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2015-2016学年高中数学 2.2.1.2对数运算课件 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.2 对数函数

2.2.1

对数与对数运算

第二课时

对数运算

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础


学习目标 1.理解对数的运算性质. 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对 数. 3.了解对数在简化运算中的作用.

课前热身 对数的运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=__________________; M (2)loga N =____________________; (3)logaMn=__________________________(n∈R); (4)对数换底公式:___________________________(a>0, a≠1,c>0,c≠1,b>0).

自 (1)logaM+logaN 我 (2)logaM-logaN 校 (3)nlogaM logcb 对 (4)logab=log a c

思考探究

换底公式的作用是什么?

提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的 对数.

名师点拨 1.公式的证明 对数运算可看做指数运算的逆运算,对数运算性质的证 明,可利用定义将对数问题转化为指数问题,利用指数的性质 进行证明. 运算法则证明如下: 设logaM=p,logaN=q,根据对数的定义,可得M=ap,N =aq.

因为MN=apaq=ap q,


所以loga(MN)=p+q=logaM+logaN. M ap p-q 同样地,因为 N =aq=a , M 所以loga =p-q=logaM-logaN. N 因为Mn=(ap)n=apn. 所以logaMn=np=nlogaM.

对数换底公式的证法很多,下面给出一种证法,仅供参 考. 证明:令p=logab,q=logcb,r=logca, 则ap=b,cq=b,cr=a, ∴a =c =(c ) =a . q logcb 又a>0,且a≠1,∴p= r ,即logab=log a. c
p q r r
q q r

2.对数运算性质的理解 (1)对数的运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数 记号都有意义时,等式才成立,如log2[(-3)· (-5)]是存在的, 但log2(-3)与log2(-5)均不存在,故不能写成log2[(-3)· (-5)] =log2(-3)+log2(-5).

(2)要把握住运算性质的本质特征,防止应用时出现错 误.初学者常犯的错误是 loga(M± N)=logaM± logaN. loga(M· N)=logaM· logaN. M logaM loga N = log N . a logaMn=(logaM)n.

(3)避免机械地从符号去记忆公式,注意用语言准确叙述 运算性质,以防止出现上述错误. (4)用自然语言叙述各法则为: ①正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和. ②两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除 数的对数. ③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对 数.

3.对数换底公式的选用 (1)在使用换底公式时,底数取值不唯一,只要是不等于1 的正数均可以,应根据实际情况选择. (2)利用对数换底公式,易推出以下公式: ①logab· logba=1; ②logamb
n

n = logab. m

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



对数运算性质的应用
求下列各式的值.

【例1】

1 (1)log53+log5 ; 3 (2)(lg5)2+lg2· lg50; 2 (3)lg25+3lg8+lg5· lg20+(lg2)2. 【分析】 利用对数的运算性质求值.

【解】

? 1? 1 (1)log53+log53=log5?3×3?=log51=0. ? ?

(2)(lg5)2+lg2· lg50 =(lg5)2+lg2(1+lg5) =(lg5)2+lg2+lg2· lg5 =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2=lg10=1.

10 (3)原式=lg25+lg8 +lg 2 · lg(10×2)+(lg2)2
2 3

=lg25+lg4+(lg10-lg2)(lg10+lg2)+(lg2)2 =lg100+(lg10)2-(lg2)2+(lg2)2 =2+1=3.

规律技巧

对于对数的运算性质要熟练掌握,并能够灵活

运用,在求值过程中,要注意公式的正用和逆用.

变式训练1

求下列各式的值.

lg2+lg5-lg8 (1) ; lg50-lg40 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 1 1 (3)log6 -2log63+ log627. 12 3

2×5 5 lg 8 lg4 解 (1)原式= 50 = 5=1. lg40 lg4

1 4 1 1 (2)原式=2(lg32-lg49)-3×2lg8+2lg245 1 2 1 =2(5lg2-2lg7)-3×3lg2+2(lg49+lg5) 5 1 =2lg2-lg7-2lg2+lg7+2lg5 1 1 1 =2lg2+2lg5=2(lg2+lg5) 1 1 =2lg10=2.

1 (3)原式=log61-log612-log63 +3log633
2

=0-log612-log69+log63 =-(log612+log69-log63) 12×9 =-log6 3 =-log636=-2.



换底公式的应用

【例2】 【分析】

已知2x=3y=6z,求x,y,z之间的关系. 根据指数式与对数式之间的关系、利用换底公

式(注意对底数的限制)从而得出x,y,z之间的关系.

【解】

设2x=3y=6z=k>0,

则x=log2k,y=log3k,z=log6k. (1)当k=1时,x=y=z=0. (2)当k≠1时,利用换底公式得 1 1 1 logk2=x ,logk3= y,logk6= z . ∵logk6=logk2+logk3, 1 1 1 ∴ = + . z x y 1 1 1 ∴x,y,z之间的关系是x=y=z=0,或 z =x +y .

