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1.3三角函数的诱导公式


新课标高中数学-必修四导学案
§1.3 三角函数的诱导公式 【知识要点】 三角函数的诱导公式:记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限” 角 函数 正弦 余弦 正切 【典型例题】 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α

kπ ± α”(k∈Z)的三角函数(α 当作锐角) 2 π +α 2 cos_α -sin_α -tan_α -π+α -sin_α -cos_α tan_α -π-α sin_α -cos_α -tan_α

π -α 2 cos_α sin_α tan_α

3? 3π sin(3 ? ? ? ) cos( ? ? ) cos(4? ? ? ) α- ? tan?π+α?cos?2π+α?sin? 2 ? ? 2 例 1.(1) =________. (2) =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? ? 5? tan(? ? 5? ) cos( ? ? )sin(? ? ) 2 2

例 2. (1)已知 cos(75? ? ? ) ?

1 ,且 ?180? ? ? ? ?90? ,则 cos(15? ? ? ) ________. 3 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan? -α?= ,则 tan? π+α?=________. ?6 ? 3 ?6 ? 23? 2sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ) ,( 1 ? 2sin ? ? 0 ) ,求 f ( ? 3? 6 2 2 ? 1 ? sin ? ? cos( ? ? ) ? sin ( ? ? ) 2 2

例 3:设 f ( x) ?

例 4(1)在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ABC 的三个内角.

(2)在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

例 5 已知函数 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) 且 f (4) ? 3 ,求 f (2013) 的值.

1

新课标高中数学-必修四导学案
【课堂练习】 1、对于诱导公式中的角 ? ,下列说法正确的是( A. ? 一定是锐角 C. ? 一定是正角 2、若 cos?? ? ? ? ? A. ) B.0≤ ? <2π D. ? 是使公式有意义的任意角 ) D. ?

3 5

3 ( , ? ? ? ? 2? , 则 sin ?? ? ? 2? ? 的值是 5 3 4 B. ? C. 5 5
( ) C、

4 5

3、已知 cos 31? ? a, 则 sin 239 ? tan 149 ? = A、

1? a 2 a

B、 1 ? a 2

a2 ? a a

D、 ? 1 ? a 2

4、 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于( A.sin2-cos2 5、已知 sin(

) C.±(sin2-cos2) ) D.sin2+cos2

B.cos2-sin2

3 π 3 π +α )= ,则 sin( -α )值为( 2 4 4
B. —

A.

1 2

1 2

C.

3 2


D. —

3 2

6、化简:

cos(? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) =______ sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )

7、已知

3 sin ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? 2 ,则 tan ? = 4 sin ?? ? ? ? cos?9? ? ? ?



8、已知 sin ?3? ? ? ? ?

cos(? ? ? ) cos(? ? 2? ) 1 ,求 的值. ? 4 cos ? [cos(? ? ? ) ? 1] cos(? ? 2? ) cos(? ? ? ) ? cos(?? )

9、已知 sin ? x ?

? ?

?? 1

? 7? ? ? 5? ? ? x ? ? cos 2 ? ? x ? 的值. ? ? ,求 sin ? 6? 3 ? 6 ? ? 6 ?

10、若 cos α =

2 3

,α 是第四象限角,求

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

的值.

2

新课标高中数学-必修四导学案
【巩固提高】 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α 等于( 3 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 ) 3 C. 5 ) D.- 3 2 3 D.- 5 ) 1 D. 2

π π 3 2.α∈(- , ),sin α=- ,则 cos(-α)的值为( 2 2 5 4 A.- 5 4 B. 5

sin?π-α?· cos?2π-α? 25π 3.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为( 3 cos?-π-α?· tan?π-α? 1 A. 2 1 B.- 2 ) 4 C. 5 C. 3 2

π 3 π 4.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=( 6 5 3 3 A.- 5 3 B. 5

4 D.- 5 ) 5 D.- 3 ) D.4

2 5.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A=( 3 A. 15 3 B.- 15 3 5 C. 3

π cos2x 6.当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是( 4 cos xsinx-sin2x 1 A. 4 1 B. 2 C.2 ) 1 C. 3 ) a -1 C. a ) 1 C.- 2
2

π 1 2π 7.若 sin( -α)= ,则 cos( +2α)等于( 6 3 3 7 A.- 9 1 B.- 3

7 D. 9

8.已知 cos 31° =a,则 sin 239° · tan 149° 的值是( 1-a A. a
2

B. 1-a2

D.- 1-a2

9.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α 等于( 1 A. 2 B.2

D.-2 ) 3 D± 4

π ? 3 ?π 3π? 10.已知 cos ? ?2+α?=5,且 α∈?2, 2 ?,则 tan α 等于( 4 A. 3 11. 3 B. 4 3 C.- 4 )

1+2sin?π-3?cos?π+3?化简的结果是( A.sin 3-cos 3 B.cos 3-sin 3

C.± (sin 3-cos 3) )

D.以上都不对

sin2θ+4 12.已知 =2,那么(cos θ+3)(sin θ+1)的值为 ( cos θ+1 A.6 B.4 C.2
3

D.0

新课标高中数学-必修四导学案 13.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ<0,cos θ>0 C.sin θ>0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0 D.sin θ<0,cos θ<0 ) 3 D.-5 ) 5 D.-3 ) )

3 ? π π? 14.α∈?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)的值为( ? ? 4 A.-5 4 B.5 3 C.5

2 15.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A=3,则 sin A+cos A=( 15 A. 3 ?π ? 16.若 θ∈?2,π?,则 ? ? A.sin θ-cos θ C.± (sin θ-cos θ) 15 B.- 3 5 C.3

?3π ? 1-2sin?π+θ?sin? 2 -θ?=( ? ?

B.cos θ-sin θ D.sin θ+cos θ

?π ? 17.已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值 ? ? 是( ) 3 5 A. 5 3 7 B. 7 3 10 C. 10 1 D.3

1 ? π ? 18.已知 sin(π-α)=log84,且 α∈?-2,0?,则 tan(2π-α)的值为________. ? ? 19.若 sin θ+cos θ ?3π ? =2,则 sin(θ-5π)sin? 2 -θ?=________. ? ? sin θ-cos θ

1 π 20.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为________. 4 2 m-3 4-2m 3π ? 21.已知 sin x= ,cos x= ,且 x∈? ? 2 ,2π?,则 tan x=________. m+5 m+5 π 5π 2π 22.已知 cos( -θ)=a(|a|≤1),则 cos( +θ)+sin( -θ)的值是________. 6 6 3 1 π cos 2α 23.已知 sin α= +cos α,且 α∈(0, ),则 的值为________. 2 2 π sin?α- ? 4

?3π ? 24.已知 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,求下列各式的值: ? ? (1) sin α-4cos α ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α

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