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2016年04月08日高中数学组卷圆锥曲线


2016 年 04 月 08 日高中数学组卷圆锥曲线
一.选择题(共 30 小题) 1. (2016?张掖校级模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 |PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1?e2+1 的取值范围为( )

A. (1,+∞) B. ( ,+∞) C. ( ,+∞) D. ( ,+∞)

2. (2016?淮南一模)椭圆 C:

+

=1 的左,右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上,且直 )

线 PA2 斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A.[ , ] B.[ , ] C.[ ,1] D.[ ,1]

3. (2016?郑州一模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的

直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 ( ) A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣

4. (2016?厦门一模) 已知椭圆

的右焦点为 F, P 是椭圆上一点, 点 )



当△ APF 的周长最大时,△ APF 的面积等于( A. B. C. D.

5. (2016?河南模拟)已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 的直线交椭 圆 E 于 P、Q 两点,若△ PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. B. C. 或 D. 或 )

6. (2016?长春二模) 已知 P 为椭圆
2 2

上的点, 点 M 为圆 )



的动点,点 N 为圆 C2: (x﹣3) +y =1 上的动点,则|PM|+|PN|的最大值为( A.8 B.12 C.16 D.20 7. (2016?郴州二模)如图,椭圆
2

+y =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,短轴端点分别为

B1,B2,现沿 B1B2 将椭圆折成 120°角(图二) ,则异面直线 F1B2 与 B1F2 所成角的余弦值 为( )

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A.0

B.

C.

D.﹣

8. (2016?白山一模)P 为椭圆

+

=1(a>b>0)上异于左右顶点 A1,A2 的任意一点,

则直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值﹣

,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P

为双曲线



=1(a>0,b>0)上异于左右顶点 A1,A2 的任意一点,则(



A.直线 PA1 与 PA2 的斜率之和为定值

B.直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值

C.直线 PA1 与 PA2 的斜率之和为定值

D.直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值

9. (2016?四川模拟)已知直线 l:y=kx 与椭圆 C:

交于 A、B 两

点,其中右焦点 F 的坐标为(c,0) ,且 AF 与 BF 垂直,则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满

10. (2016?宁城县一模)设 F1 和 F2 为双曲线 足∠F1PF2=90°,则△ F1PF2 的面积是( A.1 B. C.2 D. )

第 2 页(共 24 页)

11. (2016?淮南一模)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 )

C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.
2

12. (2016?岳阳校级一模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线 上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A. B. C.
2

D.

13. (2016?南昌一模)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若 A. B. C.3 =3 D.2 ,则|QF|=( )

14. (2015?新课标 II)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰 三角形,顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. B.2 C. D. 15. (2015?河北)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 个焦点,若 A. D. <0,则 y0 的取值范围是( B. C. ) =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两

16. (2016?天津校级模拟)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D.

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17. (2016?杭州模拟)双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2 离

心率为 e.过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等 2 腰直角三角形,则 e 的值是( ) A.1+2 B.3+2 C.4﹣2 D.5﹣2 18. (2015?潍坊模拟)椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆

C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.

19. (2015?潍坊模拟)设 F1,F2 是双曲线 若双曲线右支上存在一点 P,使 ,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. )

的左、右两个焦点,

(O 为坐标原点) ,且

20. (2016?福建模拟)已知 A,B 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右顶 )

点,P 是 C 上一点,且直线 AP,BP 的斜率之积为 2,则 C 的离心率为( A. B. C. D. 21. (2015?江西二模)椭圆

的两顶点为 A(a,0) ,B(0,b) ,且 )

左焦点为 F,△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

22. (2015?合肥一模)已知椭圆

为右焦点,A 为长轴的左端点,P 点为该椭

圆上的动点,则能够使

的 P 点的个数为(



A.4 B.3 C.2 D.1 23. (2015?永州一模)已知两定点 A(﹣1,0)和 B(1,0) ,动点 P(x,y)在直线 l:y=x+2 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( ) A. B. C. D.

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24. (2015?杭州一模)设 F1、F2 为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,直线 l 过

焦点 F2 且与椭圆交于 A,B 两点,若△ ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,设椭 2 圆离心率为 e,则 e =( ) A.2﹣ B.3﹣ C.11﹣6 D.9﹣6 25. (2015?贵州模拟)设 e1、e2 分别是具有公共焦点 F1、F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点,O 是 F1F2 的中点,且满足|PO|=|OF2|,则 =( )

A.

B.

C.

