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2.2.2--2.2.4平面与平面平行的判定和性质


备课教案
课 课 题 型 2.2.2--2.2.4 平 面与平面平行 主备人 的判定和性质 新授课 汇课地点 邹成琼 高中数学办 公室 参与教师 汇课时间 胡小洲、岳 雷、郭善文

三维目标
(法制渗透)

1、知识与技能 (1)理解并掌握平面与平面平行的判定定理; (2)掌握两个平面平行的性质定理及其应用 (3)进一步

培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2、过程与方法 学生通过观察与类比,借助实物模型理解及其应用 3、情感、态度与价值观 (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 教学重点:平面与平面平行的判定与性质. 教学难点:平面与平面平行的判定. 观察、思考、交流、讨论、概括 共 2 课时

重难点 教法方法

课时安排 教学准备

投影仪、直尺

教学过程 第一课时 授课时间:
(一)导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔,蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线, 当蜻蜓的翅膀与地面平行时,蜻蜓所在的平面是否与地面平行?直升飞机的所 有螺旋桨与地面平行时,能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行?由此请大家 探究两平面平行的条件. 思路 2.(事例导入) 三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗? 三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢?下面我们讨论平面 与平面平行的判定问题. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆空间两平面的位置关系. ②欲证线面平行可转化为线线平行,欲判定面面平行可如何转化? ③找出恰当空间模型加以说明.

个性化设 计

④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理. ⑤应用面面平行的判定定理应注意什么? ⑥利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一 个平面内的直线具有什么位置关系? ⑦回忆线面平行的性质定理,结合模型探究面面平行的性质定理. ⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里? ⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么? 活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学 生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆两平面的位置关系. 问题②面面平行可转化为线面平行. 问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题④引导学生进行语言转换. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件. 问题⑥引导学生画图探究,注意考虑问题的全面性. 问题⑦注意平行与异面的区别. 问题⑧引导学生进行语言转换. 问题⑨作辅助面. 问题⑩引导学生自己总结,把握面面平行的性质. 讨论结果:①如果两个平面没有公共点,则两平面平行 ? 若 α∩β= ? ,则 α∥β. 如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交 ? 若 α∩β=AB,则 α 与 β 相 交. 两平面平行与相交的图形表示如图 1.

图1 ②由两个平面平行的定义可知:其中一个平面内的所有直线一定都和另一 个平面平行.这是因为在这些直线中,如果有一条直线和另一平面有公共点,这 点也必是这两个平面的公共点,那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面, 若一个平面内所有直线都和另一个平面平行, 那么这两个平面平行, 否则,这两个平面有公共点,那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行 于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行 的问题,但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平 行于另一平面,到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另 一面平行,才能判定两个平面平行呢? ③如图 2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,两个平面不一定 平行.

图2 例如:AA′ ? 平面 AA′D′D,AA′∥平面 DCC′D′; 但是 , 平面 AA′D′D∩ 平面 DCC′D′=DD′. 如图 3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行,两个平面也不一定 平行.

图3 例如: AA′ ? 平面 AA′D′D,EF ? 平面 AA′D′D,AA′∥平面 DCC′D′,EF∥平面 DCC′D′;但是,平面 AA′D′D∩平面 DCC′D′=DD′. 如图 4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面 一定平行.

图4 例如: A′C′ ? 平面 A′B′C′D′,B′D′ ? 平面 A′B′C′D′,A′C′∥平面 ABCD,B′D′∥ 平面 ABCD;直线 A′C′与直线 B′D′相交. 可以判定,平面 A′B′C′D′∥平面 ABCD. ④两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行. 以上是两个平面平行的文字语言,另外面面平行的判定定理的符号语言 为: 若 a ? α,b ? α,a∩b=A,且 a∥α,b∥β,则 α∥β. 图形语言为:如图 5,

图5 ⑤利用判定定理证明两个平面平行,必须具备: (Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面; (Ⅱ)这两条直线必须相交. 尤其是第二条学生容易忽视,应特别强调. ⑥如图 6,借助长方体模型,我们看到,B′D′所在的平面 A′C′与平面 AC 平

行,所以 B′D′与平面 AC 没有公共点.也就是说,B′D′与平面 AC 内的所有直线 没有公共点.因此,直线 B′D′与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是 平行直线.

