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2005上海市部分区高三调研卷及答案


2005 年深圳市高三年级第一次调研考试





2005.2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页, 第Ⅱ卷为第 3 页至第 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分)

意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在小答题卡 上.同时,用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑;最后,用 2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上,不能答在试题卷上. 3.考试结束后,将模拟答题卡和小答题卡一并交回.
参考公式: (1)如果事件 A、 互斥, B 那么 P(A+B)=P(A)+P(B); =P(A)·P(B); (2)如果事件 A、 相互独立, B 那么 P(A· B) (3)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好
k
-k

发生 k 次的概率 Pn(k)= C n Pk(1-P)n

一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.设 S ? {x | x ? 3k ? 1, k ? N} , T ? {1, 2,3, 4} ,则 S ? T 等于 (A) {1,2} (B) {1,4} (C) {2,4} (D) {1,2,4}

x 2.已知函数 f ( x ) 的图象与函数 y ? 3 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f (9) 等于

3 1 (D) 2 2 3.如图,在四面体 ABCD 中, AD ? 平面 DBC , BD ? DC ,
(A) 2 (B) 3 (C)

A

AD ? 3 , BD ? DC ? 2 ,则二面角 A ? BC ? D 的大小为
D (A) 30
?

C

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 75

?

B

4.已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, 若 a2 : a4 ? 7 : 6 ,则 S7 : S3 等于 (A) 2 :1 (B) 6 : 7 (C) 49 :18 (D) 9 :13

2005 年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题

第 1页

共 4 页

5.给出下列四个条件: ①平面 ? 、? 都垂直于平面 ? ; ②平面 ? 内存在不共线的三点到平面 ? 的距离相等; ③ l 、 m 是平面 ? 内两条直线,且 l // ? , m // ? ; ④ l 、 m 是两条异面直线,且 l // ? , m // ? , l // ? , m // ? . 其中可判断平面 ? 与平面 ? 平行的条件有 (A) 0 个 6.下列命题正确的是 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个

(A)函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 在 (?

? ?

, ) 内单调递增 3 6

(B)函数 y ? cos4 x ? sin 4 x 的最小正周期为 2? (C)函数 y ? cos( x ? (D)函数 y ? tan( x ?
n

?

?

) 图象是关于点 ( , 0) 成中心对称的图形 3 6 3 ) 图象是关于直线 x ?

?

?

6

成轴对称的图形

7.设 (6 x ? 2) 的展开式的各项系数之和为 256 ,则展开式中二项式系数最大的项是 (A)第 8 项 (B)第 5 项
2 2

(C)第 4 项和第 5 项

(D)第 3 项

8.过点 Q (2, 4) 引直线与圆 x ? y ? 1交于 R 、 S 两点,那么弦 RS 的中点 P 的轨迹为 (A)圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

(B)圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的一段弧
2 2

(C)圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的一段弧
2 2

(D)圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

2 9.已知曲线 C : 3x ? y ? 1 ? 0 与直线 y ? a 交于 A 、 B 两点,若曲线 C 在 A 、 B 两点处

的切线互相垂直,则实数 a 的值为 (A)

4 3

(B)

1 6

(C)

13 12

(D) ?

1 6

? 2 ( x ? 2), ? 10.设函数 f ( x) ? ? x ? 1 则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为 ? 3x ? 4 ( x ? 2), ?
(A) [1, ]

5 3

(B) [ ,3]
数学试题

5 3

(C) [1,3]
第 2 页 共 13 页

(D) ( ??,1] ? [ ,3]

5 3

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
注意事项: 第Ⅱ卷全部是非选择题,必须在答题卡非选择题答题区域内,用黑色钢笔或签字笔作 答,不能答在试卷上,否则答案无效. 二. 填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 11.已知复数 z1 ? 2 ? i, z 2 ? t ? i ,且 z1 ? z 2 是实数,则实数 t = .

? x ? 0, ? ? x ? y, 12.设实数 x 、 y 满足约束条件: 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 2 y ? 3, ?



13.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 0 , n ? 0) 的一个焦点为 F (0,2) ,对应准线为 y ? 4 ,则 m n

m ? . n 14. 5 位同学参加演讲比赛,决出了第一至第五的名次.评委告诉甲、乙两位同学: “你们 两位都没有拿到冠军,但乙不是最差的” .则 5 位同学的排名顺序有 种不同
情况(要求用数字作答) . 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (cos ? ?

??

