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云南省玉溪一中2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 理


玉溪一中高 2016 届高二下学期期中考试试题 数学(理科)
第 I 卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 M ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x x ? a , 若M ? N ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.

? ??, ?1? B. ? ??, ?1? C. ?3, ?? ? ) C. 3 ? 2i ) D. D. 3 ? 2 i D. ? 3, ?? ?

?

?

?

?

2. 设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3. 已知 a ? 0.2
0.3

B. 2 ? 3i

, b ? log0.2 3 , c ? log0.2 4 ,则( B. a ? c ? b

A. a ? b ? c

C. b ? c ? a

c?b?a


2 2 4. " mn ? 0" 是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的(

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5. 在 ?ABC 中, AB ? 则 ?ABC 的面积为 A.

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 开始 S=0,n=1

3 , AC ? 1 , ?B ?


?
6



?
6

3 , ?C ? ( 2

S ?S?n
D.

B.

?

4

C.

?
3

5? 12


n ? 2n
处 ① 是 输出 S
结束

6. 执行如右图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中① 可以填入( A. n ? 4 C. n ? 16 ) B. n ? 8 D. n ? 16

7. 已知 l , m , n 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下 正确的是( ) A. l ⊥ m , l ⊥ n ,且 m, n ? ? ,则 l ⊥ ? . B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? .

列命题中

-1-

C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . D.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? . 8. 已知某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积是( A. )

4 cm 3 3
3

B.

8 cm 3 3
3

C. 2cm

D .4cm
3

9. 已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? c 有两个不同零点,且有一 点恰为 f ? x ? 的极大值点,则 c 的值为( A. 0 B. 2 C. )

个零

?2

D.

?2 或 2

x 2 y2 10. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 x,它的一个焦点在抛物线 a b
y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A.
2

) B.

x 2 y2 ? ?1 36 108 x 2 y2 ? ?1 9 27

x 2 y2 ? ?1 108 36

C.

D.

x 2 y2 ? ?1 27 9

2 ? ( x ? 0) 2 ?x 11. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 ? f ( x)dx ? ( ) 2 ?1 4 ? x ( x ? 0) ? ? 1 ? 1 ? 1 1 A. ? ? B. ? C. ? D. ? ? 3 2 3 4 3 3 1 3 2 12. 已 知 f ( x) ? x ? x ? ax ? m, 其 中 a ? 0 , 如 果 存 在 实 数 t , 使 f ?(t ) ? 0 , 则 3 2t ? 1 f ?(t ? 2) ? f ?( ) 的值( ) 3

A. 必为负数

B. 必为正数

C. 可能为零

D. 可正可负

第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. .

事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是

-2-

14. 从 1、2、3、4、5、6 这六个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数的概 率是 .

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的 15. 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·

长为______. 16. 数列 {an } 的通项公式 an ? n sin(

n ?1 ? ) ? 1 ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2013 = 2

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 参数). ⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2,0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的 各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

? x ? 3 ? 2 cos? (? 为 ? y ? ?4 ? 2 sin ?

S2 . b2

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? (1)求? 的值; (2)讨论 f ( x ) 在区间 [0,

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4?

?
2

] 上的单调性.

20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a, 点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a( 0 ? ? ? 1 ) .

(0, 1] ,都有 AC ? BE ; (1)求证:对任意的 ? ?
(2)若二面角 C ? BE ? A 的大小为

2? ,求实数 ? 的值。 3

21. (本小题满分 12 分)已知 F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,且 a 2 b2

-3-

离心率为

2 2 3 ,点 A(? , ) 椭圆 C 上。 2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N, 使直线 F2 M 与 F2 N 的倾 斜角互补,且直线 l 恒过定点? 若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由。

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ? x ? ? a ln x ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? , 曲 线 2

y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0.
(1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ( x 0 ) ?

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

玉溪一中高 2016 届高二下学期期中考试试题 数学(理科)答案 一、选择题 AAABC BDBCC 二、填空题 13. 甲 14. DA

2 5

15.

1 2

16. 3019

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. 解: (1)圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .
2

2分

5分 ? 圆 C 的极坐标方程: ? ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 . | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2 7分

1 ? ? ABM 的面积 S ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 10 分

-4-

18. 解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ? S 因为 ? 所以 q? 2, ? b2 ? an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n
(2)由(1)可知, Sn ? 故 Tn ?

n ? 3 ? 3n ? 1 2 2?1 1 ? ,所以 cn ? ? ? ? ? ?. 2 Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

?q ? 6 ? d ? 12, ? ? q ? 6?d. 解得 ? q ? , bn ? 3n?1 .

q ? 3 或 q ? ?4 ( 舍 ), d ? 3 . 故

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 2 cos ? x(sin ? x ? cos ? x) ? 2(sin 2? x ? cos 2? x ?1)

? 2? ? ? 2sin(2? x ? ) ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 4 2? 4
(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

20. 解 (I)证明:以 D 为原点,DA,DC,DS 为 x,y,z 轴,如图建立空间直角坐标系 D﹣ xyz,则 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,λ a), ,?(3 分) ∴ 分) (II)解:设平面 ABE 的一个法向量为 ∵ , , 对任意 λ ∈(0,1]都成立,即 AC⊥BE 恒成立.(5

∴ 取 z1=1,则 x1=λ , 设平面 BCE 的一个法向量为 ∵n=3n+1,∴ ,取 z2=1,则 y2=λ , ,

, .?(7 分)

,?(9 分)

∵二面角 C﹣AE﹣D 的大小为 120°, ∴ ∴λ =1 为所求.?(12 分) ,

-5-

2 2 3 2 c 2 (? 2 ) ( 2 ) 21. 解:(1) 由已知得: e ? ? , ? ? 1 ,结合 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可解得: 2 2 a 2 a b
a 2 ? 2, b2 ? 1 ,? 椭圆的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 得 k F2 M ? k F2 N ? 0, 即

kx1 ? m kx 2 ? m ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1
2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

化简,得 2kx1x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 ? 2k ? 整理得 m ? ?2k . (2,0)

直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为

a ? (1 ? a ) x ? b ,由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ?1. x 1? a 2 x ?x, (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? 2
22.解: (I) f ?( x ) ?

f ?( x) ?

a 1? a ? a ? ? (1 ? a) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ?
1 a ? 1 ,故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递 ,则 2 1? a a a 1? a a ?1? 的充要条件为 f (1) ? ,即 a ?1 a ?1 2 a ?1

(i)若 a ? 增.

所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x 0 ) ?

所以? 2 ?1 ??a ?? 2 ?1; (ii)若

1 a a a ? a ? 1 ,则 ? 1 ,故当x?(1, , ?? ) )时, f '(x) <?0 , x?( 2 1? a 1? a 1? a
-6-

a a , ?? 单调递增. )上单调递减,f (x)在 1? a 1? a a a a )? 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x 0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 a ?1 1? a a ?1
时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(1,

a a a2 a a f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a
a a a2 a a ,所以不合题意. f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2(1 ? a ) a ? 1 a ? 1
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ?

?

1? a ?1 ? a a ?1 ? ? 。 2 2 a ?1

?

-7-


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