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大学物理 角动量 角动量守恒


3.5 质心 质心运动定理

一.质心的概念和质心位置的确定
质心----质点系的质量中心。 两个质点的质心 c 的位置,定义如下:

m1 ? ? c r1 rc z ? r2

m2
y

? ? ? m1r1 ? m2 r2 rc ? m1 ? m2
它是物体位置

以质量为权重的 平均值。

x 0

对多个质点的质点系, ? m i ri ? ? rc ? i ? mi
i

若物体的质量连续分布,则

? rc ?

? ? r dm

?dm

均匀直棍、圆盘、球体等,质心在它们的几何中心上。

物体的质心一定在物体上吗?

质心与重心是不同的概念,它们 一定在同一点上吗?

二. 质心运动定理
?质心的速度 ? ( rc 对t 求导)

? vc ?

? ? mi v i

?m
i

i

?

? ? mi v i
i

i

m

?质点系的总动量

? ? ? p ? ? mi vi ? mvc
i

?质点系的总动量的变化率

? ? ? d vc dp ?m ? m ac dt dt

? ? ? d vc dp ?m ? m ac dt dt


? ? ? dp F外 ? ? m ac dt

即“一个质点系的质心的运动,就如同这样一个 质点的运动,该质点的质量等于整个质点系的质 量并且集中在质点,而此质点所受的力是质点系 所受的外力之和” ----质心运动定理 它说明质心的运动服从牛??。 它也说明系统内力不会影响质心的运动。。

扔出的一把搬子 (或一团乱麻)

运动员 (或爆炸的焰火)

例5 质量M=200千克、长 l =4米 的木船 浮在 静止 的水面上,一质量为m=50千克 的人站在船尾。 今人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头, 求:船相对岸移动的距离 d =?(设船与水之间的 m 摩擦可以忽略) 【解】方法一:质心法。 c M

系统:人与船 水平方向:不受外力 所以质心始终静止。

c d

y
x1 x2 x ’1 x ’2

m
c c d x

M

mx 1 ? Mx2 xc ? m?M ? ? Mx2 ? mx1 ?? xc m?M
? mx1 ? Mx2 ? ? Mx? ? mx1 2

? ? ? m? x1 ? ? x1 ? M ? x2 ? x2 Md ? m?l ? d ?


m 50 d? l? ? 4 ? 0.8 m m? M 50 ? 200

方法二: 动量守恒法。 ? ? 设 v ,V 如图,从船尾走到船头需时T,

x方向: MVx ? mvx ? 0 m ?V x ? ? v x (负号表示什么?) M T T ? m m v ? ? Vx d t ? ? ? vx d t M M 0 0
位移

m d? l(相同) m?M

m ?l ? d ? ?d ? ? M

? V

x

d

三. 质心(参考)系
1.质心系
讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。 质心系是固结在质心上的平动参考系,或质心 在其中静止的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。
质点系的复杂运动通常可分解为:

质点系整体随质心的运动;
各质点相对于质心的运动 —— 即在质心系中考察质点系的运动。

2.质心系的基本特征

? ? ? p ? ? mi vi ?mvc 因质点系的总动量为 ? ? ? 对质心参考系来说 ? ?0 P ? ? ? mi vi? ? mvC ? 所以,质心参考系是 ? m1v1 零动量参考系。 ? ? m2v 20
? ? m1v10

例. 两质点系统, 在其质心参考系中, 总是具有等值、 反向的动量。

? ? m2 v 2
质心系中看 两粒子碰撞

第5章 角动量 角动量守恒

5.1 质点的角动量 角动量定理
一. 质点(对固定点) 的角动量
物理学非常注意守恒量的研究。 在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星(固定点) 转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。 例如:太阳系中的每个行星都有自己的转动平面 例如:银河系中的 每个恒星都有自己 的转动平面。 在这些问题中,存在 着质点的角动量守恒 的规律。

银河系

定义: 质点对某一固定点的角动量(动量矩)

? L
O ? r m

? ? ? L?r? p

L ? rp sin? ? rmv sin?
?
p
单位: kg?m2/s 或 J?s

?

质点作匀速率圆周运动时, 角动量的大小为 L = mvR 角动量的方向不变。

? L
O

R

? v
?m

? ? dL d ? ? L ? ( r ? p) dt dt ? ? ? ? p r dr ? ? d p 0 ? ? p?r ? m ? dt dt ? ? ? ? dp ? v ? mv ? r ? dt ? ? dL ? ? ? 所以 ? r ? F ? M ( F ------合力) dt
? ? ? 这里 令 M ? r ? F
先说一说它:

二. 角动量定理

? ? ? M ? r ?F
? M

称为力矩(对固定点)
方向:右手法则

0 r0

? r

m ?

? F

大小: M ? rF sin ?

图中 r0称为力臂。

r0 ? r sin?
M ? F r0

? ? 质点对固定点角动量的时间 dL ?M 变化率等于合力对该点的力矩。 dt

? ? dL M? dt



? ? M dt ? d L
--- 质点角动量定理 的微分形式 (对固定点)

对 t1?t2 时间过程,有

?

t2

t1

? ? ? ---质点角动量定理 M ? d t ? L2 ? L1

的积分形式(对固定点)

上式右边为质点角动量的增量 左边称为冲量矩(请对比质点动量定理)。
即“质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩”。

三、角动量守恒定律及其应用

? ? 当合外力矩 M ? 0时,L =常矢量
----质点角动量守恒定律

? F ?0 ? ? M ? 0 的条件是 或 F 过固定 点:有心力
(如行星受的万有引力) 例. 证明开普勒第二定律: 行星对太阳的矢径在 相等的时间内 扫过 相等的面积。 【解】 因为是有心力场, 所以力矩 M=0,

? L

? F

? r
m

? v

? ? ? 角动量守恒:L ? r ? mv ? 常矢量
? ? 1 1 ? 若经 ? t 时间, ?S ? r ?r sin? ? r ? ?r 2 ? 2 扫面速度:
? ? 所以mv 与 r

始终在同一平面内。

dS ?S ? lim r r ? t ? 0 1 2 dt ?t ? ? ? ? ? r ? ? r 1 r F Δr ? lim ?t ? 0 2 ?t m ? ? ?S 1 ? dr 1 ? ? ? r? ? r ?v ? 常量 2 dt 2

L

? v

所以地球人造卫星 在近地点速度大, 在远地点速度小。 1970年 ,我国发射 了第一颗地球人造 卫星。

? L
r1 r2
? F

? v1
? r
m

? v2

近地点高度为 266 km, 速度为 8.13 km/s; 远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s; 计算出椭圆的面积,根据“扫面速度”, 就可以得到绕行周期为 106分钟。(课下算一下)

? ? ? L?r? p

? ? ? M ? r ?F

? ? dL M? dt

讨论锥摆的守恒量 动量守恒不守恒? Α 动量不守恒 是很明显的。 ? ? T ? ? 从守恒条件看: T ? mg ? 0

rA ? r0

? v mg

o

机械能守恒不守恒?