? ? 2 , ?1), n ? (sin ? ,1), m 与 n 为共线向量,且 ? ? [? , 0] . 2 3

(Ⅰ)求 sin ? ? cos ? 的值; (Ⅱ)求

sin 2? 的值. sin ? ? cos ?

16. (本小题满分 13 分) 将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验.如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点 数之和大于 9 时,则称这次试验成功. (Ⅰ)求一次试验成功的概率; (Ⅱ)在试验成功的所有情况中,以 ? 表示两次抛掷的骰子所出现的点数之和,求 ? 的概率分布列及数学期望.
数学试题 第 3 页 共 13 页

17. (本小题满分 14分) 已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) . x ?3
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 单调区间和极值; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,1) ,使 f ?( x0 ) ? [ f ( x0 )]2 ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分)

PA PA 如图,ABCD 是矩形, ? 平面 ABCD , ? AD ? a, AB ?
上的点, F 是线段 AB 上的点,且 (Ⅰ)当 ? ?

E 2a , 是线段 PD

PE BF ? ? ? (? ? 0) . ED FA

1 时,求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值; 2 P (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成角 E 为 60? ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请
说明理由.

F B
19. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 C :

A

D

C

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,焦点到渐近线的距离为 a2 b2

2 3 .点 P 的坐标为 (0, ?2) , 过 P 的直线 l 与双曲线 C 交于不同两点 M 、 N .
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)当 PM ? 2PN 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设 t ? OM ? OP ? OM ? PN ( O 为坐标原点),求 t 的取值范围.

???? ?

????

数学试题

第 4 页 共 13 页

20. (本小题满分 13 分) 已知点 P 在曲线 C : y ?

1 ( x ? 1) 上, 曲线 C 在点 P 处的切线与函数 y ? kx(k ? 0) 的 x

图象交于点 A ,与 x 轴交于点 B . 设点 P 的横坐标为 t ,点 A 、B 的横坐标分别为 xA 、

xB ,记 f (t ) ? xA ? xB .
(Ⅰ)求 f (t ) 的解析式; (Ⅱ) 设数列 {an }(n ? 1, n ? N ) 满足 a1 ? 1 , an ? f ( an?1 )(n ? 2) , 求数列 {an } 的 通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 1 ? k ? 3 时,证明不等式: a1 ? a2 ? ? ? an ?

3n ? 8k . k

数学试题

第 5 页 共 13 页

2005 年深圳市高三年级第一次调研考试(数学)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 C 10 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 ; 三、解答题 (15) 解:(Ⅰ) ? m 与 n 为共线向量, ? ( c o? ? s 12. 1 ; 13.

1 ; 2

14. 54 .

2 ? ) ?1 ? ( ? 1 )? s? n , i 3

0

即 sin ? ? cos ? ?

2 . 3
2

------------------------------------5 分

(Ⅱ) ?1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) ?

2 7 ,? sin 2? ? ? . ----------------------------8 分 9 9

? (sin? ? cos? ) 2 ? (sin? ? cos? ) 2 ? 2 ,
? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ? (
又? ? ? [ ?

2 2 16 ) ? . 3 9

4 , 0] ,? sin ? ? cos ? ? 0 , sin ? ? cos ? ? ? .------------------------11 分 2 3 sin 2? 7 ? 因此, . ------------------------------------13 分 sin ? ? cos ? 12 (16) 解: (Ⅰ) 设一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于 9 的事件为 A ,

?

(i, j ) 表 示 : 抛 掷 的 骰 子 第 一 次 出 现 的 点 数 为 i , 且 第 二 次 出 现 的 点 数 为
数学试题 第 6 页 共 13 页

j (i, j ? 1, 2,3, 4,5,6) , 则 抛 掷 两 次 骰 子 所 出 现 的 点 数 之 和 大 于 9 的 情 况 为 :

(4,6),(5,5),(5,6),(6, 4),(6,5),(6,6)
则一次试验成功的概率为 P ( A) ?

--------------4 分

6 1 ? . 6?6 6

------------------7 分

(Ⅱ) 在试验成功情况下 ? 的取值为 10,11,12 .

? 试验成功的所有情况有: (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,4) , (6,5) , (6,6) . ? ? ? 10 表示基本事件 (4,6),(5,5),(6, 4) ,则 P(? ? 10) ?
3 1 ? , 6 2

? ? 11 表示基本事件 (5,6),(6,5) ,则 P(? ? 11) ?
? ? 12 表示基本事件 (6, 6) ,则 P (? ? 12 ) ?
? ? 的概率分布列为:
1 , 6

2 1 ? , 6 3

?
P

10

11

12

1 2

1 3

1 6

------11 分

? ? 的数学期望为: E? ? 10 ?

