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2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算理


第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算 理

1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 定义 既有大小,又有方向的量;向量的 大小叫做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作 0 非零向量 a 的单位向量为±

a |a|

2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:

a+b=b+a;
加法 求两个向量和的运算 (2)结合律: (a+b)+c =a+(b+c) 求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算

减法

a-b=a+(-b)

(1)|λ a|=|λ ||a|; (1)λ (μ a)= 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 (2)当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 同;当 λ <0 时,λ a (λ μ )a; (2)(λ +μ )a=λ a +μ a;

1

的方向与 a 的方向相 反;当 λ =0 时,λ a =0

(3)λ (a+b)=λ a+ λ b

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b=λ a.

【知识拓展】 1. 一般地, 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向 → → → ——→ → 量,即A1A2+A2A3+A3A4+?+ An-1An =A1An,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和 为零向量. → 1 → → 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任一点,则OP= (OA+OB). 2 → → → 3.OA=λ OB+μ OC(λ ,μ 为实数),若点 A,B,C 共线,则 λ +μ =1.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( ? ) (2)|a|与|b|是否相等与 a,b 的方向无关.( √ ) (3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( ? ) → → (4)若向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.( ? ) (5)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λ a,反之成立.( √ )

1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若 a,b 都是单位向量,则 a=b; → → ③向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是( A.① C.①③ 答案 A 解析 根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方 → → 向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB与BA互为相反向量,故③错 误. B.③ D.①② )

2

→ 2.(教材改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ C.BC- BA 2 答案 A 解析 如图, → 1→ B.-BC- BA 2 → 1→ D.BC+ BA 2

)

→ → → → 1→ → 1→ CD=CB+BD=CB+ BA=-BC+ BA. 2 2 3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当 a+b=0 时,a=-b,∴a∥b;当 a∥b 时,不一定有 a=-b,∴“a+b=0”是 “a∥b”的充分不必要条件. → → 4.已知 a,b 是不共线的向量,AB=λ a+b,AC=a+μ b(λ ,μ ∈R),那么 A,B,C 三点 共线的充要条件是( A.λ +μ =2 C.λ μ =-1 答案 D → → → → 解析 由AB=λ a+b,AC=a+μ b(λ ,μ ∈R)及 A,B,C 三点共线得AB=tAC, 所以 λ a+b=t(a+μ b)=ta+tμ b,
?λ =t, ? 即可得? ? ?1=tμ ,

)

) B.λ -μ =1 D.λ μ =1

所以 λ μ =1,故选 D.

→ → → 5.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λ AO,则 λ =________. 答案 2 解析 由向量加法的平行四边形法则, → → → 得AB+AD=AC.
3

→ → 又 O 是 AC 的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO, → → → → → → ∴AB+AD=2AO.又AB+AD=λ AO,∴λ =2.

题型一 平面向量的概念 例 1 给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; → → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是( A.②③ C.③④ 答案 A 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, → → → → → → 则AB∥DC且|AB|=|DC|,∴AB=DC. ③正确. ∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
4

) B.①② D.②④

(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是 0,规定零向量与任何向量共线. 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行, 则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 C.2 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命 题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0, 故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点 1 向量的线性运算 → → → → → 例 2 (1)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3 ) ) B.1 D.3 )

→ → (2)(2015?课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,若BC=3CD,则( 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 答案 (1)A (2)A → → → → → → 解析 (1)∵BD=2DC,∴AD-AB=BD=2DC → → =2(AC-AD), → → → ∴3AD=2AC+A B , 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3 → → → → → → (2)∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC), 1→ 4→ → → → → 即 4AC-AB=3AD,∴AD=- AB+ AC. 3 3 命题点 2 根据向量线性运算求参数 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

1 2 → → → 例 3 (1)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ 1AB+λ 2AC 2 3 (λ 1、λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________.
5

→ → (2)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC=3CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重 → → → 合),若AO=xAB+(1-x)AC,则 x 的取值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 2? ? 1 ? C.?- ,0? ? 2 ?
1 答案 (1) (2)D 2 → → → 1→ 2→ 解析 (1)DE=DB+BE= AB+ BC 2 3 1→ 2 → → 1→ 2→ = AB+ (BA+AC)=- AB+ AC, 2 3 6 3

? 1? B.?0, ? ? 3? ? 1 ? D.?- ,0? ? 3 ?