D.
2

26. (2016?桐乡市一模)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上 的两个动点,且满足∠AFB= 值是( A. ) B. C. D.
2

.设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则

的最大

27. (2015?腾冲县一模)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 的两侧, A. ? =2(其中 O 为坐标原点) ,则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是( C. D.
2



B.

28. (2015?安庆校级三模)已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线



=1(a>0,b>0)相

交于 A、B 两点,双曲线的一条渐近线方程是 y= 是等边三角形,则该双曲线的标准方程是( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ ) =1

x,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB

D.



=1

29. (2015?南昌校级二模)F 是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 向

C 的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线于点 B.若 2 是( A. ) B.2 C. D.

=

,则 C 的离心率

30. (2015?衡水四模)已知 F1,F2 为双曲线 |PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( )

的左、右焦点,点 P 在 C 上,

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A.

B.

C.

D.

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2016 年 04 月 08 日高中数学组卷圆锥曲线
参考答案与试题解析

一.选择题(共 30 小题) 1. (2016?张掖校级模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 |PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1?e2+1 的取值范围为( ) A. (1,+∞) B. ( ,+∞) C. ( ,+∞) D. ( ,+∞)

【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n, (m>n) , 由于△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10, 即有 m=10,n=2c, 由椭圆的定义可得 m+n=2a1, 由双曲线的定义可得 m﹣n=2a2, 即有 a1=5+c,a2=5﹣c, (c<5) , 再由三角形的两边之和大于第三边,可得 2c+2c=4c>10, 则 c> ,即有 <c<5. 由离心率公式可得 e1?e2= = = ,

由于 1<

<4,则有

> .

则 e1?e2+1



∴e1?e2+1 的取值范围为( ,+∞) . 故选:B.

2. (2016?淮南一模)椭圆 C:

+

=1 的左,右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上,且直 )

线 PA2 斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A.[ , ] B.[ , ] C.[ ,1] D.[ ,1]

【解答】解:由椭圆 C:

+

=1 可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .

设 P(x0,y0) (x0≠±2) ,则得

=﹣ .

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=



=kPA1=





=

?

=

=﹣ .

∵直线 PA2 斜率的取值范围是[﹣2,﹣1], ∴直线 PA1 斜率的取值范围是[ , ] 故选:A.

3. (2016?郑州一模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的

直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 ( ) A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣

【解答】解:如图,设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△ ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m, 由椭圆的定义可得△ ABF1 的周长为 4a, 即有 4a=2m+ m,即 m=2(2﹣ )a, 则|AF2|=2a﹣m=(2 ﹣2)a, 在直角三角形 AF1F2 中, 2 2 2 |F1F2| =|AF1| +|AF2| , 2 2 2 2 2 即 4c =4(2﹣ ) a +4( ﹣1) a , 2 2 ∴c =(9﹣6 )a , 则e =
2

=9﹣6 .

=



∴e= 故选:D.

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4. (2016?厦门一模) 已知椭圆

的右焦点为 F, P 是椭圆上一点, 点 )



当△ APF 的周长最大时,△ APF 的面积等于( A. B. C. D.

【解答】解:椭圆

的 a=3,b=

,c=

=2,

由题意,设 F′是左焦点, 则△ APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a﹣|PF′|=4+6+|PA|﹣|PF′| ≤10+|AF′|(A,P,F′三点共线时,且 P 在 AF′的延长线上,取等号) , 直线 AF′的方程为 联立可得 32y ﹣20 解得 P 的纵坐标为﹣ 则△ APF 周长最大时, 该三角形的面积为 |FF′|?|yA﹣yP| =2?|2 + |= .
2

+

=1 与椭圆 5x +9y =45,

2

2

y﹣75=0, ,

故选:B. 5. (2016?河南模拟)已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 的直线交椭 圆 E 于 P、Q 两点,若△ PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. B. C. 或 D. 或 )

【解答】解:由题可知:

,即 PF2= PF1,

又 PF2+PF1=2a,∴PF1= a,PF2= a, 由勾股定理可知: 即: ∴ , ,则 e= ; ,





,则



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由 故选:D.

,解得 e= .

6. (2016?长春二模) 已知 P 为椭圆
2 2

上的点, 点 M 为圆 )



的动点,点 N 为圆 C2: (x﹣3) +y =1 上的动点,则|PM|+|PN|的最大值为( A.8 B.12 C.16 D.20 【解答】解:依题意,椭圆
2 2

的焦点为(﹣3,0) , (3,0) ,
2 2

分别是两圆(x+3) +y =1 和(x﹣3) +y =1 的圆心, 所以(|PM|+|PN|)max=|PC1|+|PC2|+2 =2×5+1+1=12, 故选:B.
2

7. (2016?郴州二模)如图,椭圆

+y =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,短轴端点分别为

B1,B2,现沿 B1B2 将椭圆折成 120°角(图二) ,则异面直线 F1B2 与 B1F2 所成角的余弦值 为( )

A.0

B.