1 1 1 32 ? 11 ? ? 12 ? ? .----------------------------13 分 2 3 6 3 x 3 ? x2 , f ?( x) ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 , x2 ? 3 ( x ? 3)2
-------------------------------------3 分

(17)解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 得 x ? ? 3.

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ? 3)


? 3
0
极小

(? 3, 3)
+

3
0
极大

( 3, ??)


? f ( x) 单调增区间为 (? 3, 3) ,单调减区间为 (??, ? 3) 、 ( 3, ??) ,
数学试题 第 7 页 共 13 页

函数 f ( x ) 的极大、极小值分别为

3 3 和? . 6 6

--------------------------------7 分

(Ⅱ) f ?( x0 ) ?

3a ? ax02 3a ? ax0 2 ? a 2 x0 2 , f ?( x0 ) ? [ f ( x0 )]2 ? ?0 ( x02 ? 3)2 ( x0 2 ? 3)2
? a ? 0 ,? (1 ? a) x0 ? 3 .
2

? 3a ? ax02 ? a2 x02 ? 0 ,
2

当 1 ? a ? 0 时,方程 (1 ? a) x0 ? 3 无解;当 1 ? a ? 0 时, x0 ?
2

3 .--------11 分 1? a

? x0 ? (0,1) ,? x0 ? (0,1) , 即 0 ?
2

3 ? 1 ,解得 a ? 2 . 1? a
----------------------14 分

因此,实数 a 的取值范围为 (2, ??) .

1 PE BF 1 ? ? ? , PA ? 平面 ABCD , E 作 EM ? AD 时, 过 2 ED FA 2 于 M ,则 EM ? 平面 ABCD ,连 FM ,则 ?EFM P 为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角.----------------------2 分 2a E EM ? , FM ? AM 2 ? AF 2 3

? (18) [解法一]:(Ⅰ) ?

2 ? a ? ? 2 2a ? --------------------5 分 ? ? ? ?? ? ? a. A ?3? ? 3 ? D ? ? M F EM 2 ? . 在 Rt ?FEM 中, tan ?EFM ? B C FM 3 2 ? sin ?EFM ? 13 . -----------------------------------------------------7 分 13

2

(Ⅱ)设存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60? .

? AB // CD ,? ?AFE 为异面直线 EF 与 CD 所成的角,则 ?AFE ? 60? .------8 分

? PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AB ,
又? ABCD 是矩形,? AB ? AD ,

P

? AB ? 平面 PAD .连 AE ,则 ?FAE ? 90? .

E

?

PE BF ? ??, ED FA
F
数学试题 第 8 页 共 13 页

A

M

D

B

C

? EM ?

a a? 2a , AM ? , AF ? . 1? ? 1? ? 1? ?

在 Rt?AME 中, AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? ( 在 Rt ?FAE 中,tan ?AFE ?

a? 2 a 2 a 2 (?2 ? 1) .--------11 分 ) ?( ) ? 1? ? 1? ? (1 ? ? ) 2

AE AE ? , tan 60? ? ,AE ? 3 AF , AE 2 ? 3 AF 2 . 即 AF AF
? ? ? 0 ,? ? ? 5 .

a 2 (? 2 ? 1) 2a 2 ,解得 ? ? ? 5 . ? 3? ? (1 ? ? )2 (1 ? ? )2

因此,存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60? ,且 ? 的值为 5 .-14 分 [解法二]:如图以 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AD 、 AP 所在的直线为 x 轴、 y 轴、

z 轴,建立空间直角坐标系.

? PA ? AD ? a, AB ? 2a ? P(0,0, a), A(0,0,0),
P

z
E

B( 2a,0,0), C( 2a, a,0), D(0, a,0) .--------------3 分
(Ⅰ) ? ?

??? 1 ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? 1 时, PE ? ED, BF ? FA , 2 2 2
F
A D y

a 2a 2 2a ? E (0, , ), F ( , 0, 0) , 3 3 3

??? ? 2 2a a 2a EF ? ( ,? ,? ) 3 3 3

x

B

C

记平面 ABCD 的一个法向量为 n ,取 n ? (0,0,1) ,设直线 EF 与平面 ABCD 所成角为

?

?

