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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.12


讲案 2.12 函数的图象及其变换 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.描点法作图 (1)确定函数的__________;(2)化简 函数__________;(3)讨论函数的性质(奇 偶性、单调性、周期性);(4)画出函数的 图象. 2.图象变换法作图 (1)平移变换: 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以由 y = f(x) 的 图 象 __________________________而得到; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象可以由 y = f(x) 的 图 象 __________________________而得到. (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,且 A≠1)的图 象 可 由 y = f(x) 的 图 象 上 各 点 的 __________________________________

__,横坐标不变而得到; 函数 y=f(ωx)(ω>0,且 ω≠1)的图 象 可 由 y = f(x) 的 图 象 上 各 点 的 __________________________________ ,纵坐标不变而得到. (3)对称变换: 函数 y=-f(x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于__________对称的图 象而得到; 函数 y=f(-x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于__________对称的图 形而得到; 函数 y=-f(-x)的图象可通过作函 数 y=f(x)的图象关于__________对称的 图形而得到; 函数 y=|f(x)|的图象是可通过作函 数 y = f(x) 的 图 象 , 然 后 ________________________,其余部分 保持不变而得到; 函数 y=f(|x|)的图象是:函数 y= f(x)______________________________. 导 读 校 对 : 1.(1) 定 义 域 解 析 式

2.(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单 位 向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单 位 (2)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A <1)到原来的 A 倍 横坐标缩短(ω>1) 1 或伸长(0<ω<1)到原来的ω倍 (3)x 轴 y 轴 原点 把在 x 轴下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到 x 轴上方 在 y 轴右侧 的部分及其该部分关于 y 轴对称的部分 基 础 热 身 1 1.函数 y=1- 的图象是( x-1 )

解法一:特殊值法. 当 x=0 时,y=2;当 y=0 时,x= 2.观察图形应选 B. 解法二:图象变换法.

1 1 可将 y=1- 的图象看成 y=-x x-1 的图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位所得. 答案:B 2.已知图①中的图象对应函数为 y =f(x),则图②中的图象对应的函数,在 下列给出的四式中,只可能是( )

A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|) 解析: 由图象知, x<0 时, 当 y=f(x) 对应的图象无变化,∴当 x<0 时,x= -|x|. 答案:C 3.如图所示,那么函数 y=|f(x+1)| 的图象是( )

解析:先将 y=f(x)图象向左平移 1 个单位,再将 x 轴下方图象关于 x 轴对 称过来即得 A. 答案:A 4x+1 4.(2010· 重庆卷)函数 f(x)= 2x 的 图象( ) A.关于原点对称 B.关于直线 y =x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对 称 4x+1 - 解 析 : ∵f(x) = 2x = 2x + 2 x , ∴f(-x)=f(x),是偶函数. 答案:D 5. 若函数 y=x2+(a+2)x+3, x∈[a, b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b= __________. 解析:二次函数 y=x2+(a+2)x+3 的图象关于直线 x=1 对称,说明二次函

a+2 数的对称轴为 1,即- 2 =1.∴a=- 4.而 f(x)是定义域在[a,b]上的,即 a、b a+b 关于 x=1 也是对称的,∴ 2 =1.∴b =6. 答案:6 6.把函数 y=log3(x-1)的图象上各 1 点的横坐标缩小到原来的2,再向右平移 1 2个单位,所得图象的解析式为 __________. 答案:y=log3(2x-2) 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.识图 对于给定函数的图象,要能从图象 的左右、上下的分布范围、变化趋势、

对称性等方面研究函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性,注意图象与 函数解析式中参数的关系. 2.用图 函 数 图 象 形 象地显示了函数的性 质,为研究数量关系问题提供了“形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问 题结果的重要工具,要重视数形结合解 题的思想方法. 3.图象的对称性的证明 (1)证明函数图象的对称性,即证明 其图象上的任一点关于对称中心(或对 称轴)的对称点仍在图象上.要熟悉一些 常见的函数图象对称性的判定方法,如 奇、偶函数的图象,还要证明 y=f(x)的 图象关于直线 y=x 对称, 只要证明 f-1(x) =f(x).若 f(a+x)=f(a-x),则 f(x)的图 象关于 x=a 对称. (2)证明曲线 C1 与 C2 的对称性,即 要证明 C1 上任一点关于对称中心(对称 轴)的对称点在 C2 上,反之亦然. 4.常见结论

