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2016届高三数学一轮总复习课件:第一章 集合与常用逻辑用语1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件


第一章 集合与常用逻辑用语

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

基础回扣· 自主学习

热点命题· 深度剖析

特色专题· 感悟提高

高考明方向 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题, 会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一,考查形式以选 择题为主,试题多为中低档题目,命题的重点主要有两个:一是 命题及其四种形式,主要考查命题的四种形式及命题的真假判 断;二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背 景考查充要条件的判断,这也是历年高考命题的重中之重.命题 的热点是利用关系或条件求解参数范围问题,考查考生的逆向思 维.

J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发

知 识 梳 理 知识点一 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述 句叫做命题.其中 判断为真 的语句叫真命题, 判断为假 的语句叫假命题. 命题及四种命题

2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系.

(2)四种命题的真假关系. ①两个命题互为逆否命题,它们有
相同 的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 无关 .

知识点二

充分条件与必要条件 .

1.如果p?q,那么p是q的 充分条件 ,q是p的 必要条件 2.如果p?q且q?p,那么p是q的 充要条件 .

对 点 自 测 知识点一 命题及四种命题

1.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数

解析

“x+y是偶数”的否定为“x+y不是偶数”,“x,y

都是偶数”的否定为“x,y不都是偶数”.因此其逆否命题为 “若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.

答案 C

2.(2014· 陕西卷)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|= |z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如 下,正确的是( ) B.假,假,真 D.假,假,假

A.真,假,真 C.真,真,假

解析

易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,

设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|, 但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也 为假.

答案 B

知识点二

充分条件与必要条件 )

3.(2014· 安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由ln(x+1)<0得-1<x<0,故选B.

答案 B

4.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+ y-1=0上”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y

=-1”可推出“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1 =0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y-1=0上”不能推出 “x=2且y=-1”,故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y -1=0上”的充分不必要条件.

答案 A

5.已知p:-4<k<0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则 p是q成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

-4<k<0?k<0,Δ=k2+4k<0,函数 y=kx2-kx-1 的

值恒为负,但反之不一定有-4<k<0,如 k=0 时,函数 y=kx2- kx-1 的值恒为负,即 p?q,而 q? / p.

答案 A

R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道

问 题 探 究 问题1 “A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条

件是B”有什么区别? “A是B的充分不必要条件”中,A是条件,B是结论;“A的 充分不必要条件是B”中,B是条件,A是结论.在进行充分、必 要条件的判断中,要注意这两种说法的区别.

问题2

四种命题间关系的两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题 同真假. (2)当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆 否命题的真假.同时要关注“特例法”的应用. 问题3 判断充分条件与必要条件有哪些常见方法?

(1)定义法;(2)集合法;(3)等价转化法.(此内容将在“特色 专题· 感悟规律方法提高”栏目中作详细说明)

高 频 考 点 考点一 四种命题及其相互关系 )

【例1】 下列命题中正确的是( ①“若a≠0,则ab≠0”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;

③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; 1 ④“若x-32是有理数,则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④ C.②③④ B.①③④ D.①④

听 课 记 录

①中否命题为“若a=0,则ab=0”,正确;

②中逆命题不正确;③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原命题 正确,故其逆否命题正确;④中原命题正确故逆否命题正确.

答案 B

【规律方法】

在判断四个命题之间的关系时,首先要分清

命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关 系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题, 也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定 命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例 即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.

变式思考 1 ( )

π (1)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是 4

π A.若α≠4,则tanα≠1 π B.若α=4,则tanα≠1 π C.若tanα≠1,则α≠4 π D.若tanα≠1,则α=4

(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命 题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真 命题; ④命题“若a∈M,则b?M”与命题“若b∈M,则a?M”等 价.

解析

π (1)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是“若 4

π tanα≠1,则α≠ ”. 4

(2)对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=logax 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的 否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是 “若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶 数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题 “若a∈M,则b?M”与命题“若b∈M,则a?M”互为逆否命 题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.