误区警示

解题过程很容易出现不讨论k的取值情况直接

利用换底公式,而漏掉x=y=z=0的情况,排除思维障碍的办 法是讨论k的取值情况及注意对数的底必须大于0,且不等于1.

变式训练2

2 1 设3 =4 =36,求x +y 的值.
x y



∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,

1 1 ∴x=log363,y =log364. 2 1 ∴ + =2log363+log364=log36(32×4)=1. x y



对数的综合运算
x 已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log 2 y的值. x 从已知条件中寻求x,y之间的关系,以确定 y

【例3】 【分析】 的值.

【解】

由已知可得lg(xy)=lg(x-2y)2,

从而有xy=(x-2y)2, 整理得x2-5xy+4y2=0,即(x-y)(x-4y)=0, x=y,或x=4y. 但由x>0,y>0,x-2y>0可得x>2y>0, x ∴x=y应舍去,故x=4y,即 =4. y ∴log x =log 2 4=log 2 y
2

( 2)4=4.

误区警示

若不注意“对数的真数必须大于0”这一前

提,本题就会得出两个结果4与0,因此解题中处处要留心定 义.

变式训练3 (1)用lg2和lg3表示lg75; 4?3-a? (2)若lg1227=a,求证:log616= . 3+a



?100 ? (1)lg75=lg? 4 ×3?=lg100-lg4+lg3 ? ?

=2-2lg2+lg3. log327 3log33 3 (2)证明:∵log1227= = = =a. log312 log34+log33 1+2log32 3-a ∴log32= . 2a 3-a 4· 4?3-a? 2a log316 4log32 ∴log616= log 6 = = = . 1+log32 3-a 3+a 3 1+ 2a

易错探究 【例4】 设x,y为非零实数,a>0,a≠1,则下列式子中 正确的个数为( )

①logax2=2logax; ②logax2=2loga|x|; ③loga(xy)=logax+logay; x loga|x| | ④loga y|=log |y|. a

A.1 C.3 【错解】 D

B.2 D.4

【错因分析】

没有掌握对数的运算性质所致.

①logax2=2logax,当x>0时,成立,当x<0时,不成立;② 正确;③,④公式应用有误.正确的表达式应为:loga|xy|= x loga|x|+loga|y|,loga|y|=loga|x|-loga|y|.

【正解】 A

当堂检测 1.如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( ab3 A.x= c5 3ab B.x= 5c )

C.x=a+3b-5c D.x=a+b3-c3

解析 ab3 ∴x= c5 .
答案

3 ab ∵lgx=lga+3lgb-5lgc=lga+lgb3-lgc5=lg c5 ,

A

1 1 2.已知2 =7 =A,且x+ y=2,则A的值是(
x 2y

)

A.7 C.± 7 2

B.7 2 D.98

解析 ∵2x=72y=A,∴x=log2A,2y=log7A, 1 1 1 2 + = + =logA2+2logA7 x y log2A log7A =logA(2×72)=logA98=2, ∴A2=98,又A>0,∴A=7 2.

答案

B

3.设10a=2,lg3=b,则log26=( b A. a C.ab a+b B. a D.a+b

)

解析 由10a=2,得lg2=a. lg6 lg?2×3? lg2+lg3 a+b ∵log26= = = = . lg2 lg2 lg2 a

答案

B

4 4.计算log3 ________.

27 log5[ 3 ·

]=

解析

原式=

? 1? 1 ? ? = -4 · log55=-4. ? ?

答案

1 - 4

5.若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,
? ? b+c? a-c? ? ? ? ? (1)求log2?1+ + log 1 + 2? ? ?的值. a b ? ? ? ? ? b+c? ? ? (2)若log4 ?1+ a ? ? ?

2 =1,log8(a+b-c)= ,求a,b,c的 3

值.

解 (1)∵a +b =c log2

2

2

2

? b+c? ? ? ,∴log2 ?1+ a ? ? ?

? a-c? ? ? +log2 ?1+ b ? ? ?

= =

?? ? ? b+c? a-c? ?? ?? ?? ??1+ a ??1+ b ?? ?? ?? ??

=log2

?a+b+c??a+b-c? ab

a2+b2-c2+2ab 2ab log2 =log2 =1. ab ab

? a+b+c b+c? ? ? (2)∵log4?1+ =4. ?=1,∴ a a ? ?

即3a-b-c=0① 2 ∵log8(a+b-c)= ,∴a+b-c=4② 3 ∵a2+b2=c2③ 且a,b,c∈N*,∴由①②③解得a=6,b=8,c=10.


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