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2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题


2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 注意事项: 1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超出装订线。 4.不能使用计算器。 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.若 2012 ? 2010

? 2011 ? 2013 ? 2014 ? k
2 2

?k

? 0 ?,则k ?

.

2 .函 数 f

?x? ?

? ? ? ? ? ? s in ? x ? ? ? s in ? x ? ? ? c o s x ? 3的 最 小 值 为 6 ? 6 ? ? ?

.

3 .设 f

?x? ?

bx ? 1 2x ? a

, a , b是 常 数 , 且 a b ? 2 , 若 f

?x??

?1 ? f ? ? ? k是 常 数 ,则 k ? ? x?

.

4.若 方 程 3

2x

?3

x ?1

? p 有 两 个 不 相 等 的 正 实 数 根 , 则 p的 取 值 范 围 为

.

5 .如 图 是 一 个 5 ? 5的 数 表 , a1 1 a 21 a 31 a 41 a 51 a1 2 a 22 a 32 a 42 a 52 a1 3 a 23 a 33 a 43 a 53 a1 4 a 24 a 34 a 44 a 54 a1 5 a 25 a 35 a 45 a 55

其 中 a i1 , a i 2 , a i 3 , a i 4 , a i 5 ? 1 ? i ? 5 ? 成 等 差 数 列 , a 1 j , a 2 j , a 3 j , a 4 j , a 5 j ?1 ? j ? 5 ? 成 等 比 数 列 , 每 一 列 的 公 比 都 相 等 , 且 a 2 4 ? 4 , a 4 1 ? ? 2 , a 4 3 ? 1 0 , 则 a1 1 ? a 5 5 ? .

6 .若 点 P 在 曲 线 y ?

1 2

e 上 , 点 Q 在 曲 线 y ? ln ? 2 x ? 上 , 则 P Q 的 最 小 值 为
x

.

7 .在 一 个 4 ? 4的 1 6 个 小 方 格 中 填 入 2 个 a 和 2 个 b , 每 个 小 方 格 至 多 填 一 个 字 母 , 若 相 同 的 字 母 既 不 在 同 一 行 也 不 在 同 一 列,共 有 种 排 列 方 式.

8 .在 一 个 直 角 梯 形 中 , 上 底 长 小 于 下 底 长 , 若 以 它 的 下 底 为 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 8 0 ? ,以 上 底 为 轴 旋 转 所 得 体 积 为1 1 2 ? , 以 直 角 腰 为 轴 旋 转 所 得 体 积 为1 5 6 ? , 则直角梯形周长为 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 . ? 本 小 题 1 6 分 ?已 知 椭 圆 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1, ? a ? b ? 0 ? , 点 A , B 分 别 为 椭 圆 的 左 , 右 顶 点 , 3.

P 是 椭 圆 上 异 于 A , B的 一 点 , 满 足 A P ? O A , 证 明 : 直 线 O P的 斜 率 满 足 k ?

2 . ? 本 小 题 2 0 分 ? 令 a , b , c 是 非 负 实 数 , a ? b ? c ? 3, 求 S ? ? a ? ab ? b
2 2

? ?b

2

? bc ? c

2

??c

2

? ca ? a

2

?的 最 大 值 .

3.? 本 题 满 分 20分 ? 求 所 有 函 数 f : N * ? N *, 使 得 对 任 意 x, y ? N *, 均 有

? f ? x ??

2

? y被 f

?y??

x 整除.

2


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