?WT ? Wmg ? 0,? E ? const.
角动量守恒不守恒? ? ? ? ? 对Α点: rA ? T ? 0, rA ? m g ? 0

? ? ? ? 对 o点: r ? T ? r ? mg ? 0 0 0
∴角动量守恒

∴角动量不守恒

第13题. 设地球可看作半径 R =6400km 的球体。 一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的 圆形轨道上以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球 运动。今在卫星外侧,点燃一个小火箭,给 卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.

? v1

求:此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离 地面多少公里?

R地 o

? v2

【解】

? v1
? r?

? v?

0 R地 M

? ? r v 2

m

设火箭点燃时, 卫星 m 对地心的 ? 位矢为 r ,
速度为

? ? v1 ? v2

使卫星转为椭圆轨道。

? 0 所以角动量守恒。 ? ? 在近地点时,位矢为 r ? ,速度为 v ?,则有 ? ? ? ? ? r ? m(v1 ? v2 ) ? r ? ? mv ?
因为 M 外 对“卫星+地球”

? v1

? v?

? r?

0 R地 M

? ? r v 2

m

? ? ? ? ? r ? m(v1 ? v2 ) ? r ? ? mv ?
? ? ? ? ? ? r ? mv1 ? r ? mv2 ? r ? ? mv ?
为零

rmv1 ? r?mv? ??(1)
(动量矩)(动量矩)

对“卫星+地球” 因为作椭圆运动时,只有万有引力作功, 机械能守恒,有

1 ? GMm ? 1 ? GMm ? 2 2 2 m?v1 ? v2 ? ? ? ? ? ? mv ? ? ? ? ? 2 r ? 2 r? ? ? ?

1 ? GMm ? 1 ? GMm ? 2 2 2 m v1 ? v2 ? ? ? ? ? mv ? ? ? ? ? 2 r ? 2 r? ? ? ?
为了免去G、M 的计算,通常利用卫星作圆周运动 时的向心力(即万有引力)来化简上式:

?

?

Mm v G 2 ?m r r 代入机械能守恒式:


2 1

2 ? GM ? rv1

1 2 1 2 r 2 2 2 v1 ? v 2 ? v1 ? v ? ? v1 ??( 2) 2 2 r?

?

?

解(1)(2)联立 --- 将(1)式的 v’ 代入(2),

可得

?v

2 1

? v r ? ? 2v rr ? ? r v ? 0
2 2 2 2 1 2 2 1

?

??v1 ? v2 ? r? ? v1r ? ??v1 ? v2 ?r? ? v1r ? ? 0
v1r 7.5 ? (6400? 800) r1? ? ? ? 7013km v1 ? v2 7.5 ? 0.2
近地点高度 同理

h1 ? r1? ? R ? 7013? 6400? 613km

v1r 7.5 ? (6400? 800) r2? ? ? ? 7397km v1 ? v2 7.5 ? 0.2

远地点高度

h2 ? r2? ? R ? 7397? 6400? 997km

例. 如图所示,光滑水平面中央有一小孔,轻的细 绳穿过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量 m 的质点,在桌面上沿着半径为 r1 的圆周运动,轻 绳下端挂一质量 M 的重物刚好平衡。今用手将重 物向上托起 1.0 cm 后松开。问:放手后能否保持 平衡?若不平衡,重物向什么方向运动?

m

r1

O

M

5.2 质点系的角动量定理
一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中 ? 各个质点对该固定点的 m2 Fi 角动量的矢量和,即 m1

? ? ? ? L ? ? Li ? ? ri ? pi
i i

0 ? ? ? ? ? ? ? d Li ? ? M i ? ri ? ? F ? f ? i ij ? ? dt j?i ? ?

其中

? ri

mi ? f ij

? f ji

? rj

mj

第 i 质点受到 的全部力

? ? ? d Li ? ? ? ? ? ri ? ? F ? f ? i ij ? ? dt j ? i ? ?
将上式对质点系内所有质点求和,得 ?

?
i

记作

? ? ? 式中 M外 ? ? ri ? Fi ---各质点所受外力矩
i

? ? ?? ? ? d Li ? ? ? ri ? Fi ? ? ? r ? f ? i ij ? ? dt i i ? j?i ? ? ? dL ? ? M 外 ? M in dt

? ? ? Min ? ? ( ri ? ? f ij ) ----各质点所受内力矩
i j ?i

的矢量和称为 质点系所受合外力矩
的矢量和

内力总是成对出现的,所以内力矩也是成对出现的, 对i , j 两个质点来说,它们相互作用的内力矩之和为

? ? ? ? ? ? ? ri ? f ij ? rj ? f ji ? ri ? rj ? f ij ? ? ? ri ? rj 与 f ij 共线,

?

?

?

?

m2

所以这一对内力矩之和为零。 ? 同理可得所有内力矩之和为零。 r 于是得

? ? mi ? ri ? rj
f ij ? f ji

m1

? M外

? dL ? dt

i

0

? rj

mj

“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率”----质点系的角动量定理

说明
1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系。 2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。

3. 当合外力矩为零时,质点系总角动量不随 时间变化, -------质点系的角动量守恒定律。
4. 内力矩不影响质点系总角动量,但可影 响质点系 内 某些质点的角动量。

例. 两个同样重的小孩,各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图,他们起初都不动,然后 右边的小孩用力向上爬绳,另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。 问:哪一个小孩先到达滑轮? 【解】 设滑轮半径为R,两小孩 的质量分别为m1、m2,

m1
(不爬)

m2
(爬 )

m1= m2 把小孩看成质点, 以滑轮中心为“固定点”,

对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统:
外力:

? 条件: M 外 ? 0

? ? m1 g , m2 g , N

所以角动量守恒 设两小孩
分别以

N R
0

? ? 速度上升。 v1,v2
? ? R 0

设角动量以指向纸内为正。

? R 0
m2 g

m1 g

m1

? ? ? v1 r1 r ∥

r ∥

? ? r2

? v2
m2

N R
0

? R 0

? ? R 0

? ? ? ? ? L1 ? r1 ? P1 ? m1r1 ? v1 ? ? ? ? ? ? m1 ( R ? r11 ) ? v1 ? m1 R ? v1 (指向纸内) L ? m Rv 1 1 ? ? ? ? ?1 L2 ? r2 ? P2 ? m 2 r2 ? v 2 ? ? ? ? ? ? m 2 ( R? ? r11 ) ? v 2 ? m 2 R? ? v 2 (指向纸外) L2 ? ? m2 Rv 2

m1 g

m2 g

m1

? ? ? v1 r1 r ∥

r ∥

? ? r2

? v2
m2

系统的角动量守恒: L1 ? L2 ? 0 (启动后) (启动前)

m1 Rv1 ? m2 Rv2 ? 0 m1v1 ? m2v2 ? m1 ? m 2

? v1 ? v 2

爬与不爬,两小孩同时到达滑轮!