1 2 1 ∴λ 1=- ,λ 2= ,即 λ 1+λ 2= . 6 3 2 → → (2)设CO=yBC, → → → ∵AO=AC+CO → → → → → =AC+yBC=AC+y(AC-AB) → → =-yAB+(1+y)AC. → → ∵BC=3CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),

? 1? ∴y∈?0, ?, ? 3?
→ → → ∵AO=xAB+(1-x)AC,

? 1 ? ∴x=-y,∴x∈?- ,0?. ? 3 ?
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾 相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系, 通过向量的运算将向量表示出来, 进行比较求参 数的值. 如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交于 E,F 两点,且交 → 2→ → 1→ → → 对角线 AC 于点 K,其中,AE= AB,AF= AD,AK=λ AC,则 λ 的值为( 5 2 )

6

A. C.

2 9 2 5

B. D.

2 7 2 3

答案 A → 2→ → 1→ 解析 ∵AE= AB,AF= AD, 5 2 → 5→ → → ∴AB= AE,AD=2AF. 2 由向量加法的平行四边形法则可知, → → → AC=AB+AD, → → → → ∴AK=λ AC=λ (AB+AD)

?5→ →? =λ ? AE+2AF? ?2 ?
5 → → = λ AE+2λ AF, 2 2 由 E,F,K 三点共线,可得 λ = , 9 故选 A. 题型三 共线定理的应用 例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB, → → ∴AB,BD共线. 又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)解 假设 ka+b 与 a+kb 共线, 则存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb),
7

即(k-λ )a=(λ k-1)b. 又 a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ =λ k-1=0. 消去 λ ,得 k -1=0,∴k=±1. 思维升华 (1)证明三点共线问题, 可用向量共线解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 成立,若 λ 1a+λ 2b =0,当且仅当 λ 1=λ 2=0 时成立,则向量 a、b 不共线. → → → (1)已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则( A.A,B,C 三点共线 C.A,C,D 三点共线 B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 )
2

→ → → (2)如图所示,设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△ABC 与△AOC 的面积之比为 ________.

答案 (1)B (2)2 → → → 解析 (1)∵BD=BC+CD → =2a+6b=2(a+3b)=2AB, → → ∴BD、AB共线,又有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线.故选 B. (2)取 AC 的中点 D,连接 OD,

→ → → 则OA+OC=2OD, → → ∴OB=-OD, ∴O 是 AC 边上的中线 BD 的中点, ∴S△ABC=2S△OAC,
8

∴△ABC 与△AOC 面积之比为 2.

9

5.容易忽视的零向量

典例 下列叙述错误的是________. ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ②若非零向量 a 与 b 方向相同或相反,则 a+b 与 a,b 之一的方向相同. ③|a|+|b|=|a+b|?a 与 b 方向相同. ④向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ,使得 b=λ a. → → ⑤AB+BA=0. ⑥若 λ a=λ b,则 a=b. 错解展示 → → 解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量,∴AB+BA=0. 答案 ⑤ 现场纠错 解析 对于①,当 b=0 时,a 不一定与 c 平行. 对于②,当 a+b=0 时,其方向任意,它与 a,b 的方向都 不相同. 对于③,当 a,b 之一为零向量时结论不成立. 对于④,当 a=0 且 b=0 时,λ 有无数个值;当 a=0 但 b≠0 或 a≠0 但 b=0 时,λ 不存 在. 对于⑤,由于两个向量之和仍是一个向量, → → 所以AB+BA=0. 对于⑥,当 λ =0 时,不管 a 与 b 的大小与方向如何,都有 λ a=λ b,此时不一定有 a=b. 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥ 纠错心得 在考虑向量共线问题时,要注意考虑零向量.

1.已知 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( A.a+b=0 B.a=b C.a 与 b 共线反向

)

10

D.存在正实数 λ ,使 a=λ b 答案 D 解析 因为 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 a 与 b 共线同向,故 D 正确. 2.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共线,则向量 a +b+c 等于( A.a C.c 答案 D 解析 依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即 a-c=mc-na. 又 a 与 c 不共线,于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,选 D. → → → 3.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是( A.A,B,C C.B,C,D 答案 B → → → → → → → 解析 因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,又AB,AD有公共点 A,所以 A,B,D 三点共线. → → → → 4.已知平面内一点 P 及△ABC,若PA+PB+PC=AB,则点 P 与△ABC 的位置关系是( A.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 AC 上 答案 C → → → → → → → → → → → → → 解析 由PA+PB+PC=AB得PA+PC=AB-PB=AP,即PC=AP-PA=2AP,所以点 P 在线段 AC 上. 5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两 → → → → 点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为( ) B.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在△ABC 外部 ) B.A,B,D D.A,C,D ) ) B.b D.0