图6 ⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行. 因为,直线 B′D′与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直 线,只要过 B′D′作平面 BDD′B′与平面 AC 相交于直线 BD,那么直线 B′D′与直 线 BD 平行. 如图 7.

图7 ⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

? // ? ? ? 两个平面平行的性质定理用符号语言表示为: ? ? ? ? a ? ? a∥b. ? ? ? ? b? ?
两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图 8.

图8 ⑨应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面. ⑩应用线面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个 平面的交线.” (三)应用示例 思路 1 例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,如图 9,求证:平面 AB1D1∥平面 BDC1.

图9 活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的 解答,发现问题及时纠正,并及时评价. 证明:∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形. ∴AD1∥BC1. 又 AD1 ? 平面 AB1D1,BC1 ? 平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1. 同理,BD∥平面 AB1D1. 又 BD∩BC1=B,∴平面 AB1D1∥平面 BDC1. 变式训练 如图 10,在正方体 ABCD—EFGH 中,M、N、P、Q、R 分别是 EH、EF、BC、 CD、AD 的中点,求证:平面 MNA∥平面 PQG.

图 10 证明:∵M 、 N 、 P 、 Q 、 R 分别是 EH 、 EF、 BC 、 CD 、 AD 的中点, ∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形 RPGH 为平行四边形,四 边形 ARHM 为平行四边形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG. ∵MN∥PQ,MN ? 平面 PQG,PQ ? 平面 PQG,∴MN∥平面 PQG. 同理可证,AM∥平面 PQG.又直线 AM 与直线 MN 相交, ∴平面 MNA∥平面 PQG. 点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线 线平行,所以关键是证线线平行. 例 2 证明两个平面平行的性质定理. 解:如图 11,已知平面 α、β、γ 满足 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥b.

图 11 证明:∵平面 α∥平面 β, ∴平面 α 和平面 β 没有公共点. 又 a ? α,b ? β, ∴直线 a、b 没有公共点. 又∵α∩γ=a,β∩γ=b, ∴a ? γ,b ? γ.∴a∥b. 变式训练 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. 解:已知 α∥β,γ∥β,求证:α∥γ. 证明:如图 12,作两个相交平面分别与 α、β、γ 交于 a、c、e 和 b、d、f,

图 12

? // ? ? ?

?a // c ? ? ?b // d ? ?a // e ? a // ? ? ??? ? ? ? // ? . ?c // e ? ?b // f ? b // ? ? ? // ? ? ? ?d // f ? ?

点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面. (四)知能训练 已知:a、b 是异面直线,a ? 平面 α,b ? 平面 β,a∥β,b∥α. 求证:α∥β. 证明:如图 13,在 b 上任取点 P,显然 P ? a.于是 a 和点 P 确定平面 γ,且 γ 与 β 有公共点 P.

图 13 设 γ∩β=a′,∵a∥β,∴a′∥a.∴a′∥α.

这样 β 内相交直线 a′和 b 都平行于 α,∴α∥β. (五)拓展提升 1.如图 14,两条异面直线 AB、CD 与三个平行平面 α、β、γ 分别相交于 A、E、 B 及 C、F、D,又 AD、BC 与平面的交点为 H、G.

图 14 求证:EHFG 为平行四边形.

平面ABC ? ? ? AC ? ? 证明: 平面ABC ? ? ? EG? ? AC∥EG.同理,AC∥HF. ? ? // ? ?

AC // EG ? ? ?EG∥HF.同理,EH∥FG.故 EHFG 是平行四边形. AC // HF ?
课时小结:
知识总结:利用线面平行的判定定理证明线面平行. 方法总结:利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性 质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

课堂练习:
课本 P58 第 1、2、3 题

布置作业:课本书 P61
一、相关概念三、例题分析 二、定理

A 组 4、5、6 题

板书设计

课堂练习

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日

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