?,
EF ? n EF ? n ( ? 2 2 a a 2a ,? ,? ) ? (0,0,1) 3 3, 3

13a 3 (Ⅱ)设存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成角为 60? . ?a a , ), 由已知,可得点 E 、 F 的坐标为 E (0, 1? ? 1? ?
数学试题 第 9 页 共 13 页

则 sin ? ?

?

2 13 . 13

-----------------7 分

??? ? 2a ?a a 2a ,? ,? ), F( , 0, 0) , EF ? ( 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

z
P E

CD ? (? 2a,0,0) ,-----------------------11 分
??? ??? ? ? | EF ? CD | ? ? cos 60? ? ??? ??? | EF | ? | CD |
2a ?a a ( ,? ,? ) ? (? 2a,0,0) 1 ? ? 1 ? ?, 1 ? ? a ?2 ? 3 ? 2a 1? ?
2
F

A

D y

?

1 ? 2

x

B

C

?

? ?3
2

?

1 , ? 2 ? 5 ,解得 ? ? ? 5 . ? ? ? 0 ,? ? ? 5 . 2

因此,存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60? ,且 ? 的值为 5 .--14 分 (19)解: (Ⅰ) ? 双曲线 C 的渐近线方程为 bx ? ay ? 0 ,

? 焦点 (c , 0) 到渐近线的距离等于

b?c ? a?0 a ?b
2 2

? b ,则 b ? 2 3 .

? 双曲线 C 的离心率为 2 ,? c ? 2a ,
由 b ? c ? a ? (2a) ? a
2 2 2 2 2

,解得 a ? 2 .

? 双曲线的方程为:

x2 y 2 ? ?1. 4 12

--------------------------------4 分

(Ⅱ)[方法一]? 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与双曲线 C 没有交点,? 可设直线 l 方程 为 y ? kx ? 2 ,点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2) 、 ( x2 , kx2 ? 2) . 当 PM ? 2PN 时, x1 ? 2 x2 ,有 ?

???? ?

??? ?

? x1 ? x2 ? 3 x2, x ?x ? x1 ? x2 ? 2( 1 2 ) 2 , 2 3 ? x1 ? x2 ? 2 x2

即 9 x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 )2 . ----------------------①

数学试题

第 10 页 共 13 页

? y ? kx ? 2, ? 由 ? x2 y2 ,消去 y 并整理得: (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ?16 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 12

? 直线 l 与双曲线 C 交于不同两点,
?3 ? k 2 ? 0 且 ? ? 16k 2 ? 4(3 ? k 2 )(?16) ? 0 ,即 ?2 ? k ? 2 且 k ? ? 3 .-----② -- 6 分

4k ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 3 , ? ?? ? x ? x ? 16 , ? 1 2 k2 ?3 ?

? 由①有 9 ?

16 4k 2 3 21 ? 2( 2 ) ,解得 k ? ? 满足②. k ?3 k ?3 7
2

???? ???? ? 3 21 3 21 x?2 或 y ? ? x ? 2 .------9 分 ? 当 PM ? 2PN 时,直线 l 的方程为: y ? 7 7
[方法二]前面同方法一,由方程 (3 ? k ) x ? 4kx ?16 ? 0 ,解得 x ?
2 2

? 2k ? 2 12 ? 3k 2 . 3?k2

(1)当 x1 ?

? 2k ? 2 12 ? 3k 2 ? 2k ? 2 12 ? 3k 2 , x2 ? 时,由 x1 ? 2x2 , 3? k2 3? k2



? 2k ? 2 12 ? 3k 2 ? 2k ? 2 12 ? 3k 2 ? 2? ? 3 12 ? 3k 2 ? ?k , 2 2 3?k 3?k

解得 k ? ?

3 . 21 (正值舍去) 7

----------------------------------------------7 分

(2)当 x1 ?

? 2k ? 2 12 ? 3k 2 ? 2k ? 2 12 ? 3k 2 , x2 ? ,时,由 x1 ? 2x2 , 3? k2 3? k2

? 3 12 ? 3k 2 ? k ,解得 k ? ?

3 . 21 (负值舍去) 7

综 合 ( 1 ) ( 2 ) 得 , ? 当 PM ? 2PN 时 , 直 线 l 的 方 程 为 : y ? 、

???? ?

????

3 21 x?2 或 7

y??

3 21 x ? 2. 7

---------------------------------------------------------------------9 分

[方法三]设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由 PM ? 2PN ,得 ?

???? ?

??? ?

x1 ? 2 x2, ┅(*)6 分 ? y1 ? 2( y2 ? 1). ?

