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导数的加减法法则


复习回顾
计算导数的步骤: * 计算导数的步骤: 求导“三步曲” 求 求导“三步曲”: ?y * 导函数定义: 导函数定义: 求
?y ?x

?y 求 lim ?x→0 ?x

f (x + ?x) ? f (x) f ′( x) = lim ?x→0 ?x
的函数, 导函数,也简称导 f ′(x ) 是 x 的函数,称之为 f (x ) 的导函数,也简称导 数。

常用导数公式: * 常用导数公式: (1) C ′ = 0 (C为常数) )

( x n )′ = nx n ?1 ( n ∈ R ) (2) )
(3) (sin x )′ = cos x ) (4) (cos x )′ = ? sin x )

? ?
问题: 问题:
我们前面学习了求单个函数的导数的方法, 我们前面学习了求单个函数的导数的方法, 如果给出两个函数并已知它们的导数,如何求它 如果给出两个函数并已知它们的导数, 们的和、 们的和、差、积、商的导数呢? 商的导数呢?

的导函数。 求 f ( x ) = x + x 2 的导函数。 ?y ?x + 2 x?x + ?x 2 ?y = ( x + ?x ) + ( x + ?x ) 2 ? x ? x 2 = ?x ?x 2 = ?x + 2 x?x + ?x = 1 + 2 x + ?x

f ′( x ) = 1 + 2 x
2

∴ x′ + ( x )′ = 1 + 2 x = ( x + x )′
2

′ = x′ + ( x 2 )′ (x + x )
2

所以 同理

[ f (x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x) ′ [ f (x) ? g(x)] = f ′(x) ? g′(x)



概括

两个函数和( 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 的导数, 数的和( ),即 数的和(差),即

[ f (x) + g(x)] [ f (x) ? g(x)]



= f ′( x) + g′( x) = f ′( x) ? g′( x)



求下列函数的导数: 例1 求下列函数的导数: (1) y )

= x +2
2

x

(2) y )

= x ? ln x
分析

1 的切线方程。 例2 求曲线 y = x ? 过点 (1,0) 的切线方程。 x
3

分析

动手做一做
1. 求下列函数的导数: 求下列函数的导数:

y′ =

2 3 x
x

3

+2

(1) y = 3 x 2 + 2 x ( 2) y = 4 + log 3 x
x

1 y′ = 4 ln 4 + x ln 3

( 3) y = sin x ? e

x

y′ = cos x ? ex
y′ = 1 ? 2 2 x cos x 1

(4) y = x 0.5 ? tan x
2. 使得函数 y 个?
3

的导数等于0的 = 2 x ? 6 x 的导数等于 的 x 值有几 两个, 两个,±1 例2

动手做一做
1. 求曲线 程。

y = cosx 在 x =
1 k =? 2

π
处的切线斜率和方

x + 2y ? 3 ?

6

π
6

=0

2. 若曲线 f ( x ) = x 4 ? x 在 P 处的切线平行于直 线 y = 3 x ,求 P 点坐标。 (1,0) 点坐标。 提示:导数等于切线斜率时,可求得P的坐标。 提示:导数等于切线斜率时,可求得P的坐标。 3. 已知 y = ax 3 + 3 x 2 + 2,它在 线斜率是 4 ,求 a 值。

x = ?1处的切

10 a= 3

小结
求导的加减法法则: * 求导的加减法法则: 两个函数和( 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 的导数, 数的和( ),即 数的和(差),即

[ f (x) + g(x)]



= f ′( x) + g′( x)

[ f (x) ? g(x)]′ = f ′(x) ? g′(x)

课后练习
1. 求下列函数的导数: 求下列函数的导数:
(1) y = 3 x 4 ? 23 x 2 + 40 x ? 10 2 3 4 ( 2) y = 1 + + 2 ? 3 x x x 1 ( 3) y = 3 ? x 3 ? 7 x 2 + 3 x

2. 函数 f ( x ) = a 4 + 5a 2 x 2 ? x 6 的导数是_______ 的导数是 3. 求曲线 y = x 3 + x + 1 在点 ( 1 , 3 ) 处的切线方程。 处的切线方程。 结束

分析: 分析: 直接考查导数加减法的计算法则,基础题型, 直接考查导数加减法的计算法则,基础题型, 需要熟悉运算法则:两函数和(差)的导数等于这 需要熟悉运算法则:两函数和( 两个函数导数的和( 两个函数导数的和(差)。

[ f (x) ± g(x)]



= f ′(x) ± g′(x)
解答

解:
2

g ( x ) = 2 x ,则 (1)设 f ( x ) = x 与 )
f ′( x ) = 2 x
由函数和的求导法则
x

它们的导数分别 依据是? 是?依据是?

g′( x ) = 2 ln 2

导数公式

[ f (x) + g(x)]
可得: 可得:



= f ′( x) + g′( x)

( x 2 + 2 x )′ = 2 x + 2 x ln 2

(2)由函数差的求导法则 )

[ f (x) ? g(x)]
可得: 可得:



= f ′( x) ? g′( x)

1 ( x ? ln x )′ = ( x )′ ? (ln x )′ = ? 2 x x
巩固练习

1

分析: 分析: 本题中,要求过已知点的切线方程, 本题中,要求过已知点的切线方程,应求出切线 的斜率,而前面学习了导数的几何意义,导数即是切 的斜率,而前面学习了导数的几何意义, 线的斜率, 线的斜率,所以只要求出函数在 可写出切线方程。 可写出切线方程。 处的导数, x = 1处的导数,即

解答

解:

1 设 f ( x) = x 和 g ( x) = , x ′ 由函数差的求导法则 [ f ( x) ? g( x)] = f ′( x) ? g′( x) 及求导公式可得: 及求导公式可得: 1 1 1 3 3 2 ( x ? )′ = ( x )′ ? ( )′ = 3 x ? ( ? 2 ) x x x 代入上式得: 将 x = 1 代入上式得: 1 3 × 1 + = 4 即 k切线 = 4 1 故所求切线方程为: 故所求切线方程为: y ? 0 = 4( x ? 1)
3

即 4x ? y ? 4 = 0

巩固练习

导数公式: * 导数公式: (1) C ′ = 0 (C为常数) )

( x n )′ = nx n ?1 ( n ∈ R ) (2) )
(3) (sin x )′ = cos x ) 4) (4) (cos x )′ = ? sin x

( a x )′ = a x ln a ( a > 0, a ≠ 1) (5) )
1 ( a > 0, a ≠ 1) (6) (log a x )′ = ) x ln a 1 ′= (ln x ) x

(e x )′ = e x

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