答案 (1)C (2)②④

考点二 【例2】

充分条件与必要条件的判断

(1)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条 )

件,则p是綈q的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的”( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

听课记录

(1)由 q?綈 p 且綈 p? / q 可得 p?綈 q 且綈 q? /

p,所以 p 是綈 q 的充分而不必要条件. (2)由 sinφ=0 可得 φ=kπ(k∈Z),此为曲线 y=sin(2x+φ)过坐 标原点的充要条件,故“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原 点”的充分而不必要条件.

答案 (1)A (2)A

【规律方法】

充要条件的判断,重在“从定义出发”,利

用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题 中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”.有时还可以通过其 逆否命题的真假加以区分.

变式思考 b”的( )

2

(1)设a,b为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2014· 聊城期末)设集合A,B是全集U的两个子集,则A? B 是(?UA)∪B=U的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

(1)若|a· b|=|a||b|;

若a,b中有零向量,显然a∥b; 若a,b均不为零向量,则 |a· b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, ∴|cos〈a,b〉|=1,∴〈a,b〉=π或0. ∴a∥b,即|a· b|=|a||b|?a∥b. 若a∥b,则〈a,b〉=0或π, ∴|a· b|=||a||b|cos〈a,b〉|=|a||b|,

其中,若a,b有零向量也成立, 即a∥b?|a· b|=|a||b|. 综上知,“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

(2)如图所示,A? B?(?UA)∪B=U; 但(?UA)∪B=U? / A? B,

如 A=B,因此 A? B 是(?UA)∪B=U 的充分不必要条件.

答案 (1)C (2)A

考点三 【例3】

充分条件、必要条件的探求

(1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a}, )

则“A∩B≠?”的充要条件是( A.a>-2 C.a>-1 B.a≤-2 D.a≥-1

? ?log2x,x>0, (2)函数f(x)= ? x ? ?2 -a,x≤0

有且只有一个零点的充分不必要

条件是(

) 1 B.0<a<2 D.a<0

A.a≤0或a>1 1 C.2<a<1

听 课 记 录 示:

(1)A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},如图所

∵A∩B≠?,∴a>-1.
? ?log2x,x>0, (2)因为f(x)= ? x ? ?2 -a,x≤0

有且只有一个零点的充要条件为

a≤0或a>1.由选项可知,使“a≤0或a>1”成立的充分条件为选 项D.
答案 (1)C (2)D

【规律方法】

有关探求充要条件的选择题,解题关

键是:首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选 项;其次,利用以小推大的技巧,即可得结论.

变式思考 3

(1)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个 )

不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( A.-1<k<3 C.0<k<3 B.-1≤k≤3 D.k<-1或k>3

(2)设p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非p是 非q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? B.?0,2? ? ? ?1 ? C.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? ?1 ? D.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ?

)

解析

(1)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交

|1-0-k| 点”等价于 < 2,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3) 2 是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.

1 (2)p:|4x-3|≤1?-1≤4x-3≤1,∴ ≤x≤1; 2 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0?(x-a)[x-(a+1)]≤0,∴ a≤x≤a+1. 由题意知p是q的充分不必要条件, 1 1 ? ? ?a≤ , ?a< , 1 2 2 故有? 或? 则0≤a≤2. ? ? ?a+1>1, ?a+1≥1,

答案 (1)C (2)A

T 特色专题· 感悟提高
拓思维 提能力 启智培优

多维探究系列之(一) 三种方法破解充要条件问题 充分、必要条件的判断,作为常用逻辑用语内容在高考中的 核心命题点,在2014年的高考中,浙江卷第2题、湖北卷第3题、 福建卷第6题、北京卷第5题,都对其作了重点考查,此类问题较 为抽象,也比较容易混淆,是学习中的一个难点.

