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【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题15:解决解析几何中的综合问题


专题十五
【典题导引】
例 1. 如图,已知 F (c,0) 是椭圆 C :

解决解析几何中的综合问题

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点; F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 与 a 2 b2 x 轴交于 D, E 两点,其中 E 是椭圆 C 的左焦点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设圆 F 与 y 轴的正半轴的交点为 B ,点 A 与点 D 关于 y 轴对称,试判断直线 AB 与 圆 F 的位置关系; 24 6 c ,求椭圆 C 的标准 (3)设直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 G ,若 ?BGD 的面积为 13 方程. y 解:(1) 圆 F 过椭圆 C 的左焦点,把 (?c,0) 代入
圆 F 的方程, 得 4c 2 ? a 2 , 故椭圆 C 的离心率 e ? (2) 在方程 ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 中令 x ? 0 得
y 2 ? a2 ? c2 ? b2 ,可知点 B 为椭圆的上顶点, c 1 由(1)知, ? ,故 a ? 2c, b ? a2 ? c2 ? 3c , a 2 故 B(0, 3c) ,在圆 F 的方程中令 y ? 0 可得点 D 坐标为 (3c, 0) ,则点 A 为 (?3c, 0) ,

c 1 ? ; a 2
G A E O

B

F

D

x

例1图

于是可得直线 AB 的斜率 k AB ? 而直线 FB 的斜率 k FB ?

3c 3 ? , 3c 3

3c ?? 3, ?c

k AB ? kFB ? ?1 ,? 直线 AB 与

F 相切;

(3)椭圆的方程可化为 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,由(2)知切线 AB 的方程为 y ?
?3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? 24 5 3 ? ? 解方程组 ? 得点 G 的坐标为 ? 3 ? ? 13 c, 13 c ? ?, x ? 3c, ? y? ? ? 3 ?

3 x ? 3c , 3

而点 D(3c, 0) 到直线 AB 的距离 d ?

| 2 3c | 1 1? 3

? 3c ,

24 3 2 24 6 1 1 24 5 3 c ? c 由 S?BGD ? ? | BG | ?d ? ? ( c)2 ? ( c ? 3c)2 ? 3c ? 13 13 2 2 13 13 x2 y 2 解得 c ? 2 ,? 椭圆的标准方程为 ? ?1. 8 6 x2 y 2 例 2. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作直线 l 与椭圆 a b C 交于点 M 、 N . 1 (1)若椭圆 C 的离心率为 ,右准线的方程为 x ? 4 , M 为椭圆 C 上顶点,直线 l 交右 2 1 1 准线于点 P ,求 的值; ? PM PN (2)当 a 2 ? b2 ? 4 时,设 M 为椭圆 C 上第一象限内的点,直线 l 交 y 轴于点 Q ,

F1M ? F1Q ,证明:点 M 在定直线上.
-1-

?c 1 ? , ? ?a ? 2, x2 y 2 ?a 2 (1)解:设 F2 (c,0) ,则 ? 2 解得 ? ? 椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . 4 3 ?c ? 1, ? a ? 4, ? c ?

则直线 l 的方程为 y ? ? 3( x ? 1) ,令 x ? 4 ,可得 P(4, ?3 3) ,
? y ? ? 3( x ? 1), 8 3 3 5x2 ? ), 联立 ? x 2 y 2 得 ? 2x ? 0 ,? M (0, 3) , N ( , ? 5 5 4 ? 1, ? ? 3 ?4 1 1 1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ; ? 2 2 PM PN 8 24 3 (0 ? 4) ? ( 3 ? 3 3) 8 3 3 ( ? 4)2 ? (? ? 3 3)2 5 5 y (2)证明:设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) , F2 (c,0) ,则直线 l 的方程为 y ? 0 ( x ? c) , x0 ? c ?cy0 令 x ? 0 ,可得 Q (0, ), x0 ? c

由 F1M ? F1Q 可知, kF1M ? kF1Q 又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a 2 ? 4 ,

?cy0 y x ?c ? 0 ? 0 ? ?1 ,整理得 y02 ? x02 ? c2 , x0 ? c c

? a2 ? y0 2 ? x0 2 ? (2a 2 ? 4), x0 ? , ? ? ? 2 联立 ? x 2 解得 ? ,? 点 M 在定直线 x ? y ? 2 上. y0 2 2 0 ? ? 1, ? 2 ?y ? 2 ? a . 2 4?a ?a 0 ? ? 2 xOy 例 3. 在平面直角坐标系 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y ? 2 ,且 经过点 (1,0) .

