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2011届数学高考复习名师精品教案:第18课时:第二章 函数-函数的最值


第 18 课时:第二章 一.课题:函数的最值

函数——函数的最值

二.教学目标:掌握函数最值的一般求法,并能利用函数的最值解决一些实际问 题,提高分析和解决问题的能力. 三.教学重点:函数最值的一般求法以及应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数最值的意义; 2.求函数最值的常用方法:(1)配方法:主要适用于可化为二次函数或可化为 二次函数的函数,要特别注意自变量的范围;(2)判别式法:主要适用于可化
2 为 关 于 x 的 二 次 方 程 a( y) x ? b( y) x c y? 0 函 数 y ? f ( x) . 在 由 ? ? 0 且 ? ( ) 的

(3) a( y ) ? 0 ,求出 y 的值后,要检验这个最值在定义域内是否有相应的 x 的值; 不等式法:利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件;(4)换元法:用 换元法时一定要注意新变元的取值范围;(5)数形结合法:对于图形较容易画 出的函数的最值问题可借助图象直观求出;(6)利用函数的单调性:要注意函 数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值. (二)主要方法: 1.函数的最值问题实质上是函数的值域问题,因此求函数值域的方法,也是求 函数的值域的方法,只是答题的方式有所差异; 2.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,不等式法及判别式法 尤其如此. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的最大值或最小值: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x2 ;(2) y ? x ? 1 ? 2x ;(3) y ?
2x2 ? 2x ? 5 x2 ? x ? 1



解:(1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x2 ? 4 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ,由 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , ∴当 x ? 1 时,函数取最小值 2 ,当 x ? ?1 or x ? 3 时函数取最大值 4 . (2)令 1 ? 2 x ? t (t ? 0, x ? ) ,则 x ?
2 1 1

1? t2 2

,∴ y ?
1

1? t2

1 ? t ? ? (t ? 1) 2 ? 1 , 2 2

当 t ? 0 ,即 x ? 时取等号,∴函数取最大值 ,无最小值.
2 2

(3)解法(一)用判别式法: 由y?
2x2 ? 2x ? 5 x ? x ?1
2

得 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 2) x ? y ? 5 ? 0, x ? R ,

①若 y ? 2 ,则 2 ? 5 矛盾, ∴ y ? 2 ,

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?y ? 2 ②由 y ? 2 ,这时, ? ,解得: 2 ? y ? 6 , 2 ?? ? ( y ? 2) ? 4( y ? 2)( y ? 5) ? 0
1 且当 y ? 6 时, x ? ? , ∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 解法(二)分离常数法:

由y?

3 2 x2 ? 2 x ? 5 ? 2? 2 ? 2? 2 x ? x ?1 x ? x ?1

3 1 3 ( x ? )2 ? 2 4

1 3 3 ∵ ( x ? ) 2 ? ? ,∴ 2 ? y ? 6 ,∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 4 4

例 2.(1)函数 y ? a x 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

2



(2)对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x 2 ? px ? 4x ? p ? 3 恒成立,则 x 的 取值范围为 (??, ?1) ? (3, ??) . ( 3 ) 已 知函 数 f ( x) ? 2x ?1 , g ( x) ? 1 ? x 2 , 构 造 函 数 F ( x) , 定 义 如 下: 当
| f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? f ( x) ,那么 F ( x)



B


( B ) 有最小值 ?1 ,无最大值 ( D) 无最小值,也无最大值

( A) 有最小值 0 ,无最大值 (C ) 有最大值 1 ,无最小值

1 例 3.(《高考 A 计划》考点 17“智能训练第 14 题”)已知 ? a ? 1 ,若 3

f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 在 [1,3] 上 的 最 大 值 为 M (a) , 最 小 值 为 N ( a ) , 令
g ( a)? M ( ?) a N, ) (a

(1)求 g (a) 的函数表达式; 小值. 答案参看教师用书 P93 . (四)巩固练习:

(2)判断函数 g (a) 的单调性,并求出 g (a) 的最

1.函数 y ? x(6 ? 2 x)2 , x ?[0,3] 的最大值为

16 6

; ;

2.若 x, y ? R? ,3x ? 2 y ? 12 ,则 xy 的最大值是 3.若 x2 ? y 2 ? 1, 则 3x ? 4 y 的最小值是 ?5 ;
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4. f ( x) ? ax3 ? x ? a ? 3b , 在 [?2, ?1] 和 [1, 2] 上是单调递减函数,则 a 的最大
1 值为 . 6

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