C.

D.﹣

【解答】解:由 OF1⊥B1B2,OF2⊥B1B2, 可得∠F1OF2 为二面角 F1﹣B1B2﹣F2 的平面角,即为 120°, 椭圆 +y =1 中 a=
2

,b=1.c= = , = + ? +



可得 B1F2=B2F1= = ? =﹣1+0+0+ + = ? , ?

, + ? + ?

?(﹣ )=﹣2,

即有 cos<



>=

=

=﹣ ,

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可得异面直线 F1B2 与 B1F2 所成角的余弦值为 . 故选:C.

8. (2016?白山一模)P 为椭圆

+

=1(a>b>0)上异于左右顶点 A1,A2 的任意一点,

则直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值﹣

,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P

为双曲线



=1(a>0,b>0)上异于左右顶点 A1,A2 的任意一点,则(



A.直线 PA1 与 PA2 的斜率之和为定值

B.直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值

C.直线 PA1 与 PA2 的斜率之和为定值

D.直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值

【解答】解:设 P(x0,y0)为双曲线 的任意一点, 则 A1(﹣a,0) ,A2(a,0) , ∴ =



=1(a>0,b>0)上异于左右顶点 A1,A2



又 P(x0,y0)在双曲线



=1 上,







=



∴直线 PA1 与 PA2 的斜率之积为定值



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故选:D.

9. (2016?四川模拟)已知直线 l:y=kx 与椭圆 C:

交于 A、B 两

点,其中右焦点 F 的坐标为(c,0) ,且 AF 与 BF 垂直,则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ( ) A. B. C. D.

【解答】解:由 AF 与 BF 垂直, 运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半, 可得||OA|=|OF|=c, 由|OA|>b,即 c>b,可得 c >b =a ﹣c , 即有 c > a , 可得 <e<1.
2 2 2 2 2 2

故选:C.

10. (2016?宁城县一模)设 F1 和 F2 为双曲线 足∠F1PF2=90°,则△ F1PF2 的面积是( A.1 B. C.2 D. )

的两个焦点,点 P 在双曲线上且满

【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y, (x>y) 根据双曲线性质可知 x﹣y=4, ∵∠F1PF2=90°, 2 2 ∴x +y =20 2 2 2 ∴2xy=x +y ﹣(x﹣y) =4 ∴xy=2 ∴△F1PF2 的面积为 xy=1 故选 A

11. (2016?淮南一模)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 )

C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

【解答】解:设|PF2|=x, ∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2x,|F1F2|= x, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
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∴2a=3x,2c=

x, = .

∴C 的离心率为:e= 故选 A.

12. (2016?岳阳校级一模)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,在抛物线 上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A. B. C. D.

2

【解答】解:如图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1. 过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线,此时 d1+d2=|PF|+d2﹣1 最小, ∵F(1,0) ,则|PF|+d2= 则 d1+d2 的最小值为 故选 D. . = ,

13. (2016?南昌一模)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若 A. B. C.3 =3 D.2 ,则|QF|=( )

2

【解答】解:设 l 与 x 轴的交点为 M,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 N, ∵ ∴ =3 , = ,又|MF|=p=4,

∴|NQ|= , ∵|NQ|=|QF|, ∴|QF|= . 故选:A.

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14. (2015?新课标 II)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰 三角形,顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. B.2 C. D. 【解答】解:设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上,

且 MA=AB=2a,∠MAB=120°, 则 M 的坐标为(﹣2a, a) , 代入双曲线方程可得, ﹣ 可得 a=b, c= 即有 e= = 故选:D. = . a, =1,

15. (2015?河北)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 个焦点,若 A. D. 【解答】解:由题意, ﹣1<0, 所以﹣ <y0< . =( ﹣x0,﹣y0)?(﹣ <0,则 y0 的取值范围是( B. C. )

=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两

﹣x0,﹣y0)=x0 ﹣3+y0 =3y0

2

2

2

故选:A.
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16. (2016?天津校级模拟)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D. .

【解答】解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c =7a ,
2 2

=



∴ 故选 B.