思考: 有人说该系统动量守恒,对不对?不对。 有人说该系统机械能守恒,对不对?不对。 若 m1 ? m2 ,此时系统的角动量 也不守恒了,会出现什么情况?

讨论

(1)设

m1 ? m2 (右边爬绳的是较轻的小孩)
系统所受的合外力矩为

m1
(不爬)

m2
(爬 )

M外 ? (m ? 1 ? m2 ) gR ? 0 思考 : M 外 的方向是什么? ? ? dL 角动量定理 M 外 ? dt

(仍以朝向纸内为正) ? d L 的方向朝向纸外 (为负)

初始时小孩未动, 现在

L ? d L ? ?m1v1 ? m2v2 ?R ? 0 ? m1v1 ? m2v2

? L?0 。

m1v1 ? m2v2 ? m1 ? m2 ? v1 ? v2
即质量为 m2 (轻的、爬的)小孩先到。
(2)设 m2 > m1 (右边爬绳的小孩较重) 同理可得, m1v1 ? m2v 2

? m2 ? m1 ? v2 ? v1

即质量为 m1 (轻的、不爬的) 小孩先到。

m1
(不爬)

m2
(爬 )

总之, 轻的小孩总是先到, 爬绳的小孩不一定先到。

例. 一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B, 杆可绕其中点处的细轴在光滑水平面上转动。 初始时杆静止,后另一小球C以速度v0垂直于杆碰A, 碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是 m, 求:碰后杆转动的角速度? 。

C v0 A

B

【解】 选系统 : A+B+C

碰撞过程中,系统的动量守恒不守恒? 答:轴处有水平外力,动量不守恒。
碰撞过程中,系统的角动量守恒不守恒? 答:轴处有水平外力,但没有外力矩, ?角动量守恒。 设碰后 B 球的速度为v,

l ?l? ?l? mv0 ? (2m )v? ? ? mv? ? 2 ? 2? ? 2?

l ?l? ?l? 即 mv0 ? 2m? ? ? ? m? ? ? 2 ? 2? ? 2? 2v 0 可得 ? ? 3l

2

2

附 质心参考系中的角动量
设O 是惯性系中的一个固定点, z C 是质心、兼质心坐标系原点,

一. 质心系中的角动量
有 或 式中

? ? ? L? ? L ? Lc ? ? ? L ? Lc ? L?

x

0

· r? · ? v ·· ? · r · ·
ri
C
i
c c

? vi

mi

质点系对O点的角动量 质心C 对O点的角动量 质心系中质点系对质心 的角动量

? ? ? L ? ? ri ? ( mi vi ) ? ? ? LC ? rC ? (? mi )vC ? ? ? L? ? ? ri?? ( mi vi? )

O系为惯性系

y

? ? ? L ? L? ? LC
证明
质点系对O点的角动量为

z

? ? ? L ? ? mi ri ? vi x ? ? ? ? ? ? mi ?rC ? ri??? ?vC ? vi? ?

0

· r? · ? v C ·· ? · r · ·
ri
i
c c

? vi

mi

O系为惯性系

y

? ? ? ? ? rC ? ?mvC ? ? rC ? ? m i v i? ? ? ? ? ? ? mi ri? ? vC ? ? mi ri?? vi? ? ? ? ? ?? ? rC ? ?mvC ? ? rC ? mvc ? ? ? ? mrc? ? vC ? ? mi ri?? vi?

?

?

? ? rc? ?

? ? mi ri?
i

m
? ? mi vi?
i

? ?? ? vc

m

? ? ? ? ? ?? L ? rC ? ?mvC ? ? rC ? mvc
质心相对于O点的角动量 ? ? ? 即 rC ? p ? LC

? ? ?0 (? vC )
质心系是零动量系

0

? ? ? ? mrc? ? vC ? ? mi ri?? v i?

? ? ?0 (? rC )

0
所以有

? ? ? L ? LC ? L?

质心系中质点系 ? 的角动量,即 L?

质点系对o点的角动量 等于 质心对o点的角动量 加上 质心参考系中质点系对质心的角动量。

二. 质点系对质心的角动量定理

? ? (ri ? rC ) ? Fi ? ? ? ? ? ? ri?? Fi ? M外 ? ? d L? ? ? M外 dt

? d ? ? ? d L? d ? ? ( L ? rC ? P ) ? ( L ? LC ) ? dt dt ? dt ? ? ? ? ? L ? LC ? L? d L d rC ? ? d P ? ? ? P ? rC ? dt dt dt ? ? ? ? ? ? ? ri ? Fi ? 0 ? rC ? ? Fi ? F i ? v ? ? i z

x

0

· r? · ? v ·· ? · r · ·
ri
C
i
c c

mi

O系为惯性系

y

? ? d L? ? ? M外 dt
“质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中 该质点系对质心的角动量的变化率” ——质心系中的(对质心)角动量定理

? ? dL 对惯性系曾有 M外 ? dt ? ? ? d L 对质心系 ? ? M外 dt

这里质心系 可以不是惯性系!

这再次显示了质心的特殊之处。

? ? 当合外力矩 M 外 ? ? 0时, L? = 常矢量
称为质心系中的(对质心)角动量守恒
定律。 注: 质心系中的功能原理, 质心系中机械能守恒定律, 也都与惯性系中形式相同 (不管质心系是否为惯性系)。 所以,有时选择质心系来讨论问题 有它的优点。

5.3 刚体的定轴转动
这章学习方法: 对比法(对比质点力学) 刚体-----形状与大小都不变的物体(理想模型)。 刚体是一个特殊的质点系 -----质点之间的距离与相对位置都保持不变。 刚体的运动基本形式: 1. 平动 定轴转动 定点转动(有瞬时轴)

2. 转动

一般运动(可包括前面两种) 它可分解为以下两种刚体的基本运动:

? 随基点O(可任选)的平动
? 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动 例如:

或 · O?

·? O ??
·

两种分解,基点选取不同。 平动可以不同, 转动却相同:

??
当然也有
?? O

?? d? = d?
=

O

转动与基点的选取无关
常选质心为基点。

刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同 (线位移、 线速度、 线加速度) 角量完全相同 (角位移、角速度、角加速度) 设刚体绕固定轴 z 转动, 转动参考方向为 ? x。 ?角速度矢量 ? z ω ,? vi
R
?

