点代 入曲线方程, 就把相关点所满足的方程转化为动点 的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫作相关点法或代 入法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高

1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一

失 误 与 防 范

一对应关系.检验可从以下两个方面进行:一是方 程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实 际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时, 应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、 位置、大小等.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的解” 是正确的,则下列命题中正确的是 A.满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 B.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 C.方程 f(x,y)=0 所表示的曲线不一定是 C D.以上说法都正确
解析 曲线 C 可能只是方程 f(x,y)=0 所表示的曲线上的某一

( C )

小段,因此只有 C 正确.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 A.抛物线
解析

( A ) B.双曲线 C.椭圆 D.圆

设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r.

由两圆外切可得,圆心 C 到点(0,3)的距离为 r+1, 也就是说, 圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1, 故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等, 符合 抛物线的特征,

故点 C 的轨迹为抛物线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且 |PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 A.y2=2x C.y2=-2x B.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=2 ( D )

解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2,
∴P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在 直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 ( C ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - = 1 9 16 16 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 (x>3) D. - =1 (x>4) 9 16 16 9

解析 如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6.

根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 x2 y2 6 的双曲线的右支,方程为 9 -16=1 (x>3).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B, 若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹为 A.直线
解析

( D ) D.双曲线

B.圆

C.椭圆

设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R,

由于△ABP 为正三角形, 3 3 ∴P 到 y 轴的距离 d= 2 R, 即|x|= 2 R. 3 2 2 而 R=|PF|= ?x-a? +y ,∴|x|= · ?x-a?2+y2. 2 2 2 ? x + 3 a ? y 整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即 12a2 -4a2=1. ∴点 P 的轨迹为双曲线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.设 P 是圆 x2+y2=100 上的动点,点 A(8,0),线段 AP 的垂 椭圆 . 直平分线交半径 OP 于 M 点,则点 M 的轨迹为_______

解析 如图,设 M(x,y),由于 l 是 AP 的垂直 平分线,于是|AM|=|PM|, 又由于 10=|OP|=|OM|+|MP| =|OM|+|MA|,
即|OM|+|MA|=10,也就是说,动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 ) 的距离之和是 10, 故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点,中心在(4,0),
长半轴长是 5 的椭圆.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|
2 2 ( x - 10) + y =36(y≠0) . =3,则顶点 A 的轨迹方程为______________________

x y 解析 设 A(x,y),则 D( , ), 2 2
∴|CD|=
2 x y ? -5?2+ =3, 2 4

化简得(x-10)2+y2=36, 由于 A、B、C 三点构成三角形,

∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 8. P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标 a b x2 y2 → =PF → +PF → ,则动点 Q 的轨迹方程是____________ 4a2+4b2=1 . 原点,OQ
1 2

解析

→ → → 由于OQ=PF1+PF2,

→ → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, 1→ x y → 设 Q(x,y),则OP=- OQ=(- ,- ), 2 2 2 x y 即 P 点坐标为(- ,- ), 2 2 x2 y2 ?-2? ?-2? x2 y2 即 2+ 2=1. 又 P 在椭圆上,则有 2 + 2 =1 上, 4a 4b a b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3
2

A组
4
2

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3 9.已知曲线 E:ax +by =1(a>0,b>0),经过点 M( ,0)的 3 → → 直线 l 与曲线 E 交于点 A,B,且MB=-2MA.若点 B 的坐 标为(0,2),求曲线 E 的方程.
3 解 设 A(x0,y0),∵B(0,2),M( ,0), 3 3 3 → → 故MB=(- ,2),MA=(x0- ,y0). 3 3 3 3 → → 由于MB=-2MA,∴(- 3 ,2)=-2(x0- 3 ,y0). 3 3 ∴x0= ,y0=-1,即 A( ,-1). 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3
2

A组
4
2

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3 9.已知曲线 E:ax +by =1(a>0,b>0),经过点 M( ,0)的 3 → → 直线 l 与曲线 E 交于点 A,B,且MB=-2MA.若点 B 的坐 标为(0,2),求曲线 E 的方程.
∵A,B 都在曲线 E 上,

02+b· 22=1 ?a· ? ∴? , 32 2 a· ? ? +b· ?-1? =1 ? ? 2 a=1 ? 2 ? y 解得? 1 .∴曲线 E 的方程为 x2+ =1. 4 b= ? ? 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知点 P 是圆 O:x2+y2=9 上的任意一点,过 P 作 2→ → PD 垂直 x 轴于 D,动点 Q 满足DQ= DP. 3 (1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E(1,1),在动点 Q 的轨迹上是否存在两个 1 → → → )(O 是坐标原 不重合的点 M、N,使OE= (OM+ON 2 点).若存在,求出直线 MN 的方程;若不存在,请 说明理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10



(1)设 P(x0,y0),Q(x,y),依题意,

则点 D 的坐标为 D(x0,0), → =(x-x ,y),DP → =(0,y ), ∴DQ 0 0
x-x0=0 x0=x ? ? ? ? 2→ → 又DQ=3DP,∴? 2 ,即? 3 . y=3y0 y0=2y ? ? ? ?
2 2 x y 2 ∵P 在圆 O 上,故 x2 0+y0=9,∴ + =1. 9 4

x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 + =1. 9 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 (2)存在. 假设椭圆 + =1 上存在两个不重合的点 M(x1, y1), 9 4 1 → → → ), N(x2,y2)满足OE= (OM+ON 2
则 E(1,1)是线段 MN 的中点,

? ?x1+x2=1 ? 2 且有? ?y1+y2 =1 ? 2 ?