=



17. (2016?杭州模拟)双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2 离

心率为 e.过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等 2 腰直角三角形,则 e 的值是( ) A.1+2 B.3+2 C.4﹣2 D.5﹣2 【解答】解:设|AF1|=|AB|=m,则|BF1|= m,|AF2|=m﹣2a,|BF2|= m﹣2a, ∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m, ∴m﹣2a+ m﹣2a=m, ∴4a= m,∴|AF2|=(1﹣ )m,

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∵△AF1F2 为 Rt 三角形,∴|F1F2| =|AF1| +|AF2| ∴4c =( ﹣ ∵4a=
2

2

2

2

2

)m ,

2

m )×8a ,
2

∴4c =( ﹣ ∴e =5﹣2 故选 D.
2

18. (2015?潍坊模拟)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆

C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.

【解答】解:①当点 P 与短轴的顶点重合时, △ F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形, 此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P; ②当△ F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时, 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例, ∵F1F2=F1P, ∴点 P 在以 F1 为圆心,半径为焦距 2c 的圆上 因此,当以 F1 为圆心,半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时, 存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P, 在△ F1F2P1 中,F1F2+PF1>PF2,即 2c+2c>2a﹣2c, 由此得知 3c>a.所以离心率 e> . 当 e= 时,△ F1F2P 是等边三角形,与①中的三角形重复,故 e≠ 同理, 当 F1P 为等腰三角形的底边时, 在e 且 e≠ 时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P

这样,总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形 综上所述,离心率的取值范围是:e∈( , )∪( ,1)

第 16 页(共 24 页)

19. (2015?潍坊模拟)设 F1,F2 是双曲线 若双曲线右支上存在一点 P,使 ,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. ,∴ )

的左、右两个焦点,

(O 为坐标原点) ,且

【解答】解:∵ ∴ ﹣



=0,OP=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2, ,∴∠PF1F2=30°. PF1﹣PF2=2a,∴PF2= ,

Rt△ PF1F2 中,∵ 由双曲线的定义得

sin30°= =

=

=

,∴2a=c(

﹣1) ,

∴ =

+1,

故选 D.

20. (2016?福建模拟)已知 A,B 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右顶 )

点,P 是 C 上一点,且直线 AP,BP 的斜率之积为 2,则 C 的离心率为( A. B. C. D. 【解答】解:设 P(x,y) ,实轴两顶点坐标为(±a,0) ,则 ∵点 P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为 2, ∴ ? =2,



=

+1,





=1,


2

+1﹣
2

=1,

∴b =2a ,
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∴c =a +b =3a , ∴c= a, ∴e= = 故选:B. ,

2

2

2

2

21. (2015?江西二模)椭圆

的两顶点为 A(a,0) ,B(0,b) ,且 )

左焦点为 F,△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

【解答】解:依题意可知点 F(﹣c,0) 直线 AB 斜率为 ∵∠FBA=90°, ∴(
2

=

,直线 BF 的斜率为

=

)? =﹣
2 2

=﹣1
2

整理得 c +ac﹣a =0,即( ) + ﹣1=0,即 e +e﹣1=0 解得 e= ∵0<e<1 ∴e= 故选 C. , 或﹣

22. (2015?合肥一模)已知椭圆

为右焦点,A 为长轴的左端点,P 点为该椭

圆上的动点,则能够使 A.4 B.3 C.2 + D.1

的 P 点的个数为(



【解答】解:椭圆

=1 的 a=2,b=

,c=1,

即有 F(1,0) ,A(﹣2,0) , 即为 PA⊥PF, 即有 P 在以 AF 为直径的圆上, 则圆的方程为(x+ ) +y = ,①
2 2

第 18 页(共 24 页)

又 P 在椭圆上,则有
2

+

=1,②

由①②消去 y,得 x +4x+4=0, 解得 x1=x2=﹣2,代入可得 y=0, 则只有一个交点(﹣2,0) . 故选 D. 23. (2015?永州一模)已知两定点 A(﹣1,0)和 B(1,0) ,动点 P(x,y)在直线 l:y=x+2 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( ) A. B. C. D.

【解答】解:由题意知 c=1,离心率 e= , 椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P, 则 c=1, ∵P 在直线 l:y=x+2 上移动, ∴2a=|PA|+|PB|. 过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C,

设 C(m,n) ,则由



解得,

即有 C(﹣2,1) , ,

则此时 2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|= 此时 a 有最小值 , ,

对应的离心率 e 有最大值 故选 C.