A.1 C.3 答案 B 解析 ∵O 为 BC 的中点,

B.2 D.4

11

→ 1 → → ∴AO= (AB+AC) 2 1 → → m→ n→ = (mAM+nAN)= AM+ AN, 2 2 2 ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1, 2 2 ∴m+n=2. → → → 6.设 P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心),AP=k(AB+AC)(k∈R),若 cos∠BAC= 2 ,则 k 等于( 5 A. 5 2 B. 14 14 ) 5 3 C. D. 7 7

m n

答案 A 解析 取 BC 的中点 D,连接 PD,AD, → → → 则 PD⊥BC,AB+AC=2AD, → → → ∵AP=k(AB+AC)(k∈R), → → ∴AP=2kAD,∴A,P,D 三点共线, ∴AB=AC, ∴cos∠BAC=cos∠DPC= =

DP DP 2 = , PC PA 5

5 5 5 ∴AP= AD,∴2k= ,解得 k= ,故选 A. 7 7 14 7.(2015?课标全国Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ = ____________. 答案 1 2

解析 ∵向量 a,b 不平行,∴a+2b≠0,又向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则存在唯一的实数
?λ =μ , ? μ , 使 λ a+b=μ (a+2b)成立, 即 λ a+b=μ a+2μ b, 则得? ? ?1=2μ ,

1 解得 λ =μ = . 2

8.(2016?滨州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若起点和终点均在格点的向量 a,

b,c 满足 c=xa+yb(x,y∈R),则 x+y=________.

12

答案

13 5

解析 如图,取单位向量 i,j,

则 a=i+2j,b=2i-j,c=3i+4j. ∴c=xa+yb=x(i+2j)+y(2i-j)=(x+2y)i+(2x-y)j, 11 ? ?x= 5 , ∴? 2 ?y=5, ?

? ?x+2y=3, ∴? ?2x-y=4, ?

13 ∴x+y= . 5 → → → 9.设 a,b 不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是________. 答案 -1 → → 解析 ∵BC=a+b,CD=a-2b, → → → ∴BD=BC+CD=2a-b. → → 又∵A,B,D 三点共线,∴AB,BD共线. → → 设AB=λ BD, ∴2a+pb=λ (2a-b), ∵a,b 不共线, ∴2=2λ ,p=-λ ,∴λ =1,p=-1. → → → *10.设 G 为△ABC 的重心,且 sin A?GA+sin B?GB+sin C?GC=0,则角 B 的大小为 ________. 答案 60° → → → → → → → 解析 ∵G 是△ABC 的重心,∴GA+GB+GC=0,GA=-(GB+GC),将其代入 sin A?GA+sin

B?GB+sin C?GC=0,得(sin B-sin A)GB+(sin C-sin A)GC=0.又GB,GC不共线,
∴sin B-sin A=0,sin C-sin A=0, 则 sin B=sin A=sin C.根据正弦定理知 b=a=c, ∴△ABC 是等边三角形,则角 B=60°.
13









→ →

→ 11.如图,在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设AB=

a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.







1 → 1 → → 1 解 AD= (AB+AC)= a+ b. 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC) 3 3 2→ 1 → → = AB+ (AC-AB) 3 3 1→ 1→ = AB+ AC 3 3 1 1 = a+ b. 3 3 12.设 a,b 是不共线的两个非零向量. → → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C 三点共线; → → → (2)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-kb,且 A,C,D 三点共线,求 k 的值. (1)证明 由已知得, → → → AB=OB-OA=3a+b-2a+b=a+2b, → → → BC=OC-OB=a-3b-3a-b=-2a-4b, → → 故BC=-2AB, → → 又BC与AB有公共点 B,所以 A,B,C 三点共线. → → → → (2)解 AC=AB+BC=3a-2b,CD=2a-kb. → → 因为 A、C、D 三点共线,所以AC=λ CD, 即 3a-2b=2λ a-kλ b, 3 ? ?λ =2, 所以? 4 ? ?k=3.

? ?3=2λ , 所以? ?2=kλ , ?

4 综上,k 的值为 . 3 → → → *13.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R).
14

(1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明 (1)若 m+n=1, → → → → → → 则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), → → → → ∴OP-OB=m(OA-OB), → → → → 即BP=mBA,∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B,则 A,P,B 三点共线. → → (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数 λ ,使BP=λ BA, → → → → ∴OP-OB=λ (OA-OB). → → → 又OP=mOA+nOB. → → → → 故有 mOA+(n-1)OB=λ OA-λ OB, → → 即(m-λ )OA+(n+λ -1)OB=0. → → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线, ∴?
?m-λ =0, ? ? ?n+λ -1=0,

∴m+n=1.

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