方法一:定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p, 则q”与“若q,则p”的判断,根据两个命题是否正确,来确定p 与q之间的充要关系.

【典例1】

(2014· 北京卷)设{an}是公比为q的等比数列.则 )

“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【规范解答】

若 q>1,则当 a1=-1 时,an=-qn 1,{an}


为递减数列,所以“q>1” ? / 数列, 则当

“{an}为递增数列”;若{an}为递增

? 1? 1 1 n ? ? an=- 2 时, a1=-2, q=2<1, 即“{an}为递增数列” ? ?

?/“q>1”.故选 D.

【答案】 D

对应训练 1.(2014· 浙江卷)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b= 1”是“(a+bi)2=2i”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析

当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+ 解得a=b=1或

2 2 ? a - b =0, ? 2 2 2 bi) =2i时,有a -b +2abi=2i,得 ? ? ?ab=1,

a=b=-1,即必要性不成立,故选A.

答案 A

方法二:集合法 涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题 时,一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性.具 体对应关系如下:

设满足条件p的元素构成集合A,满足条件q的元素构成集合 B,则(1)若A? B,则称p是q的充分不必要条件;(2)若B? A,则称 p是q的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若 A?B且B?A,则p是q的既不充分也不必要条件.当条件与结论能 够用集合形式表示时,采用这种方法既将问题转变成了某两个集 合的包含关系的判断,又能将复杂问题简单化.

【典例2】

(2014· 湖北卷)设U为全集.A,B是集合,则 )

“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【规范解答】

如图可知,存在集合C,使A?C,B??UC,

则有A∩B=?.若A∩B=?,显然存在集合C.满足A?C,B??UC.故 选C.

【答案】 C

对应训练 2.已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x- 4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( A.(-∞,-7] C.[-7,1] B.[1,+∞) D.(-∞,-7]∪[1,+∞) )

解析

记P={x|(x-m)2>3(x-m)}={x|(x-m)(x-m-3)>0}

={x|x<m,或x>m+3},Q={x|x2+3x-4<0}={x|(x+4)(x-1)<0} ={x|-4<x<1},p是q成立的必要不充分条件,即等价于Q? P.所 以m+3≤-4或m≥1,解得m≤-7或m≥1.故选D.

答案 D

方法三:等价转化法 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关 系,对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的真假来判断 p与q的关系.令p为命题的条件,q为命题的结论,具体对应关系 如下:

①如果原命题真而逆命题假,那么p是q的充分不必要条件; ②如果原命题假而逆命题真,那么p是q的必要不充分条件; ③如果原命题真且逆命题真,那么p是q的充要条件; ④如果原命题假且逆命题假,那么p是q的既不充分也不必要 条件.

【典例3】

已知命题p:关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0的

解集至多有两个子集,命题q:1-m≤x≤1+m,m>0,若綈p是

綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

【规范解答】

∵綈p是綈q的必要不充分条件,

∴p是q的充分不必要条件. 对于命题p,依题意知Δ=(-2a)2-4· 4(2a+5)=4(a2-8a- 20)≤0,∴-2≤a≤10,

令P={a|-2≤a≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0},由题 意知P? Q, ?m>0, ? ∴?1-m<-2, ?1+m≥10 ? ?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

解得m≥9.因此实数m的取值范围是{m|m≥9}.

对应训练 3.已知条件p:|x-a|<4,条件q:(x-2)(3-x)>0,且綈p是 綈q的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是( A.(-∞,-1] B.[-1,6] C.[-2,7] D.(-∞,-1]∪[6,+∞) )

解析

由|x-a|<4,得a-4<x<4+a,即p:a-4<x<4+a.由(x

-2)(3-x)>0,得2<x<3,即q:2<x<3.若綈p是綈q的充分而不必

要条件,则q是p的充分而不必要条件.由此得 -1≤a≤6.

? ?a-4≤2, ? ? ?a+4≥3,

解得

答案 B


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