数学试题

第 11 页 共 13 页

? x12 y12 ? 4 ? 12 ? 1, ? 又 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1. ? 4 12 ?
解得 y2 ? 4, x2 ? ?

┅┅┅┅(**)

把(*)代入(**)得 ?

2 ?3 x2 ? ( y2 ? 1) 2 ? 3, 2 2 ? 3 x2 ? y2 ? 12,

2 21 . 3

? kl ?

y2 ? 2 3 21 . ?? x2 7

--------------------8 分

又渐近线的斜率为 ? 3 . 结合图象知当 k ? ? 点 因此,当 PM ? 2PN 时,直线 l 的方程为: y ?

3 21 时直线 l 与双曲线 C 有两个不同交 7

???? ?

????

3 21 3 21 x?2 或 y ? ? x ? 2 .--9 分 7 7

(Ⅲ) t ? OM ? OP ? OM ? PN ? OM ? (OP ? PN) ? OM ? ON

? ( x1 , kx1 ? 2) ? ( x2 , kx2 ? 2) ? x1 ? x2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2)

? (k 2 ? 1) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (k 2 ? 1) ?
? 12 ? 40 . k ?3
2

16 4k ? 2k ? 2 ?4 k ?3 k ?3
2

-------------------------------------11 分

? 0 ? k 2 ? 4 且 k 2 ? 3 ,?

40 40 40 ? 40 或 2 ?? . 3 k ?3 k ?3 4 因此, t 的取值范围是: t ? 52 或 t ? ? . --------------------------------13 分 3
2

(20)解: (Ⅰ)? y ?

1 1 1 的导数 y? ? ? 2 ,又? 点 P 的坐标为 (t , ) ,? 曲线 C 在 P 点的 x t x
令 y ? 0, 得 xB ? 2t .

切线的斜率为 ?

1 1 1 ,则该切线方程为 y ? ? ? 2 ( x ? t ), 2 t t t

? y ? kx, 2t 4t 2 2t ? 由? 得 xA ? 2 .? xA ? xB ? 2t ? 2 .----------- 3 分 ? 2 1 1 y ? ? ? 2 ( x ? t ), kt ? 1 kt ? 1 kt ? 1 ? t t ?

数学试题

第 12 页 共 13 页

因此, f (t ) 的解析式为: f (t ) ?

4t 2 (t ? 1) . kt 2 ?1

------------------------------------- 4 分

(Ⅱ) n ? 2 时, an ?

1 k 1? 1 k? 4an?1 1 kan?1 ? 1 1 1 k ? ?. , ? ? ? ? ,即 ? ? ? an 3 4 ? an ?1 3 ? kan?1 ? 1 an 4an?1 4 an?1 4

① 当 k ? 3 时,?

?1 ? 1 k ? ? 0, ? 数列 ? ? 1? 是以 0 为首项的常数数列,则 an ? 1 ; a1 3 ? an ? ? 1 k? k 1 ? ? 是以 1 ? 为首项, 为公比的等比数列,----------7 分 3 4 ? an 3 ?
n ?1

② 当 k ? 3 时,数列 ?

1 k ? k ?? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? an 3 ? 3 ? ? 4 ?
综合①、②得 an ?

,解得 an ?

3 ? 4n?1 . k ? 4n?1 ? 3 ? k
-------------------------------------9 分

3 ? 4n?1 . k ? 4n?1 ? 3 ? k

3k ? 9 3 ? 4n?1 3 3 3k ? 9 ?0, (Ⅲ) an ? ? ,?1 ? k ? 3 , ? ? ? n ?1 n ?1 k k k ? 4 ? 3 ? k k k (k ? 4 ? 3 ? k )

1 1 3 3k ? 9 1 3k ? 9 1 .? an ? ? , ? ? ? ? n ?1 n ?1 k ?4 ?3? k k ?4 k k k ?4 k 2 4n ?1
n ?1

则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

3n ? 8k 3 3 3 ? (a1 ? ) ? (a 2 ? ) ? ? ? (a n ? ) ? 8 k k k k

?

3k ? 9 ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? n?1 ? ? 8 2 k ? 4 4 ?
4(2k ? 3)(k ? 1) k2 4(2k ? 3)(k ? 1) ? 0. k2

?

4(k ? 3) ? 1 n? 2 ?1 ? ( 4 ) ? ? 8 k ? ?

?

4(k ? 3) ?8 k2

?

?1 ? k ? 3 , ?
因此,不等式

a1 ? a2 ? ? ? an ?

3n ? 8k k

成立.-------------------------------------13 分

数学试题

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