? Δ mi x

d? 大小: ? ? dt

定轴

方向:右手螺旋关系 沿轴(有正负)

?角加速度 ? ? d ? dt

?

?

z ω ,? vi
2

大小: ? ? d ? ? d ? 2 方向: ? 当越转越快时,与 ? 同方向。 ? 当越转越慢时, 与 ? 反方向。 定轴 ?当刚体作匀变速转动时 ? ? ? ? ? t

R

?

? Δ mi x

dt

dt

? 0 ? 1 2 ? ? ? const, ?? ? ? 0 ? ? 0 t ? ? t 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? (? ? ? 0 ) 0 ? 2 ?

5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒
质点系的角动量定理 M ? dL 外

dt

z轴分量 M ? z

z

?
Fi
vi
Fiz

dLz dt

??

Mz

ri ?mi Oi ri ?

?i
Fi ?

riz
O

roi

dLz Mz ? dt

??
Li

z

?

Li ? roi ? ?mi vi roi ? vi
Li ? ?mi roi vi

Liz

Liz ? Li ? sin ? ? ?mi roi vi ? sin ?
质元 ?mi 到转轴的垂直距离

? Mz
Oi
ri

Fi
vi

Fiz

?mi
Fi ?

?i

ri ? roi sin ? Liz ? ?mi rv vi ? ? ri i i 2 ? (?mi ri )?
2 i

ri ?

riz

?
O

roi
2 i

Lz ? ? (?mi ri )? ? J z?
dLz d? Mz ? ? Jz dt dt

刚体到转轴的 转动惯量 对固定轴

J z ? ? ?mi ri

M ? J?

刚体定轴转动定律
与牛顿第二定律对比

M 轴外 ? J?
? ? F外 ? ma
i

刚体到转轴的转动惯量

J ? ? ?mi ri

2

J 与 m 对应

对比刚体的角动量和质点的动量

转动惯量的物理意义: 1. 刚体转动惯性大小的量度 2. 转动惯量与刚体的质量有关 3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关 4. J与转轴的位置有关

p ? mv

L ? J?

5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒
质点系的角动量定理 z轴分量

M外

dLz Mz ? ? ? dt 质元 ?mi : Fi 对O点的力矩

dL ? dt

z

?

Mz
Oi
ri

Fi
vi

M i ? roi ? Fi ? roi ? Fi ? ? roi ? Fiz roi ? Fi ? ? ri ? Fi ? ? riz ? Fi ?
(垂直z轴) (垂直z轴)

Fiz

?mi
Fi ?

?i

ri ?

riz

M z ? ? M iz ? ? ri Fi ? sin ?i

M iz ?| ri ? Fi ? | ? ri Fi ? sin ? i ? ri ? Fi ? O

roi

Lz ? ? Liz ? ?

二、转动惯量的计算
转动惯量的意义:

M外z ? J z?
转动惯量的定义: z

J 反映了转动惯性的大小。 (实验)

? 2? J ? ? ? ?mi ri ? ? i ?

J ? ? r dm
2

ri

Δ mi ?

转动惯量由质量对轴的分布 决定,与下列因素有关: (1)密度大小 (2)质量分布 (3)转轴位置

定轴

例: 一均匀细棒长 l 质量为 m
1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 Z1

dm ? ?dx dx

2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒
求: 上述两种情况下的转动惯量

x
? l 2

m m 解: 棒质量的线密度 ? ? I? ? ?? Idx dm ll l ? 1 2 2 1) J Z1 ? ? l x ? dx ? ml 2 ? 12 2
z2 z1

l ? 2

o

Z2

dm ? ?dx dx

x

2) J z2 ? ?

l

0

1 x ? dx ? ml 2 3
2

o

l

J z 2 ? J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义

例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:

Z

解:

Jz ?

2 2 ? R R dm ? dm ?

? mR

2

R dm

例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
圆盘半径为 R, 总质量为 m .

解:

Jz ?

2 r ? dm?

?

r ? ds
2

m 设质量面密度 ? ? ?R 2

z

? ??
?

R

0 R

0

r ? 2?rdr 2 m r 2?rdr 2 ?R
2

m

dm dS r dr

R

?

1

mR

2

形状复杂刚体的 J 常通过实验来测定. 常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的J 很易计算得到。 应记住的几个常用结果:

m ,l
2

(1)细圆环
(2)均匀细棒

J ? mR

c

1 2 J A ? ml 3

1 2 J c ? ml 12

A

m ,l
OR m

(3)均匀圆盘、圆柱

1 J ? mR 2 2

c R m

计算转动惯量 J 的2条有用的定理:

(1)叠加定理:对同一转轴 J 有可叠加性

J ? ? Ji
(2)平行轴定理:

JC
d
2

JA
m

J A ? J c ? md
所以 Jc 总是最小的.

C

平行

(证明见书 P 115)

例. 写出下面刚体对O轴(垂直屏幕)的转动惯量

L
?

M

O

m
细杆

O? R
圆盘

?

利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理:

1 2 2 mL ? J JO ? O? ? M ( L ? R) 3 1 1 2 2 2 ? mL ? MR ? M ( L ? R ) 3 2

三、对定轴的角动量守恒
讨论力矩对时间的积累效应。 利用对质点系的角动量定理:

? 对点: M 外

? d Lz dL , ? , 对轴:M 外z ? dt dt

刚体: Lz ? J z?

M 外z

d( J z? ) ? , dt

刚体定轴转动

?

t2 M 外z t1

d t ?J z? 2 ? J z?1

的角动量定理

刚体定轴转动的角动量守恒定律:

M外z ? 0 ,则 J z? ? const.
刚体系: M外z = 0 时,

?大小不变 ? ?正、负不变

?J

iz

?i ? const .

此时角动量可在系统内部各刚体间传递, 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。 例如. 花样滑冰。 注: 对非刚体的定轴转动 , 若 M外z=0 , 也有J1ω1= J2ω2,(不证)

第1题. 有两个力作用在一个有固定轴的刚体上, (1)两个力都平行于轴时,合力矩一定为零。 【答】 对。 ( 每个力对轴的力矩皆为零) (2)两个力都垂直于轴时,合力矩可能为零。 【答】 对。 ( 两个力的力矩相反时合力矩为零) (3)两个力的合力为零时,合力矩也一定为零。 【答】错。 ( 力等值反向,力矩仍可不等值反向) (4)两个力的合力矩为零时,合力也一定为零。 ( 合力矩为零,两力仍可不等值反向) 【答】错。

四、刚体定轴转动定律的应用
解题思路; (1)选物体 (2)看运动 (3)查受力(注意:画隔离体受力图) (4)列方程(注意:架坐标)

例1. 已知:两物体 m1、m2(m2? m1 ) 滑轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘, m R 轴上的摩擦力矩为 Mf(设绳轻,且 不伸长,与滑轮无相对滑动)。
m1 m2

求:物体的加速度及绳中张力。

【解】分别对m1, m2, m 看运动、分析力, 设出各量如图所示。 因绳不伸长,有 a1= a2= a 因绳轻,有

? N

T1?
? T1 a1

Mf

R

?
T2?

mg

T2
? a2

T1 ? T1?, T2 ? T2? T1 ? T2 ?
以加速度方向为正,可列出两式

m1 g

对m1有
对 m2有

T1 - m1g = m1a ----(1) m2g - T2= m2 a ----(2)

m2 g

对滑轮 m 由转动方程

T1?
? T1 a1

1 2 ----( 3 ) T R ? T R ? M ? J ? ? mR ? 2 1 f ? 2 N (以“?方向”为正) ? 三个方程,四个未知数.再从 M R
f

mg

T2? T2
? a2

运动学关系上有

a ? at ? R?
联立四式解得:

---- (4)

m1 g

m2 g

Mf ?m2 ? m1 ?g ? R a? 1 m1 ? m2 ? m 2

Mf ?m2 ? m1 ?g ? R a? 1 m1 ? m2 ? m 2 m1 M f m? ? ? 2 m 2 ? ? m1 g ? 2? R ? T1 ? m1 ? g ? a ? ? m m1 ? m 2 ? 2 m2 M f m? ? ? 2 m1 ? ? m 2 g ? 2? R ? T2 ? m 2 ? g ? a ? ? m m1 ? m 2 ? 2

讨论

当不计滑轮质量和摩擦力矩时:

m = 0, Mf = 0 ,


m2 ? m1 a? g m2 ? m1

2m1 m2 T1 ? T2 ? g m1 ? m2
(与中学作过的一致!)

例 2. 已知:如图,R=0.2m,m=1kg,vo=o, h=1.5m,匀加速下落时间 t =3s, 绳、轮无相对滑动,轴光滑。 求:轮对o轴 J=? (测定转动惯量J 的实验方法之一) 【解】分别对物体m 和轮 看运动、分析力, R 设出各量如图所示。
定轴0 绳

m t

v0= 0

h

? N α

? ? T ? ? ?T
m ? mg

R ·

a

? ? G T

【解】:由动力学关系:
对 m : mg ? T ? ma

? N
R ·

对轮: TR ? J?
四个未知量 T , J ,? , a 由运动学关系:

?

? ? T ? ? ?T

? a

? ? G T

m ? mg

1 2 h ? at a ? at ? ?R 2 gt 2 得 J? ( ? 1) ? mR2 2h
9.8 ? 32 ?( ? 1) ? 1 ? 0.22 ? 1.14 kg? m 2 ? 2 ? 1.5

5.5 转动中的功和能
现在讨论力矩对空间的积累效应

一. 力矩的功
? F ∥

? 设刚体上P点受到外力 F 的作用, ? 位移为 d r , 功为 d A ,

z
0?

? F

? r

P

? F?

0?

r

d? ?

? dr
P

? ? F? ?

? F

对转动(功)无贡献

d A ? F? ? d r ? F? d r cos ?

? F? ?rd ? ? sin ? ? ?F? r sin ? ? d ? ? Md?
A ? ? M d?
?1 ?2

0?

r

d? ?

? dr
P

? ? F? ?

此式称为力矩的功(实质上仍然是力的功)。

(对比

A ? ? F ?d r)

二 . 定轴转动动能定理
刚体的定轴转动动能: 1 2 EK ? ? Δ mi v i i 2 ? 1 2? 2 ?? ? ? 2 Δ mi ri ? ?? ? i ?

?
0?

? ri
Δ mi

? vi

1 E K ? J? 2(可对比质点的动能) 2 ?2 ?2 ?2 d? A外 ? ? M 外 d ? ? ? J d? ? ? J? d ? ?1 ?1 ?1 dt 1 1 2 ? J ?2 ? J ?12 2 2



A外 ? EK 2 ? EK1

……定轴转动动能定理.

第2题.刚体的势能等于 mghc 如图所示,某人说:刚体 的动能等于 1 mvc2 你同意吗? 2
2

m
0

l

? vc

c

1 1 ? 1 2 ?? vc ? 2 2 2 J ? ? ml ? mv ? ? ?? 【答】 c 2 2? 3 3 ?? l / 2 ?
对0点C点,? 相同

?

应该:

1 1 1? 1 ? 2 2 J? ? mvc ? ? ml 2 ?? 2 2 2 2 ? 12 ?

对c点
2

1 1? 1 2 2 2 ?? vc ? 2 ? mvc ? ? ml ?? ? ? mvc 2 2 ? 12 3 ?? l / 2 ?

某人说:刚体的角动量 就是 mv l 你同意吗? c 2

m

l

? 1 2 ?? vc ? 2 【答】J? ? ? ml ?? ? ? mlvc ?3 ?? l / 2 ? 3
应该
l ? 1 2? J? ? mvc ? ? ml ?? 2 ? 12 ?

? vc

c

?

l ? 1 2 ?? vc ? J? ? mvc ? ? ml ?? ? 2 ? 12 ?? l / 2 ?

对c点

l ? 1 2 2 ?? v c ? ? mvc ? ? ml ?? ? ? mlvc 2 ? 12 ?? l / 2 ? 3

刚体平动时,质心的运动完全可以代表 刚体的运动; 刚体转动时,质心的运动不能完全代表 刚体的运动! 从此题我们可以看到: 刚体的运动 = 刚体质心的运动+ 刚体相对于质心的转动(质心系) 1。质心系不必是惯性系。 2。对刚体上任一点(基点)的转动角速度 都是相同的。

三 . 刚体定轴转动的机械能守恒定律
刚体的重力势能
? mg

Ep ? ? Δ mi ghi

Δ mi
c
hi hc

m

? Δ mi hi
m

? mghc

hc----质心的高度 刚体系仍是个质点系,根据质点系的功能原理: A外+A内非=(Ek2+Ep2)—(Ek1+Ep1)

若 dA外+dA内非=o,则 Ek+Ep=常量.
---- 机械能守恒定律

例3. 已知:均匀直杆质量为m,长为l,轴o光滑, AO ? l / 4 初始静止在水平位置。 l,m 0 求: 杆下摆到 ? 角时, θ· B EP重=0 A 角速度 ? ?? l /4 C ? 轴对杆的作用力 N ? ? ω 【解】“杆+地球”系统, 只有重力作功,E机 守恒。 1 l 2 (1) J 0? ? mg sin ? ? 0

2 4 1 l 2 7 2 J0 ? ml ? m ( ) ? ml 2 12 4 48 6 g sin? 由(1)、(2)解得: ? ? 2 7l

(2)

应用质心运动定理 求轴对杆的作用力: ? 设轴力 N 如图,有

Nl

A · O C acl θ· act θ mg (3) (4) l,m

N ^ l
^ t Nt

? ? ? N ? mg ? mac

B

l 2 6 ac l ? ? ? g sin? 4 7

?: l ? mg sin? ? N l ? mac l ?: t mg cos? ? N t ? mac t

?

?

l mg cos? l l M l 4 ac t ? ? ? ? ? 4 4 J0 4 JO

3 g cos? ? 7

N
Nl β A ^ l ·

代入(3)(4) ,得:

Nt

l,m

· O θ C B ω

^ t

13 N l ? mg sin? , 7 4 N t ? ? mg cos? 7

? 13 4 ? ? N ? mg sin? ? l ? mg cos? ? t 7 7 或 N ? N 2 ? N 2 ? mg 153sin2 ? ? 16 l t 7 ?1 | N t | ?1 4 ? ? tg ? tg ( ctg? ) Nl 13

(负号代表什么?)

例4. 质量 m 长 l 的均匀细杆可绕过其中点处 的水平光滑固定轴 ? 0 转动,如果一质量为 m’的小球以速度 u 竖直落到棒的一端, 发生弹性碰撞(忽略轴处摩擦)。 求:碰后小球的速度及杆的角速度。 【 解】 m l o

m’

? u

? v

系统:小球+杆 条件:M外=0 角动量守恒 (轴力无力矩;小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略)

?

杆的角速度?肯定如图, 假设小球碰后瞬时的速 ? 度 v 向上,如图所示。

因为弹性碰撞, ?动能守恒

l ? 1 l 2? m?u ? ? ml ?? ? m?v ?(1) 2 ? 12 2 ?

1 1? 1 1 2 2? 2 2 ? ? m u ? ? ml ?? ? m v ?( 2) 2 2 ? 12 2 ?
联立(1)(2)解得

? m ? 3m? ?u v? ;
m ? 3m ?

6 m ?u ?? ( m ? 3 m ? )l

讨论

1. 量纲 对 2. ? >0 对 3. 当 m >3m’ 时,v > 0(向上) 当 m =3m ’时, v = 0(瞬时静止) 当 m <3m’ 时,v < 0(向下)

第3题. 质量 m长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平 光滑固定轴 0 转动,质量也是m 的小球用长度也是 l 的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位 置,将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为? , 然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞,结果使杆 产生? /3 的偏角。求: ? =?

【解】 ? 小球下摆过程: 系统:小球+地球 条件:只有保守力 作功 所以E机守恒

o m ? ?/3 l m
EP ? 0

1 mgl (1 ? cos? ) ? m v 2 ?(1) 2

? 碰撞过程: 系统:小球+杆 (动量守恒 ?答:不守恒!) 条件:小球和杆的重力(外力) 对0 轴几乎无力矩, 有轴力(外力),但也无力矩。 M外=0, 系统角动量守恒

?1 2? mvl ? mv?l ? ? ml ?? ?( 2) ?3 ? 2 v? 即小球动量矩 ( J ?? ? ? ml ? mv?l ) l

? 杆上摆过程: 由E机守恒可得 1 1 2 2 l ? ( ml )? ? mg (1 ? cos ) ?( 3) 2 3 2 3 四个未知数,三个方程,还应找一个方程。 题意:弹性碰撞,所以动能守恒

1 1 1 1 2 2 2 2 mv ? mv ? ? ( ml )? ?(4) 2 2 2 3
o m ? ?/3 l m 联立可以解得

EP ? 0

2 cos? ? 3 ?1 2 0 ? ? cos ? 48.2 3

第4题. 球与匀质 杆的碰撞过程 动量一般不守恒。 是否动量一定不守恒? 有没有特例?

o
x

l

【解】 分析: 打击点非常靠近0点时,轴受力向右; 打击点非常靠近下端时,由于杆会绕质心转 动,轴受力向左。 能否找到

x ??
Δm v ? Δm v? m
i i
i i

正好使轴承处无水平力(动量也能守恒)? 注:P杆 ?

?

m

? mvmc

方法一:用动量定理+角动量定理 对象:杆 假设无水平轴力,只有球的力 f 动量定理(水平):

o
x

l

f Δ t ? mvmc ---(1) 1 2 角动量定理: xf?t ? ml ? ---(2) 3 l ---(3) 运动学: v mc ? ? 2 2 联立三式,也可解得 x ? l
所得结果与杆的质量无关。

3

这个打击位置称为撞击中心

方法二:用动量守恒+角动量守恒
对象:球+杆 假设无水平轴力,只有球的力 f

o
x
v0

l

1 2 xm 球 v 0 ? xm 球 v ? ml ? ---(1) 3
由动量守恒(水平)

由角动量守恒

? m球v0 ? m球v ? mvmc ---(2)
又 vmc ? (l / 2)? ---(3)
联立三式,也可解得

2 x? l 3

第5题. 如图一匀质细杆长为 l ,质量为 M,无约 束地平放在光滑水平面上。一质量为 m的小球以 速度 v0 垂直于杆身与杆端作弹性碰撞。设 M= 3m, 求:碰后杆的角速度. 【解】 M, l c 对杆+球系统, m vc 无外力 v0 ω → 动量守恒

设碰后球速为v

设运动方向如图

mv ? Mvc ? mv0

mv ? 3mvc ? mv0

v0 ? v ? 3vc ---(1)
对任一固定点,没有外力矩,角动量守恒.

选与碰撞处重合点为固定点: 球 的角动量为零, 杆 的角动量为: m v0 c M, l vc ω

杆的质心对该点的角动量+杆绕质心的角动量

l 1 0 ? Mvc ? Ml 2? ? 0(注意所设运动方向) 2 12
碰后球 的角动量 碰后杆的 质心角动量 碰后杆绕 碰前总 质心的角动量 角动量



? l ? 6vc

---(2)

注意:被碰的杆端不是固定点。

弹性碰撞,动能不变 2 1 2 1 Ml 2 1 1 2 2 mv ? ? ? Mvc ? mv 0 2 2 12 2 2 2 1 1 3 ml 1 1 2 2 2 2 mv ? ? ? 3mvc ? mv0 2 2 12 2 2

1 2 2 2 得 v ? v ? ? l ? 3vc ---(3) 4 12 v0 三式联立解得 ? ? 7 l 2 1 ( vc ? v0 ; v ? v0 ) 7 7
2 0 2

结果为正,表明所设运动方向正确。

讨论: 如果选择与杆中心重合的固定点, 角动量守恒如何写? 结果一样吗? c m v0

M, l vc ω

l l 1 mv0 ? mv ? Ml 2? ? 0 2 2 12
碰前总 的角动量 碰后球 的角动量 碰后杆绕 质心的角动量 碰后杆的 质心角动量

与(1)结合,仍然可得

? l ? 6vc

---(2)

5.6 进动(旋进Precession) 进动:高速旋转的物体, ? ? ? 其自转轴绕另一个轴转

c
o
mg

动的现象。 例如: 陀螺 进动是一种刚体绕点转动 的有趣现象。 为什么重心已经偏出 支撑点但是不倒? 能否从力学规律上解释?

一般地说,转动刚体的角动量 是不平行的。

? ? L 和角速度 ?

? m2 以轻杆连接, 例如, 图中所示刚体 m1 ? ? (不对称),则对O点的 L 显然 不平行于 ? 。
z
m1 r1 L2 O L ω m2

但若刚体质量对转轴的 分布对称时,则有(对 转轴上的任一点):

r2 L1

? ? L ∥? ∥轴



? ? ? ( 对轴 ) ? J z? L( 对轴上一点) ? Lz z
为简单起见,我们只讨论 具有对称轴的刚体的旋进问题。

在陀螺的自转轴有一倾角时,陀螺受的重力
产生的对o点的力矩为

? ? ? M外 ? rc ? mg

ω

(方向向里)
利用质点系对 固定点的角动量定理

? L

×

dL

? M外

? d L 的方向也向里,并且在水平面内,如图。

? dL ? dt

?θ × rC M
O

·

mg

? ? ? L?t ? d t ? ? L?t ? ? d L
如连续画下去,可以看 到角动量矢量的端点, 绕竖直轴作圆周运动, 这就表现出进动现象。

? L?t ? d t ? ω
d?
? L?t ?

? ?

? ? d L ? M dt

?θ rC

·

所以,进动现象正是自旋 mg O 的物体在外力矩的作用下 沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果。

计算进动的角速度Ω:

设角动量矢量的 端点 dt 时间内、 在水平面内转过 dΘ角,则有

? L?t ? d t ? ω
d?
? L?t ?

? ?

? ? d L ? M dt

? dL ? L sin ? d ?

M外 d t ? L sin ? d?
进动的角速度

?θ rC
O

·

mg

M外 d? ?? ? dt L sin ?

M外 d? ?? ? dt L sin ?
此处,M外是重力矩:

M外 mgrc sin ? mgrc d? ?? ? ? ? dt L sin ? J? sin ? J?
讨论:ω↓……Ω↑,与实际符合。 注意 以上只是近似讨论, 因为当进动发生后:

?总 ? ? ? ?
刚体的角动量应该是

?

?

?
? ? L ? J?总

? ? L ? J?总
只有高速自转

? ? ? 才有 ?总 ? ? ?, 即 L ? ? J? ?

?总 ? ? ? ? ? ?? ? 时,

?

?

?

假如转速不大,以上条件不成立, 则陀螺在进动时还会摆动。 这种摆动称为 “章动”(情况比较复杂)。

应用举例:

炮弹的飞行; 轮船的转弯问题

第6题. 现象:在台面上合适地搓动乒乓球,乒 乓球在桌面上前进一段距离后将会自动返回? (1)试对此现象作定性解释; 2 2 (2)设乒乓球可看成匀质刚性球壳,J ? 3 mR 导出能产生上述现象,初始条件应满足的关系。 【解】 定性分析:搓动乒乓球后, vc 0 ? R 若球初始运动方向向右, fr 则摩擦力方向一定向左。 摩擦力的作用: vc ? 对质心的运动
0



vc ?

?? 对绕质心的转动 0, 而 ? 还未降到零时,乒乓球返回!

结论: (1)转动方向 和 平动方向不可随意; (2) ?0 , vc 0 之间的大小应满足一定关系。
定量计算: 质心运动方程

?

0

R

vc 0

dv c ? fr ? m dt

f

r

f r ? ? mg

分离变量,积分得

转动方程(对质心) ? Rf r ? ( mR )

vc ? vc 0 ? ?gt (1) 2 2 d?
3 dt
(力矩取向外为正)

dv c ? ? mg ? m dt

2 2 d? ? Rf r ? ( mR ) 3 dt 2 2 d? ? R? mg ? ( mR ) 3 dt 3 积分得 ? ? ? 0 ? ? gt ( 2) 2R 由⑴、⑵式消去 t ,解得: vc ? vc 0 ? ? gt (1)

3 vc 0 ? vc ? ? ?0 ? 2 R 3vc 0 令 vc ? 0 ; ? ? 0 ?0 ?

所以,当初始速度和角速度大小满足 上述不等式时,乒乓球可返回。

2R

第7题. 一个内壁光滑的刚性圆环形细管,开始时 绕竖直的光滑固定轴 0 0 ’ 自由转动,其转动惯 量为J ,角速度为? 0 ,环的(平均)半径为 R. 一个质量为 m 的小球在管内最高点A 从静止开始 向下滑动。 O A m 求:(1)小球滑到环的水平 直径的端点B 时, R 环的角速度多大? B 小球相对于环的速率多大? (2)小球滑到环的最低点C时, 环的角速度多大? 小球相对于环的速率多大?

O’ C

【解】 (1)求小球在B点时环的角速度?B及
小球相对环的速率vB球环 对小球从 A?B的过程: 有人选系统:小球 说:小球的角动量守恒(?) 小球的重力对轴无力矩, 环的支持力对轴有力 矩 O A R
? N3

? N1 ? N2

B

其中 N? 对轴无力矩, 1, N2 但是 N 3 对轴是有力矩的! 所以小球的角动量不守恒!

? ? ? ? N? ?N ?1 ? N 2 ? N 3

O’ C

如果将系统扩大:小球+环 由于支持力矩是一对内力矩, 它始终为零! 有 M外 ? 0

O A R
? N3

? N1 ? N2

所以此系统角动量是守恒的。

J?0 ? 0 ? J?B ? m v R

B

? ? ? v B球地 ? v B球环 ? v B环地
方向垂直向下, 对角动量无贡献



v 应是 vB球地

O’ C

所以,此 v 即 vB环地

=? B R ? J?0 ? J?B ? m?B RR

B

? v B环地 ? v B球地

? v B球环

? J?0 ? J?B ? m?B RR ? ( J ? mR2 )? B J? 0 环转动变慢, ? ? ??B ? , ? B ? ? 0 因小球有了角动量。 2 J ? mR

vB球环=?
系统:“小球+环+地球” 在小球 A ? B 过程中,小球与环的一对正压力 的功是零; A外 ? 0,且 A内非 ? 0 所以E机守恒 设通过环心的水平面重力势能 为0。 则

1 1 1 2 2 2 2 J? 0 ? mgR ? J? B ? m( v B ? v ) B环 地 球环 2 2 2

1 1 1 2 2 2 2 J? 0 ? mgR ? J? B ? m( v B球 环 ? v B环 地) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ? J? B ? m( v B球 环 ? ? B R ) ? 2 2 N1 O 2 2 A J? 0 R ? 得 v B球 环 ? 2 gR ? N2 2 ? J ? mR

?

?

讨论: (1)量纲 对 (2)当? 0=0时,

R

N3

B

v B球环 ? 2 gR

O’ C

若选“小球+地球”为系统,好不好? 答;不好!

对“小球+地球”系统, 机械能 不守恒,
从地面系看, 环对小球的支持力(外力) 是作功的, E机 不守恒。 从环参照系看, 环对小球的支持力是不作功的, 但环不是惯性系。 R

O A
? N3

? N1 ? N2

B

O’ C

由于圆环参考系为 非惯性系。 小球要受科氏力和惯性离心力,还需考虑它们的功。

科氏力与速度垂直,不作功; 但惯性离心力要作功, 而且这个功(? 和 r 都变) 不易求。 所以,机械能不守恒; 而且用功能原理也不容易算。 R

O A
? N3

? N1 ? N2

B

O’ C

(2)求小球在C点时,环的角速度? c 及小球相对环的速率vc球环

考虑小球从A

C的过程(更简单)

同理,对系统:“小球+环”
条件: M外=0,角动量守恒

J?c ? 0 ? J?0 ? 0
环又回到原来的角速度。

?c ? ?0

vc球环=?
同理,对系统:“小球+环+地球” 条件:只有保守力作功,机械能守恒 取C点为重力势能的零点,

由机械能守恒

1 1 1 2 2 2 J? 0 ? mg ( 2 R ) ? J? c ? mv c 球地 2 ? ? 2 ? 2

? vc球地 ? vc球环 将 vc球地 ? vc球环 和 ?c ? ?0
可得

? vc球 地 ? vc球 环 ? vc环 地 ? ? vc球 环

代入,

1 1 1 2 2 2 J? 0 ? mg( 2 R ) ? J? 0 ? mvc 球环 2 2 2

vc球环 ? 4 gR

环又回到原来的角速度, 球的势能转化为动能。

例8. 两个质量分别为m 、M的小球,位于一固定 的、半径为 R 的水平光滑圆形沟槽内。一轻 弹簧被压缩在两球间(未与球相连)。用线 将两球缚紧,并使它们静止,如图所示。

? vm
R

(1)今将线烧断,两球 被弹开后在沟槽内运动。 问此后M转过多大角度 m 与 m 相碰?
M (2)设原来弹簧势能为 U0.问线烧断后两球经 过多少时间发生碰撞?

? vM

【解】 第(1)问: M 转过多大角度与 m 相碰 系统:“m+M ” 条件:弹簧推力的力矩之和为0; 重力、槽底支持力无力矩; 槽壁对球的压力指向圆心, M外=0,?角动量守恒。
对弹出过程: 设 m,M 刚脱离弹簧时的角速度为 ?m,?M



J m? m ? J M? M ? 0 2 2 ( mR )? m ? ( MR )? M ? 0 m?m ? M? M ??(1)

沟槽水平光滑,所以m、M都作匀速圆周运动。 设经过 ? t 它们相遇,相遇时,m 转过? 角, M 转过? 角, 由(1)式有

m?m Δ t ? M? M Δ t

且有

m? ? M? ??(1)?

? ? ? ? 2? ??(2)
2? m ?? ??( 3) M ?m

解(1)’(2)联立,得

第(2)问:原来弹簧势能为U0,问线烧断后两球 经过多少时间发生碰撞?

能否先求出 ? M?(或 ? m ? ) 因为在此过程中, 系统:m+M 条件:只有保守力(弹力)作功,
所以机械能守恒。

1 1 2 2 2 2 ? ? ? ? mR ? m ? MR ? M ? U 0 2 2

1 1 2 2 2 2 ? ? ? ? mR ? m ? MR ? M ? U 0 2 2
将(1)式 的 代入上式, 可解得

m?m ? M? M
2mU0 M ? M ? m ?R 2

?M ?

再利用(3)式的? 角,得

? Δt ? ? ?M

2? mMR ? M ? m ?U 0
2 2

(量纲对)

例9.已知: 泥球质量为 m,半径为R的均质圆盘质量 为 M=2m,它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与 它正下方的圆盘上的P点距离为 h, ? =60?。 求: (1) 碰撞后的瞬间 m、M 共同角速度? 0 ? ? (2)P点转到 x 轴时, 角速度 ? ? ? m 角加速度 ? ? ? h P 【解】 对第(1)问
m下落过程: 对“泥球+地球”系统, 只有保守力作功, 故机械能守恒:

R ? 0 M

x

1 2 mgh ? mv 2 ? v ? 2 gh (1)
碰撞过程: 对“m + M ”系统,

m
h
R ? 0 M P

x

碰撞时间 ? t 极小, 冲力远大于重力,重力(外力)对0的力矩可忽略, 故角动量守恒:

mvRcos? ? J?0
1 J ? MR 2 ? mR 2 ? 2mR 2 2

(2)
( 3)

(1) (3) 代入(2)得:

2 gh ?0 ? 4R

(4)

对第(2)问 P点转到 x 轴时, 转动过程: 对“m + M + 地球 ” 系统, 只有重力作功,故 E机守恒:

1 1 2 mgR sin ? ? J? 0 ? J? 2 2 2 1 g ?? ( h ? 4 3R ) (3)(4)代入(5)得: 2R 2 M mgR g ?? ? ? J 2mR2 2 R

令P点与 x 轴重合时, EP重=0

(5)

讨论

g ? ?? , 2R Ny a ? Cy 1 g R ?? ( h ? 4 3 R) , ?C 2R 2 0 N a Cx x ? 用质心运动定理求 N : M=2m Mg mg M ?0? m? R mR xC ? ? M?m M?? m ? ? 质心受力为 Mg、mg 和 N 。 ? ? ? ? N ? ( M ? m) g ? ( M ? m)aC

? N ? ? 已求得P与 x 轴重合时,

P与 x 轴重合时,轴O 对盘M 的作用力
y

x

? 设 N 和 aC 的 x、y 分量如图。

x向: N x ? ( M ? m)aCx ? 3m(? xC? 2 )
y向: N y ? ( M ? m) g ? ( M ? m)aCy ? 3m(? xC? ) 即 x向: N x ? 3m(? xC? )
2

y向: N y ? ( M ? m) g ? 3m(? xC? ) y Ny

?C 0 N aCx x M=2m Mg

R

aCy ? x

?

将 xC , ? , ? 代入上两式, 解得轴O 对盘M 的作用力:

mg Nx ? ? ( h ? 4 3 R) 8R

mg

5 N y ? mg 2

(向左)
(向上)

第5章 结束


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