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围. 解:(1) 椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有 y ? 2 ,

? 椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 x2 ?
b
2

2

y2 ? 1(a ? b ? 0) . a2

? a ? 2, 2 ? 2 ? ? 2 ?a ? 2, 椭圆 T 经过点 (1,0) ,? ? a ? b 解得 ? 2 ? ? 0 ? 1 ? 1, ?b ? 1. ? ? a 2 b2 y2 故椭圆 T 的方程为 ? x2 ? 1 ; 2 y2 (2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ? ? 1 的外切矩形, 2 ①(i) 若 矩 形 A B C D的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为 ? 2 y2 ?x ? ? 1, y ? k x? m ( k? 0 ) ,则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m

于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 .

? 矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 ,
-2-

则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标 ( x, y ) 满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x)2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1, ? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. ②当矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对
2 2 边的边长,于是矩形的一条边长为 2 k ? 2 ,另一条边长为 2 2k ? 1 . 1? k2 1? k2

4 2 k?1 k 4 k ? 2 ? 2 k ? 1 4 2 k ? 5 k ? 2 ? ? ?S ? 1 1? k2 1? k2 k? k
2 2 4 2

?

? ?1 ,
2

2 ? 4 2,6 ? 令 t ? k ? 1 ,则 t ? ? 2,? ? ? ,于是 S ? 4 2t ? 1 ? 4 2 ? 1 ?. t k t2

?

? 若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则 S ? 4 2 ,故 S 的取值范围是 ? ? 4 2,6 ? . 3 x2 y 2 例 4. 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心、 2 a b 椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)设直线 x ? 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 D .若圆 D 2 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABD 的面积; (3)如图, A1 、 A2 、 B1 、 B2 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直

线 B2 P 交 x 轴于点 F ,直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E .设 A2 P 的斜率为 k , EF 的斜率 为 m ,求证: 2m ? k 为定值. E y (1)解:圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 , 直 B2 2 ?b, 线 y ? x ? 2 与圆 O 相切,? 2 P 3 b2 3 即 b ?1 ,又 e ? , ? 1? 2 ? , 2 a 2 A1 A2 F x O 2 x 2 ? a ? 2 ,? 椭圆 C 的方程为: ? y ?1; 4 (2)解:由题意可得: B1 1 15 1 15 M( , ), N ( , ? ), 2 4 2 4 例4图 15 , ? 圆 D 的半径 r ? 4 15 1 11 ? AB ? 2 ? ? , 16 4 2
1 11 1 11 ? ? ; ? ?ABD 的面积为 S ? ? 2 2 2 8 (3)证明:由题意可知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) , A2 P 的斜率为 k ,? 直线 A2 P 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

-3-

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ?4 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k 其中 xA ? 2 ,? xP ? , ? P ( , ), 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?4k 2 ? 4k ? 1 则直线 B2 P 的方程为 y ? x ? 1, 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 令 y ? 0 ,则 x ? 2 , 即 F( 2 ,0) , 4k ? 4k ? 1 4k ? 4k ? 1 直线 A1 B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

4k ? 2 ? ? x ? 2k ? 1 , ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 4k ? 2 4k ? 由? 解得 ? ,? E ( , ), 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 2), ? y ? 4k , ? 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2k ? 1 , ? ? EF 的斜率 m ? 2 8k ? 2 4k ? 2 4 ? 4k 2 ? 4k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 . ? 2m ? k ? 2 ? ? k ? (定值) 4 2

【归类总结】
1.解析几何中定点定值问题的求解策略: (1)从一般的情形进行论证. (2)运用从特殊到一般的思想来解决问题,即先求出特殊情形下的值或点,再论证该 特殊值或点对一般情形也成立. 2.解析几何中求最值或求范围问题常见的解法有两种: (1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质 来解决,这就是几何法. (2)代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函 数,再求这个函数的最值,这就是代数法. 3.探究解析几何中的是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论, 如果真的存在,则能得出相应结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论.

-4-


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