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24. (2015?杭州一模)设 F1、F2 为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,直线 l 过

焦点 F2 且与椭圆交于 A,B 两点,若△ ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,设椭 2 圆离心率为 e,则 e =( ) A.2﹣ B.3﹣ C.11﹣6 D.9﹣6 【解答】解:可设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△ ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m, 由椭圆的定义可得△ ABF1 的周长为 4a, 即有 4a=2m+ m,即 m=2(2﹣ )a, 则|AF2|=2a﹣m=(2 )a, 在直角三角形 AF1F2 中, 2 2 2 |F1F2| =|AF1| +|AF2| , 即 4c =4(2﹣ ) a +4( 2 2 即有 c =(9﹣6 )a , 即有 e = 故选 D. 25. (2015?贵州模拟)设 e1、e2 分别是具有公共焦点 F1、F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点,O 是 F1F2 的中点,且满足|PO|=|OF2|,则 =( )
2 2 2 2

)a,

2 2

=9﹣6



A.

B.

C.

D.

【解答】解:设椭圆的长半轴是 a1,双曲线的实半轴是 a2,它们的半焦距是 c. 并设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n, 根据椭圆的和双曲线的定义可得 m+n=2a1,m﹣n=2a2, 解得 m=a1+a2,n=a1﹣a2, ∵|PO|=|OF2|,∴PF1⊥PF2, 2 2 2 由勾股定理得|PF1| +|PF2| =|F1F2| 2 2 2 ∴(a1+a2) +(a1﹣a2) =(2c) 2 2 2 化简可得 a1 +a2 =2c ∴ =2



=

=

=



故选 C.

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26. (2016?桐乡市一模)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上 的两个动点,且满足∠AFB= 值是( A. ) B. C. D. .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 的最大

2

【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,A、B 在准线上的射影点分别为 Q、P, 连接 AQ、BQ 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|, 在梯形 ABPQ 中根据中位线定理,得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得|AB| =a +b ﹣2abcos 配方得|AB| =(a+b) ﹣ab, 又∵ab≤(
2 2 2 2 2 2

=a +b +ab,

2

2

) ,
2

2

∴(a+b) ﹣ab≥(a+b) ﹣( 得到|AB|≥ (a+b) .

) = (a+b)

2

2

所以



=

,即

的最大值为



故选 C.

27. (2015?腾冲县一模)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 的两侧, A. ? =2(其中 O 为坐标原点) ,则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是( C. D. )

2

B.

【解答】解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0) , 2 2 x=ty+m 代入 y =x,可得 y ﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, ∵ ? =2,∴x1?x2+y1?y2=2,从而(y1?y2) +y1?y2﹣2=0,
第 21 页(共 24 页)
2

∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣2,故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F( ,0) , ∴S△ BFO+S△ AFO= ? ?y1+ ? ?|y2 = (y1+ )

≥ ?2 = 当且仅当 y1= ,即 y1= 时,取“=”号,

∴△BFO 与△ AFO 面积之和的最小值是 故选:B.



28. (2015?安庆校级三模)已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线

2



=1(a>0,b>0)相

交于 A、B 两点,双曲线的一条渐近线方程是 y= 是等边三角形,则该双曲线的标准方程是( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
2

x,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB

) ﹣ =1 D. ﹣ =1

C.

【解答】解:由题意可得抛物线 y =8x 的准线为 x=﹣2,焦点坐标是(2,0) , 又抛物线 y =8x 的准线与双曲线
2



=1 相交于 A,B 两点,又△ FAB 是等边三角形,

则有 A,B 两点关于 x 轴对称,横坐标是﹣2,纵坐标是 4tan30°与﹣4tan30°, 将坐标(﹣2,± )代入双曲线方程得 ﹣ =1,①

又双曲线的一条渐近线方程是 y= 由①②解得 a= ,b=4. ﹣ =1.

x,得 =

,②

所以双曲线的方程是

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故选 D.

29. (2015?南昌校级二模)F 是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 向

C 的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线于点 B.若 2 是( A. ) B.2 C. D.

=

,则 C 的离心率

【解答】解:由题意得右焦点 F(c,0) ,设一渐近线 OA 的方程为 y= x, 则另一渐近线 OB 的方程为 y=﹣ x, 设 A(m, ∵2 = , )=(n﹣c,﹣ =﹣ ) , , ) ,B(n,﹣ ) ,

∴2(c﹣m,﹣

∴2(c﹣m)=n﹣c,﹣ ∴m= c,n= ∴A( , , ) .

由 FA⊥OA 可得,斜率之积等于﹣1,即

? =﹣1,

∴a =3b ,∴e= = 故选 C.

2

2

=



30. (2015?衡水四模)已知 F1,F2 为双曲线 |PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( A. B. C. D. )

的左、右焦点,点 P 在 C 上,

【解答】解:设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,可得 m=2a ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a ∵双曲线
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∴|F1F2|=2

a, = .

∴cos∠F1PF2= 故选 B.

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