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正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域


第二十七教时
教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性 求函数的最值和值域。 过程:一、复习:正弦和余弦函数图象的作法

y 1 o 二、研究性质:
?

? 2

? 2

?

3? 2

2?

?

? 2

x

y 1 o -

? 2

?

3? 2

2?

x

1.定义域:y=sinx, y=cosx 的定义域为 R 1 1 2.值域: 1?引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1, |cosx|≤1 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1,1] 2?对于 y=sinx 当且仅当 x=2k?+
?
2

(有界性)

?
2

k?Z 时 ymax=1 k?Z 时 ymin=-1

当且仅当时 x=2k?-

对于 y=cosx 当且仅当 x=2k? k?Z 时 ymax=1 当且仅当 x=2k?+? k?Z 时 ymin=-1 3.观察 R 上的 y=sinx,和 y=cosx 的图象可知 当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x< 2k? (k?Z)时 y=sinx<0 当 2k??
2

<x<2k?+

?
2

(k?Z)时 y=cosx>0 (k?Z)时 y=cosx<0

当 2k?+

?
2

<x<2k?+

3? 2

三、例题: 例一 (P53 例二)略 例二 直接写出下列函数的定义域、值域: 1? y=
1 1 ? sin x

2? y= ? 2 cos x
?
2 2

解:1?当 x?2k?2 ?x?[2k?+
?
4

k?Z 时函数有意义,值域:[ , +∞] , 2k?+
3? 2

1 2

?

] (k?Z)时有意义, 值域[0,

2

]

例三 求下列函数的最值: 1? y=sin(3x+ )-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
3 ? cos x 3 ? cos x

解:1? 当 3x+ =2k?+
4

?

?
2

即 x=

2k? ? (k?Z)时 ymax=0 ? 3 12

当 3x+ =2k?4

?

?
2

即 x=

2k? ? (k?Z)时 ymin=-2 ? 3 4

2? y=(sinx-2)2+1

∴当 x=2k?当 x=2k??
2

?
2

k?Z 时 ymax=10 k?Z 时 ymin= 2

3? y=-1+

1 当 x=2k?+? 3 ? cos x

k?Z 时 ymax=2
1 2

当 x=2k? k?Z 时 ymin= 例四、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2,
? k ?b ? 2 ?k ?3 解:当 k>0 时 ? ?? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

最小值为-4,求 k,b 的值。

当 k<0 时 ? (矛盾舍去) ?? ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 ∴k=3 b=-1 例五、求下列函数的定义域: 1? y= y= cos(sin x) 解:1? ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴定义域为:[2k??
3
3 cos x ?1 ? 2 cos 2 x

?? k ? b ? 2

?k ?3

2? y=lg(2sinx+1)+

2 cos x ?1

3?

∴ ≤cosx≤1 , 2k?+
?
3

1 2

]

(k?Z)

2?

? 7? 1 ? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 ?sin x ? ? 2 ?? (k ? Z ) ? 1 ? ? ? cos x ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 3 3 ? ?
? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

∴定义域为: (2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z )
6 3
≤x≤2k?+

?

?

3? ∵cos(sinx)≥0 ∵-1≤sinx≤1

∴ 2k?-

?
2

?
2

(k?Z)

∴x?R

cos1 ≤y≤1

四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域 五、作业:P56 练习 4 P57-58 习题 4.8 2、9 《精编》P86 11 P87 25、30、31


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