(1)若 f(a+x)=f(b-x),x∈R 恒成 a+b 立, y=f(x)的图象关于 x= 2 成轴对 则 称图形. (2)函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x) 1 的图象关于直线 x=2(b-a)对称. (3)若定义在 R 上的函数 f(x)关于直 线 x=a 与 x=b(b>a)都对称,则 f(x)为 周期函数, 2b-2a 是它的一个周期(未必 是最小正周期,下同). (4)若定义在 R 上的函数关于点(a, c)和(b,c)(b>a)成中心对称,则 f(x)是周 期函数,2b-2a 是它的一个周期. (5)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象 关于点(a,c)成中心对称,又关于直线 x =b(b>a)成轴对称,则 f(x)是周期函数, 4b-4a 是它的一个周期. 互动探究 题型 1 作函数的图象 例 1.作出下列函数的图象:

1 |x| (1)y=(2) ;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y 2x-1 = . x-1

利用图象变换作图. 1x 1x (1)作出 y=(2) 的图象, 保留 y=(2) 1x 图象中 x≥0 的部分, 加上 y=(2) 的图象 中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 1 |x| y=(2) 的图象(如图)

【解析】

(2)作出 y=log2x 的图象,将此图象 向左平移 1 个单位,得到 y=log2(x+1) 的图象,再保留其 y≥0 的部分,加上其 y<0 的部分关于 x 轴的对称部分,即得 y=|log2(x+1)|的图象(如图)

2x-1 1 (3) 由 y= 得 y= +2. x-1 x-1 1 1 作出 y=x 的图象, y= x的图象. 将 向 右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位, 1 即得 y= +2 的图象(如图) x-1

题型 2 函数图象的识别 例 2.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导 函数的图象如图所示,那么 y=f(x),y= g(x)的图象可能是( )

【解析】 由已知图象知函数 g′(x) 为增函数, ′(x)为减函数且都在 x 轴上 f

方, ∴g(x)的图象上任一点的切线的斜率 在增加, f(x)的图象上任一点的切线的 而 斜率在减少,又由 f ′(x0)=g′(x0). 答案:D

题型 3 函数图象的对称性 例 3.(1)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,f(m+x)=f(m-x)恒成 立,求证:y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称; (2)若函数 y=log2|ax-1|的图象的对 称轴是 x=2,求非零实数 a 的值. 【解析】 (1)证明:设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点,则 y0=f(x0),又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′,则 P′ 的坐标为(2m-x0,y0),由已知 f(x+m) =f(m-x),得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)]=f[m-(m -x0)] =f(x0)=y0,则 P′(2m-x0,y0)在 y

=f(x)的图象上,故 y=f(x)的图象关于直 线 x=m 对称. (2)对定义域内的任意 x,有 f(2-x) =f(2+x)恒成立, ∴|a(2 - x) - 1| = |a(2+ x) - 1| 恒 成 立,即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|.又 1 ∵a≠0,∴2a-1=0,得 a=2. 错解辨析 例 4.设函数 y=f(x)定义在实数集 上,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图 象关于( ) A.直线 y=0 对称 B.直线 x =0 对称 C.直线 y=1 对称 D.直线 x=1 对称 【错解】 ∵函数定义在实数集上 且 f(x-1)=f(1-x), ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=0 对称. 【错因】 这里的错误主要是把两

个不同的对称问题混为一谈.即对称问 题中有一结论.设函数 y=f(x)定义在实 数集上,且 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x) 关于直线 x=a 对称,这个结论只对于一 个函数而言,而本题是关于两个不同函 数的对称问题,若套用这一结论,必然 得到一个错误的答案. 【正解】 作为一选择题可采用如 下两种解法:常规求解法和特殊函数法. 下面只讲常规求解法.∵y=f(x), x∈R,而 f(x-1)的图象是 f(x)的图象向 右平移 1 个单位而得到的,又 f(1-x)= f[-(x-1)]的图象是 f(x)的图象也向右平 移 1 个单位而得到的,因为 f(x)与 f(-x) 的图象关于 y 轴(即直线 x=0)对称, 因此 f(x-1)与 f[-(x-1)]的图象关于直线 x= 1 对称. 【答案】 D


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