? ?x1+x2=2 ,即? ? ?y1+y2=2

.

x2 y2 又 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆 + =1 上, 9 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 2 ?x1 y1 ? 9 + 4 =1 ∴? 2 2 ,两式相减, x y ? 2+ 2=1 ?9 4 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 得 + =0. 9 4 y1-y2 4 ∴kMN= =- , 9 x1-x2

∴直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0.

1 → → → ∴椭圆上存在点 M、N 满足OE=2(OM+ON), 此时直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.已知定点 P(x0,y0)不在直线 l:f(x,y)=0 上,则方程 f(x,y)- f(x0,y0)=0 表示一条 A.过点 P 且平行于 l 的直线 B.过点 P 且垂直于 l 的直线 C.不过点 P 但平行于 l 的直线 D.不过点 P 但垂直于 l 的直线
解析 由题意知 f(x0,y0)≠0,又 f(x0,y0)-f(x0,y0)=0,

( A )

∴直线 f(x,y)=0 与直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 平行,

且点 P 在直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 上.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

→= 2.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC → +λ OB → (O 为原点),其中 λ ,λ ∈R,且 λ +λ =1,则点 C 的 λ OA
1 2 1 2 1 2

轨迹是 A.直线 B.椭圆 C.圆

( A ) D.双曲线

→ =(x,y),OA → =(3,1),OB → =(-1,3), 解析 设 C(x,y),则OC
?x=3λ1-λ2 → → → ∵OC=λ1OA+λ2OB,∴? , ? y = λ + 3 λ ? 1 2 ?

又 λ1+λ2=1,

∴x+2y-5=0,表示一条直线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2 外角平 分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ( A ) D.抛物线

解析 如图,延长 F2M 交 F1P 延长线于 N.
∵|PF2|=|PN|,∴|F1N|=2a.

连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线,
1 则|OM|=2|F1N|=a.

∴M 的轨迹是圆.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点
x +y =4 (x≠± 2). P 的轨迹方程是______________
解析 设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形,
2 2

∴|MP|2+|NP|2=|MN|2,
∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.

∵M,N,P 不共线,∴x≠± 2,

∴轨迹方程为 x2+y2=4 (x≠± 2).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

5.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 1 M 在 AB 上,且 AM= AB,点 P 在平面 ABCD 上, 3 且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距 离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是
2 1 y =3x-9 . ____________
2

解析

过 P 作 PQ⊥AD 于 Q ,再过 Q 作

QH⊥A1D1 于 H,连接 PH、PM,
可证 PH⊥A1D1,设 P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1, ?? 1?2 2? 2 得 x +1-??x-3? +y ?=1, ?? ? ? 2 1 化简得 y2=3x-9.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
(1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), y 则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0=2, ①
2 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x2 0+y0=1.





2 y 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2+ 4 =1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
(2)由题意知,|t|≥1.

当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,
3 3 点 A、B 的坐标分别为(- 2 ,1),( 2 ,1),
此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R,
y=kx+t ? ? 由? 2 y2 得(4+k2)x2+2ktx+t2-4=0. x + 4 =1 ? ?
设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由③得 t2-4 2kt x1+x2=- ,x x = . 4+k2 1 2 4+k2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
|t| 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 2 =1,即 t2=k2+1, k +1
2 2

所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 2 2 2 4 ? t -4? 4 3|t| 4 k t 2 = ?1+k ?[ - ]= 2 . ?4+k2?2 4+k2 t +3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.

4 3|t| 4 3 因为|AB|= 2 = , 3 t +3 |t|+ |t| 且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2+y2=1 的半径, 1 所以△AOB 面积 S 的最大值为2×2×1=1, 此时 t=± 3,相应的点 T 的坐标为(0,- 3)或(0, 3).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


相关文章:
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第九章 解析几何_...e= = .] a 2 7.D 8.C 9.D 第 4 页共 9 页 10.A 11.D 12.C...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义...
届​高​三​数​学​北​师​大​版​(​通​用​,​理​)​总​复​习​讲​义​:​第​九​章​ ​9​....
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 9.7_数学_高中...2 ? ?b =9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 +=1,双曲线的方程为 -=...
...2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第八章...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第八章 8.7_数学_高中...9 3. (2013· 山东)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义...
届​高​三​数​学​北​师​大​版​(​通​用​,​理​)​总​复​习​讲​义​:​第​九​章​ ​9​....
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第一章 易...
2015届高三数学北师大版... 6页 免费2​0​1​5​届​高​三​数​学​北​师​大​版​(​通​用​,​理​)​总​复...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第七章 7.6_数学_高中...9 11 当 n=2 时,f(2)=,g(2)= ,所以 f(2)<g(2); 8 8 251 312...
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 2.3 函数...
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 2.3 函数的奇偶性与周期性(1)...(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=, 4 4 2 4 1 1 f(8)=-,f(9)=-...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习强化...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习强化训练+专题检测第八章 8.1_数学_高中教育_教育专区。§ 8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案...
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案1 集合的概念与运算_数学_高中教育_教育专区。第一章 学案 1 集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算 ...
更多相关标签: