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2.3.1直线与平面垂直的判定5


问题引入 讲授新课

课堂练习
小结 朗中高一数学组 朱国

观察抽象出线面的一种特殊关系:

探究

问题一:

拿出一直角三角板,回顾并思考形成圆锥的过程:

问题二:
现在要在操场上竖起一根旗杆,一般的,对 旗杆的位置有什么样的要求?

线面垂直的定义
如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线 l 和平面 a 互相 垂直。 记作:l ^ a

l
平面的垂线
?

A

直线的垂面

垂足

画法
α

l P ·

·
α

反过来,如果一条直线垂直于一个平面,则这 条直线就垂直于平面内的所有直线。所以,定义 也是判定线线垂直常用的方法之一。

定义的另解:

l

.
b
α

l ⊥α

l ^ a ,b ? a 轣 l
线面垂直

b

?

线线垂直

反过来:如何判定线面垂直呢?
答:根据定义可以判定线面垂直

还有更简便的方法判定线面垂直吗?

探索 1. 如果一条直线与平面内的一条直线垂直, 判 这条直线是否与这个平面垂直呢?
定 定 2. 如果一条直线和平面内的两条直线 理 都垂直,则这条直线是否垂直于这个 的 平面? 探 索

⑴这两条是平行直线
⑵这两条是相交直线

准备一块三角形的纸片,做实验

过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)

(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与 桌面所在的平面? 垂直?

容易发现:

当且仅当折痕AD是BC边上的高时 AD与桌面所在的平面? 垂直?

得到线面垂直的判定定理

判定 定理

一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面。 m ??

l
B m n

n ?? m?n ? B l?m l?n

l ??

?

线线垂直 ? 线面垂直

练习题:判断正误

①如果一条直线和一个平面内的无数条直 线都垂直,那么该直线垂直于该平面; × ②如果一条直线和一个平面内的任何两条 直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; √ ③如果一条直线和一个平面内的某两条相交 直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; √

定义、判定定理的应用

例1

同学们,如果 我 们要在水平地面上竖 起一根旗杆,该用什 么方法来检验它是否 与地面垂直呢?

?

例2 求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

已知:a//b,a ? ? 求证;b ? ?

a
n m

b

证明:在平面?内作 两条相交直线n,m ?
a ?? ? ? ? ? ? a ? m ? ? b ? m ? m ?? ? ? ? a // b?
?

m ??

??b ? ?

?

练习

已知△ABC,直线 l⊥AB, l⊥AC,求证 l⊥BC。
l

证明:设△ABC所在平面 为α, ∵ l⊥AB, l⊥AC,

且AB?α,AC ?α, AB∩AC=A ∴l⊥ α
又∵BC?α, ∴l⊥BC

A
α B

C

想一想

判断下列命题是否正确?
(1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直,则这条直线垂直于三角形所在的 平面。(√ ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直,则这条直线垂直于平行四边 形所在的平面。( ×) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直, 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 (√ )

本节小结
有关概念 直线与 平面垂直 定义:任意… 判定定理:…相交直线…

判定方法

1.定义另解: 线面垂直
性质

线线垂直

2.两条平行线中一条垂直于平面, 则另一条……

1、 线面垂直的定义:如果一条直线与 一个平面内任意一条直线都垂直,我们 就说这条直线与这个平面相互垂直。

2、 线面垂直的判定定理: 如果一条直 线垂直于平面内的两条相交直线,那么 这条直线就垂直于这个平面。 3、 线线垂直
判定定理 定 义

线面垂直

谢 谢!


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